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一、背景：因为“进得来”，生本课堂陷入“人满为患”的窘境
随着城镇化建设，经济欠发达地区的城镇小学受教室和师资所限，平均每个班的学生数大都在50人以上，学生数最多班级的将近60人。有人戏称课堂教学就如一位驾驶员驾着一辆乘着五六十名乘客的大巴行驶在高速公路上。
1.保姆式的教学让学生丧失了习惯养成的机会
因为学生人数过多，教师课堂注意力受到严重限制，所以往往选择偏重于满堂灌的“保姆式”教学，总是搀扶着学生“摘果子”，由于年龄特征的原因，小学生也就不会主动去学习设计、学习体验和主动去建构知识，许多学生无论学得好与坏，同样是一笔“糊涂账”。由于缺少一种机制，教师更无法关注每个学生的个性差异和不同的需求，很难爱护每个学生的好奇心与求知欲，很难激发每个学生的主动意识和进取精神。
2.花样式的安排让学生走向了合作学习的歧途
有时候，也把分组教学当成课堂教学的一个环节，由于学生缺少合作动机，往往是一部分同学吵吵闹闹一部分学生又无所事事，降低了学生对讨论的兴趣，更影响了学生思维的深度，导致合作学习价值的丧失。更由于师生间缺少相互沟通的平台，小组学习往往成为热热闹闹的花架子，教师很难了解各组学习的情况。况且，完整的数学学习是需要渗透到任何“想学习”的过程之中的，而由于缺少某种载体，这种情形下的合作学习根本无法延伸到课外。
3.轰炸式的练习让学生丢失了自我反思的空间
因为班额大任务重难管理，教师很难全面了解学生的学习有了什么、需要什么，总是绞尽脑汁地进行高密度的操练，想一劳永逸地“教会”“练会”学生，但由于学生没有自身内化、学习互动以及思考自我学习效果的平台和机会，因此很多学生只能是“想来想去想到昏天黑地，算来算去算到放弃，恨你恨你恨到心如血滴，恨你恨你恨到彻底忘记”。
二、设计：为了“学得好”，须替学生搭建一个主动学习的鹰架
为了让学生主动建构学习目标、主动与同学合作和主动反思学习效果，激活数学学习的动力，获得数学学习的成功，于是尝试设计并使用了学生成长足迹记录本——“我的足迹”。
1.理性思考
主动学习需要一个鹰架，帮助或引导小学生依据已有的知识与经验，主动去学习设计、体验过程、建构知识和培养能力，进而达成数学学习目标。养成这些良好的习惯，对后继学习以及学习力的培养，其意义都是十分巨大的。习惯养成的核心内容是自我内省与同伴合作。自我内省需要一个空间，让他们在这个空间里写下对今天学习内容的理解、反思或观点，写下今天学习活动的收获、感悟或困惑，写下对明天学习的努力方向、打算和期望，有助于学习主动性的养成，提升学习的质量与效能。自我反思的主要内容是反思学习、寻求帮助、习得方法和确立后续学习目标。合作学习需要一个载体，让学生与同伴、教师以及家长之间的互动有个载体，建立一种合作学习的联结。在合作互动的过程中，分享各自的差异，寻求共识，发展自我。同伴合作的成员主要是小联盟的同学、教师以及家长，合作交流的目的是分享差异、寻求共识、相互激励。
2.设计思路
“我的足迹”是小学生数学学习过程中自我内省的空间、同伴合作的载体，使用“我的足迹”过程是学生进行主动学习的过程。通过学生自我预设目标、过程记录、自我反省、同伴互享激励等措施，从而积极参与数学学习的“反思、记载、评价、交流”等活动。学生借助“我的足迹”，一方面表露自我目标追求、思维结果，与同伴、老师、家长发生联系，得到帮助或肯定；另方面激发学习热情，记载学习过程，反思学习效果，习得学习方法，建构知识体系，寻求更大的进步。
3.具体栏目
一是互动园地，由学生记录当天学习的课题、独立思考的内容、汇报交流的情况和互助情况等内容；二是反思园地，学生既可以把错题库建在这儿，也可以在此处写写自己学习过程中的所思、所想、所感、所悟等；三是拓展园地，记录课堂上的拓展练习，更多的是记录平时或周末“挑战自我”的练习过程；四是草稿园地，是学生打草稿的地方，每天会组织大家草稿园地打分；五是成果园地，主要包含目标制定、目标检测、总结成败得失和家长感言等，把“目标制定”放在成果园地，便于学生自我评价当天的学习情况，总结学习的成败与得失，然后自我设计第二天的学习目标，或者与竞争对手一起讨论甚至与家长一起研究制定。
