深度理解:探索从“定量”走向“定性”

来源 :小学教学参考(数学) | 被引量 : 0次 | 上传用户:xytim021
下载到本地 , 更方便阅读
声明 : 本文档内容版权归属内容提供方 , 如果您对本文有版权争议 , 可与客服联系进行内容授权或下架
论文部分内容阅读
  [摘 要]数学学习离不开“定量”和“定性”。其中,侧重行为操作的“定量刻画”,通过问题驱动、知识迁移和对比展示,实现初探激趣、再探体验和深探建构,助推线性理解的发生;侧重思维操作的“定性把握”,通过分类定性和分层定性,实现二维理解和多维联系,助推结构理解的生发。最终,实现探索活动的温度可感、广度可拓和深度可测。
  [关键词]深度理解;面积变化;探索规律
  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2021)11-0011-02
  人们认识和理解客观世界一般需要经历两种过程,即定量刻画、定性把握,前者侧重行为的操作过程,比如画图、测量和计算等,这些外显行为处在学习的准备阶段,具有客观性、现实性和基础性的特征;后者侧重思维的操作过程,比如猜测、验证、概括等,这些内在行为处在学习的生发阶段,具有主观性、探索性和创造性的特征。显然,数学学习就是要从定量刻画逐步走向定性把握,逐渐抽象概括、形成方法和模型,进而广泛应用。
  “面积的变化”是苏教版教材六年级下册安排的“探索规律”的专题活动,属于“图形与几何”板块。从行为操作来看,“面积的变化”聚焦简单图形,按照一定大小的比例,锁定影响图形变化的关键因素,使学生顺利画出放大和缩小后的图形,进一步培养学生的空间观念;从思维操作来看,“面积的变化”主要引导学生经历“猜想与验证”的过程,发现图形面积变化的一般规律,初步渗透科学的方法理论。问题是,探索如何“立序”,研究从哪个图形开始?探索如何“立行”,每个图形研究的侧重点是什么?探索如何“立言”,怎样表达研究的结论?应该说,起点可以不同,过程存在差异,但是深度理解的追求必定殊途同归。
  一、定量刻画:在行为操作中线性理解
  著名物理学家杨振宁教授认为:“除非有定量的实验证据,没有任何一种哲学性的讨论能够作为科学的真理來加以接受。”也就说,一方面数据产生需要定标准、去测量和得结果,研究不能忽视统一性和准备性;另一方面,研究需要用数据来“说话”,研究结论才具真实性和普适性。
  1.问题驱动,初探激趣
  这个环节的教学一般有两种版本。第一种是以长方形的探索为起点,要求学生“分别量出它们的长和宽,写出对应边长的比”,并记录“大长方形与小长方形长的比是( )∶( ),宽的比是( )∶( )”,然后引导学生“估计大长方形与小长方形面积的比是几比几” 。学生通过画图法、计算法和列表法,以及积的变化规律验证猜测,得到“大长方形与小长方形面积的比是 9∶1”。教师顺势提出问题“其他平面图形按比例放大后,面积的比又会怎样变化呢?”,驱动学生继续思考。第二种是以探索正方形为起点,引导学生聚焦正方形边长的前后变化,以及对应面积的前后变化,再提炼出相关结论。
  显然,从长方形出发的探索,遵循的是知识的建构序列,毕竟面积起始图形的作用不容小觑;从正方形出发的探索,贴近面积累加的计量规则,所得过程与结论更直接和更直观。
  2.知识迁移,再探体验
  首先,借助媒体的动态演示,将正方形(或者长方形)、三角形和圆分别按比例放大,并在活动单上呈现放大前后的两类图形,学生通过指认、联系和对比,明确了将要探索的数学对象。其次,通过问题“研究图形的变化规律需要知道哪些信息?”,让学生锁定影响图形面积大小的关键因素,即边长、长和宽、底和高、半径,清楚探索的测量重点。其次,借助问题“上面的图形分别是按几比几放大的?图形放大后与放大前的面积的比各是多少?”,鼓励学生组内分工,自主选择喜欢的图形进行探索,并将测量和计算的结果记录在表格中,明确探索的操作要点。最后,利用问题“比较每个图形放大后与放大前的长度比和面积比,你能发现什么规律?”,引导学生观察、对比,最终发现“长度比是 2∶1,面积比是4∶1;长度比是 3∶1,面积比是9∶1……”“两个比的后项都是1,面积比的前项是长度比前项的平方” ,顺势归纳、总结和抽象出“如果把一个图形按n∶1 的比放大,放大后与放大前图形的面积比是 n2∶1 ”的数学模型。
  显然,这是本课的重点部分,是知识建构、探索成效和情感共鸣的关键阶段。其中,教师的指导和帮助不能缺位,比如必要测量的方法指导,充分活动的时空保障,理性表达的适时参与,等等。也就是说,只有师生心中都有“数”,才能助推探索实现从特殊到一般的思维跨越。
  3.对比展示,深探建构
