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摘?要：解决非单纯练习题式的问题是数学教育改革的一个中心论题。本文以“线面垂直”的课堂教学为例，与传统教学对比，探索以学生设计问题为主的课堂教学方式，旨在提高学生的课堂参与度，同时让学生在问题设计中建构自己的知识框架。
关键词：线面垂直；证明；问题设计；反思
一、前言
著名数学教育家伦伯格说过：解决非单纯练习题式的问题正是数学教育改革的一个中心论题。主张像科学家从事科学发现活动那样来组织教学活动，发现法教学和问题解决的教学形式可以看成是其中典型的例子，这样的教学是有一定的理论根据，并且具有积极意义的。当然，学习活动中的探索活动和真正的科学发现活动还是具有重大区别，无视这种区别的存在，势必造成在我们的教学活动中轻思维而重操作的倾向。
科学发现活动是把科学发现当做最终目标，是人类学习的极高境界，而学习活动的最终目标并不是发现，而是理解，是人类学习的“初级阶段”，数学能力的核心是数学思维能力，只有数学能力达到了一定的水平，才有可能有真正的科学发现。
二、线面垂直的证明例举
立体几何中，线面垂直的判定定理的证明一直是教学的难点，课本中该定理是这样的：
直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面中的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
传统证明思路：
已知： m∈α，n∈α，m∩n=B，l⊥m，l⊥n。
求证：l⊥α 。
证明：设g是平面α内任意一条直线，要证明l⊥α ，根据定义，只要证明l⊥g 就可以了。
先證明l，g 都过点B的情况：
在直线l上的点g两侧分别取点A、A’，使AB=A’B，那么直线m，n都是线段AA’的垂直平分线，为了证明l⊥g，可证明直线g也是线段AA’的垂直平分线。于是g就垂直于l了。
再证明不过点B的情况：
在g 上任取一点E，过点E在α内作不通过点B的直线，分别与m，n相交于点D、C，证明△ACD≌△A’CD，进而证明△ACE≌△A’CE，于是得到EA=EA’，g⊥l。
在此证明中，取A关于平面α的对称点A’是关键，但如何想到用这样的思路来证明是本节课重点需引导好的一个细节。在这一教学过程中教师若有意地忽视这一点，那只能算是完成了“传授”，学生只是做到了“听受”，从内容上达标，却忽视了教学的有效途径。要回答以上问题，我们可以从理解垂直概念的实质做好引导和分析。
实际上学生提的问题往往是很有价值的问题。因为每个人都应该养成对自己的直觉进行分析的习惯，而不是应该听任直觉的摆布。通过提问的方式，力求弄清直觉产生的“依据”，对直觉进行分析，应该说，这也是理性思维的表现。因此，教师要注重学生的提问，即使学生不提这些问题，教师也应该思考解决这些问题的有效途径，然后在课堂上提出，让学生探讨。
三、线面垂直的教学设计
垂直的实质就是对称，垂直美实质上就是对称美，了解了这一点，教师只要注意突出垂直关系与对称观念的联系，就可以设计出各种不同风格的教案。下面是本人依照上述观点的关于线面垂直的教学设计：
问题情境：播放视频 发射卫星的视频在即将点火时定格
问题：火箭脱离支架的瞬间，火箭会不会倒下？
讨论分析：
（1）观察火箭与地平线两边所成的角的大小关系。
（2）改变观察地点，观察这两边的角的大小关系。
结果：不管在哪个地方观察，火箭与地平线两边所成的角都相等。
给出线面垂直的定义。
如果你是火箭发射总工程师，怎样才能做到火箭与地面垂直呢？按照如上分析，是否需要找很多人站在不同的方位，或者需要选很多观测点观测火箭？
给出线面垂直的判定定理，让学生自行学习课本上的证明，并提出问题。
引入课题：让学生在纸上画一个平面四边形ABCD，使其对角线AC垂直平分BD，把这个四边形沿BD折起，平面四边形变空间四边形，连接AC，O 是两对角线交点，如图：
（1）空间四边形ABCD中，CB与 CD，AB与AD分别有什么关系？
（2）在AC上任取一点M，连接OM，猜想直线BD与直线OM有什么样的位置关系。
（3）过OA，OC的平面记为α，猜想BD与α的位置关系。
（4）试证明你的猜想。
通过完成这个问题，让提问者反思自己提出的问题，是否可以自己解决了。
从根本上说，“垂直和对称存在着本质的联系，可以说，垂直的实质就是某种对称”，既然垂直的本质就是对称，那么在证明垂直的时候，使用对称、考虑对称就是最原始、最基本的想法了，为了做到这一点，自然就要构造对称图形，就要找对称点。
四、教学反思
在上面的教学活动中我们可以看出，发现性学习可以为学生达成理解创造条件，通过它可以帮助学生实现理解，即知识的建构。它之所以被人们看重，是因为发现者想要理解自己的发现，会积极地对发现活动本身进行反思，以建立知识与已有认识结构，特别是认知结构中观念的联系，所以说，在教学过程中，应提供给学生恰当的发现平台，通过对发现活动的反思，达成对发现活动的真正理解。
该观点下的数学教学，教师不仅应该关心教些什么，更应该关心怎样教才最有效，在教学过程中，注重实现“三种转换”：教师由“传授”转换为“导”，学生由“听受”转换为“学”，“教”以重心转换为“学”为重心。要学会提供给学生更多的机会，让学生学会下结论，学会复述，学会提问，学会比较，学会评价，教师注重一节课是为了讲完还是为了让学生懂是思考的关键。