  从科学方法论的角度来看,猜测的结论是需要验证的,而且是需要多个案例、多种角度和多种途径的验证,因此,以点带面、以此类推就成为探索的常用手段和通用方法。这样看来,教材精心设计的“在方格纸上画一个平行四边形,按比例放大,算一算放大后与放大前图形的面积比,看看是不是符合上面发现的规律。”的探索活动,是及时的、应景的和必需的。具体到活动中,一方面要鼓励学生组内分工协作,图形放大的比例可以各不相同,通过对比和分析数据,验证规律的适用程度,建构探索学习的回路;另一方面,鼓励学生逆向思考,并通过对比、分析和归纳案例数据,得到“如果把一个图形按 1∶n 的比缩小,缩小后与缩小前图形的面积1∶n2 ”的数学结论。当然,教学还可以更进一步,引导学生超越图形的变化方向,再次从数量上归纳并发现“面积比与长度比的平方倍有关”。
  显然,先从特殊到特殊的类比思考,实现了知识迁移;再从特殊到一般的归纳思考,建立了数学模型;以平行四边形的面积变化为例,在不断变化中感知不变的存在,又验证了规律可信。进一步说,图形变化的程度有了定量刻画这个利器,就能将模糊的感知显性呈现,方便了描述交流。
  二、定性把握:在思维操作中结构理解
  定性就是要将研究对象内在的、稳定的、持久的倾向与外在的、易变的、暂时的倾向区分开来。这样处理,一方面能帮助学生探索未知的经验,另一方面也能帮助学生反思已有的经验。最终,实现对研究对象的整体的、结构的和系统的理解,进而把握其本质。   1.分类定性,二维理解
  像长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆形,它们都是基本的平面图形。影响这些平面图形面积大小的关键因素都有两个,它们的名称虽然不一样,但是都体现了二维空间的图形特征。在定量刻画环节,主要是测量具体图形的具体数据,有了这些数据的感性支撑,就可以脱离具体数据,从整体上加以理性探索。
  师:将这些图形按照n∶1 的比例放大,不进行具体测量,你能推理得到面积变化的规律吗?试一试。
  生1:我研究的是长方形。原来的面积是S=a×b=ab,现在的面积是S=na×nb=n2(ab),我发现“长方形现在的面积∶原来的面积=n2∶1”。
  生2:我研究的是三角形。原来的面积是S=a×b÷2,现在的面积是S=na×nb÷2=n2(a×b÷2),我发现“三角形现在的面积∶原来的面积=n2∶1”。
  生3:我研究的是圆形。原来的面积是S=πr2,现在的面积是S=π×nr×nr=n2(πr2),我发现“圆形现在的面积∶原来的面积=n2∶1”。
  ……
  显然,平面图形中两个维度的线段分别扩大n倍,对应的面积就扩大了“n×n=n2”倍。也就是说,图形的样子可以不一样,但是图形结构的属性相同,所以变化的结论内在一致。如有可能,思维还可以引向一般建构,即两个维度的线段分别扩大a倍和b倍,对应的面积就扩大了“a×b=ab”倍。可以看出,這样的思维操作更通透、更舒展和更理性。
  2.分层定性,多维联系
  通过问题“回顾探索规律的过程,你有什么收获?还想到了什么?”,驱动学生从变化特征、探索方法和结构联系等层面进行界定。首先,是变化特征的界定,变化分为按比例放大或者按比例缩小,影响图形变化的两个维度“同步变化”,但是图形样子“始终不变”,变中不变演绎了图形内外的辩证统一;其次,是探索方法的界定,引导学生总结“要认真观察、比较数据,才能发现规律”。数据可以是具体的或者是抽象的,但是数据建模的规律是一样的,虚实结合演绎了感性和理性的辩证统一 ;最后,是结构联系的界定,通过猜测“长方体、正方体等按比例放大后,体积比和长度比会有什么关系”,引导学生从联系的视角尝试阐述,并逐步发现:一维图形是线段的同步变化,二维图形是线段的变化组合,三维图形是线段的变化建构(如图1)。结构生长演绎了部分和整体的辩证统一。
  显然,定性研究既需要回到原本事实和经验本身,从具体图形出发探索;又需要超越经验和事实,将图形归置定性为某种类型,并再次出发探索;最后通过类别归属定性在某个维度,上升至理性认知和一般思考。可以看出,这样的思维操作既演绎了知识的追本溯源,又实现了知识的螺旋建构,使得探索活动温度可感、广度可拓和深度可测。
  [本文系江苏省教育科学“十三五”规划重点课题“基于问题链驱动的小学生数学化学习的研究”阶段性成果(课题批准文号:C-b/2020/02/26)。]
  (责编 金 铃)
其他文献
[摘 要]估算是一种重要的数学思想方法和数学能力。文章针对估算教学时常出现的 “教师难教、学生难学”的现象,从现状、成因、改进措施以及教学效果谈提高估算教学效率的切实做法。  [关键词]估算教学;实质问题;估算意识;估算能力  估算在日常生活和数学学习中有着广泛的应用,随着课程改革的深入推进,估算教学备受关注。然而,有些教师过于重视估算方法的指导,而忽视对估算本质的探究,缺乏对学生估算意识和估算思