（作者单位：广西民族高中）
关键词：线面垂直；证明；问题设计；反思
一、前言
著名数学教育家伦伯格说过：解决非单纯练习题式的问题正是数学教育改革的一个中心论题。主张像科学家从事科学发现活动那样来组织教学活动，发现法教学和问题解决的教学形式可以看成是其中典型的例子，这样的教学是有一定的理论根据，并且具有积极意义的。当然，学习活动中的探索活动和真正的科学发现活动还是具有重大区别，无视这种区别的存在，势必造成在我们的教学活动中轻思维而重操作的倾向。
科学发现活动是把科学发现当做最终目标，是人类学习的极高境界，而学习活动的最终目标并不是发现，而是理解，是人类学习的“初级阶段”，数学能力的核心是数学思维能力，只有数学能力达到了一定的水平，才有可能有真正的科学发现。
二、线面垂直的证明例举
立体几何中，线面垂直的判定定理的证明一直是教学的难点，课本中该定理是这样的：
直线和平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面中的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
传统证明思路：
已知： m∈α，n∈α，m∩n=B，l⊥m，l⊥n。
求证：l⊥α 。
证明：设g是平面α内任意一条直线，要证明l⊥α ，根据定义，只要证明l⊥g 就可以了。
先證明l，g 都过点B的情况：
在直线l上的点g两侧分别取点A、A’，使AB=A’B，那么直线m，n都是线段AA’的垂直平分线，为了证明l⊥g，可证明直线g也是线段AA’的垂直平分线。于是g就垂直于l了。
再证明不过点B的情况：
在g 上任取一点E，过点E在α内作不通过点B的直线，分别与m，n相交于点D、C，证明△ACD≌△A’CD，进而证明△ACE≌△A’CE，于是得到EA=EA’，g⊥l。
在此证明中，取A关于平面α的对称点A’是关键，但如何想到用这样的思路来证明是本节课重点需引导好的一个细节。在这一教学过程中教师若有意地忽视这一点，那只能算是完成了“传授”，学生只是做到了“听受”，从内容上达标，却忽视了教学的有效途径。要回答以上问题，我们可以从理解垂直概念的实质做好引导和分析。
实际上学生提的问题往往是很有价值的问题。因为每个人都应该养成对自己的直觉进行分析的习惯，而不是应该听任直觉的摆布。通过提问的方式，力求弄清直觉产生的“依据”，对直觉进行分析，应该说，这也是理性思维的表现。因此，教师要注重学生的提问，即使学生不提这些问题，教师也应该思考解决这些问题的有效途径，然后在课堂上提出，让学生探讨。
三、线面垂直的教学设计
垂直的实质就是对称，垂直美实质上就是对称美，了解了这一点，教师只要注意突出垂直关系与对称观念的联系，就可以设计出各种不同风格的教案。下面是本人依照上述观点的关于线面垂直的教学设计：
问题情境：播放视频 发射卫星的视频在即将点火时定格
问题：火箭脱离支架的瞬间，火箭会不会倒下？
讨论分析：
（1）观察火箭与地平线两边所成的角的大小关系。
（2）改变观察地点，观察这两边的角的大小关系。
结果：不管在哪个地方观察，火箭与地平线两边所成的角都相等。
给出线面垂直的定义。
如果你是火箭发射总工程师，怎样才能做到火箭与地面垂直呢？按照如上分析，是否需要找很多人站在不同的方位，或者需要选很多观测点观测火箭？
给出线面垂直的判定定理，让学生自行学习课本上的证明，并提出问题。
引入课题：让学生在纸上画一个平面四边形ABCD，使其对角线AC垂直平分BD，把这个四边形沿BD折起，平面四边形变空间四边形，连接AC，O 是两对角线交点，如图：
（1）空间四边形ABCD中，CB与 CD，AB与AD分别有什么关系？
（2）在AC上任取一点M，连接OM，猜想直线BD与直线OM有什么样的位置关系。
（3）过OA，OC的平面记为α，猜想BD与α的位置关系。
（4）试证明你的猜想。
通过完成这个问题，让提问者反思自己提出的问题，是否可以自己解决了。
从根本上说，“垂直和对称存在着本质的联系，可以说，垂直的实质就是某种对称”，既然垂直的本质就是对称，那么在证明垂直的时候，使用对称、考虑对称就是最原始、最基本的想法了，为了做到这一点，自然就要构造对称图形，就要找对称点。
四、教学反思
在上面的教学活动中我们可以看出，发现性学习可以为学生达成理解创造条件，通过它可以帮助学生实现理解，即知识的建构。它之所以被人们看重，是因为发现者想要理解自己的发现，会积极地对发现活动本身进行反思，以建立知识与已有认识结构，特别是认知结构中观念的联系，所以说，在教学过程中，应提供给学生恰当的发现平台，通过对发现活动的反思，达成对发现活动的真正理解。
该观点下的数学教学，教师不仅应该关心教些什么，更应该关心怎样教才最有效，在教学过程中，注重实现“三种转换”：教师由“传授”转换为“导”，学生由“听受”转换为“学”，“教”以重心转换为“学”为重心。要学会提供给学生更多的机会，让学生学会下结论，学会复述，学会提问，学会比较，学会评价，教师注重一节课是为了讲完还是为了让学生懂是思考的关键。
（作者单位：广西民族高中）