[摘要]以苏教版教材五年级下册第五单元“异分母分数加减法”一课为例,给出了以解决问题为导向、以联系旧知为导向、以联想猜测为导向的自主学习的目标和做法。从知识层面、学习意义、学习方法三个维度设计的不同层级的教学方案中,同一层级的自主定向学习各个环节层层递进,不同层级的自主定向学习教学目标各有侧重。  [关键词]自主定向;不同层级;教学目标  [中图分类号]G623.5[文献标识码]A[文章编号]10
[摘 要]思考是心理内在的运作,很难用一种测量工具来界定,因此难以通过观察来判断学生是否进入主动思考的状态。以 “认识 >、< 和 =”的教学为例,教师可以从有目标的观察、有意义的建构、原有知识的转换、有价值的反思几个方面来引发学生主动思考。  [关键词]主动思考;观察;建构;转换;反思  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2019)23-00
[摘要]建构深度课堂,要抓住知识的本质和内涵。“长方形和正方形的面积计算”是图形面积教学的种子课。在图形面积教学的起始课中,借直观的小方块,让学生通过“悟——测——验——用”四步,由浅入深,循序渐进地探究长方形面积计算的本质与内涵,以求课堂的深度建构。  [关键词]面积计算;小方块;准确定位;深度建构  [中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068(2020)14-
[摘 要]几何直观在数的认识和运算中有重要作用。在教学“除数为分数的除法”时,多次运用几何直观,突破教学难点,帮助学生深刻理解分数除法的算理。  [关键词]几何直观;分数除法;归纳法  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2018)11-0079-02  【教学内容】北师大版教材五年级下册第57页至58页“练一练”。  【教学目标】  1.借助實物操
[摘 要]学生学习力的培养是一个长期的过程。培养学生的学习力就是培养学生会思维,会观察,会批判,会质疑,会提出问题,会解决问题,会自主学习的能力。  [关键词]学习力;批判性思维;问题意识;学会质疑  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2019)17-0080-03  数学学习力是指教师有意识地从低年级的精准扶持到高年级的自主开放,通过精心设计
[摘 要]教学“认识因数”时从直观的动手操作活动切入,可有效降低因数的抽象性,让学生经历从形象到抽象的过程。同时,将因数和乘除法、数轴联系起来,使得因数的本质更突出,教学也更为有效。  [關键词]因数;数轴;数数;概念;感知;实践;整除  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2018)02-0042-01  数学教学中,“直观”发挥了不可估量的助推作
[摘要]“和差问题”是小学数学中的一个经典问题,传统教学重点是告诉学生“大数=(和 差)÷2,小数=(和-差)÷2”,缺少过程性的探究。在“和差问题”的教学中,教师基于学生从直观地凑数到一一列举再到数学推理建构新方法,让学生经历观察、分析、验证、应用的过程,可有效帮助学生积累学习活动经验,提升学生的数学推理能力,发展学生的数学核心素养。  [关键词]和差问题;直观经验;数学推理  [中图分类号]G
[摘要]以苏教版教材五年级上册“小数的大小比较”一课的教学为例,通过任务、问题、拓展,引导学生在阅读中做学习单,促进学生在交流中破解难题,让学生在补充中丰富知识内涵,最终培养学生的自学习惯,发展学生的自学能力。  [关键词]自主学习;自学能力;小数;大小比较  [中图分类号]  G623.5  [文献标识码] A  [文章编号] 1007-9068( 2020) 20-0076-02  《义务教育
[摘 要]新课标中明确提出,要將体验作为重要的过程性目标,主张让学生通过亲身经历学习数学知识,感悟数学道理。以“千克、克”的教学为例,论述在小学数学课堂中贯彻体验式教学的基本过程,即让学生真切地体验知识产生的过程,增强学生对知识的认知深度,进而提高课堂教学实效。  [关键词]体验式教学;小学数学;千克;克  [中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068(2