三、使用：“我的学习我做主”“有困难找同学”
让学生在“我的足迹”记录下在数学学习目标、思维过程、合作学习以及挑战自我等内容，反思、评价独立学习、同伴合作和挑战自我等方面的目标实现情况，激发出强大的自主学习动力。
1.制定目标
作为小学生，及早明确自己的学习目标至关重要。“我的足迹”要求每天都要制定第二天的学习目标，制定目标主要有三种形式：
自己独立制定目标。学生每天选择合适的时机，根据自己的实际情况，在“成果园地”的目标栏目中制定第二天的数学学习目标。给自己制定学习目标的过程需要经过反复斟酌，经过自己深思熟虑而形成的学习目标是第二天学习的指路灯。每每第二天实现一个目标，他们就会有小小的成就感，如果第二天没有实现目标，他们会去寻找原因迎头赶上，制定更适合自己的目标。一个目标一个目标地达成，积累起来，成就感就越来越多，自信心也会越来越足。
和父母一起制定目标。由于有些学生自己独立制定的目标，可能会过高或过低，这对他们的学习都不利。因此引导这些学生回家后与父母一起分析当天的学习情况，跟父母一起恰如其分地探讨第二天的学习目标。在与父母一起制定目标的过程中，很多孩子会得到家长的叮嘱勉励。适合的学习目标会集中学生的注意力，帮助学生在课堂上捕捉与学习目标相关的信息，有效地促进自己的学习。
和竞争对手一起制定目标。没有竞争就没有进步，学习上有一个与自己旗鼓相当的对手是非常有益的。引导学生给自己找一个和自己学习水平相当的学习对手，让他们跟自己的竞争对手一起交流、商讨制定自我的学习目标，是一件振奋人心的事情，通过与竞争对手的商讨，最终敲定牵引自己明天数学学习的目标，这样会激发他们更强的数学学习欲望。 2.表达思考
独立思考不仅仅是数学学习的能力，更是一种重要的学习习惯。在“我的足迹”主要记载以下思考内容：
汇报交流前的思考。学习数学是一个思考的过程，没有思考就没有数学学习。学生参与讨论，参与探究，必须要有自己的见解和认知能力作为前提，个体的独立思考是无法由别人或小组来替代的。学生的思考到达一定的程度，展开讨论才有可能出现一点即通、恍然大悟的效果，才有可能出现“针锋相对”或“另辟蹊径”的学习状态。因此，留给学生一定的独立思考的时间，并要求学生把独立思考的想法写在成长足迹的“互动园地”的独立思考栏目里。这样做既有利于与他人交流分享，也有利于自己进行回顾品味。
解决拓展题时的思考。写解题思路，是指学生在数学学习过程中，通过“写”的方式阐述思维过程，表达自己的观点，提出建议或困惑，从而使自己的数学思维和理解能力得到锻炼和提高。学生把拓展题的思路写在“拓展园地”，能够很好地促进他们养成认真读题、审题的习惯，并不断提升他们运用数学语言的能力。把一些优秀的或者特别的“解题思路”复印在A4纸上，贴在教室后面的“数学天地”中，让同学们去欣赏，这时会激发他们更大的学习动力。
数学测验后的思考。考试后反思，不仅可以帮助学生了解自己数学学习的效果，也可以提升学生审视自己数学学习业绩的内在品质。每次考试前，每一位同学根据自己的学习状况给自己定一个目标，考试成绩出来后，无论结果低于或高于自己制定的目标，都要要进行自我反思，并写在“反思园地”。引导学生自我反思的时候，要给予其大量的鼓励、启示和评价，让学生在这样的思考过程中不断获得前进的动力和和学习的方法。
3.同伴合作
以四至五位同学为单位，自由组合成十几个组成合作学习小联盟，学生在联盟内分享各自的差异，寻求共同的认识，从而获得自我表现的机会和发展的主动权。“我的足迹”主要记载以下合作学习内容：
精诚合作把问题探究。平时组织学生进行开放题、拓展题等综合性训练时，先要求学生独立思考，然后以小联盟为单位进行交流，联盟成员交流的顺序是小雁、中雁、大雁、领头雁，每只雁儿发言后，其他雁儿要对他（她）提出建议，最后推荐联盟代表向全班同学汇报。大家要把本联盟各成员的学习交流材料整理好记载在“互动园地”，或在课堂上交流，或交给老师批阅。
主动帮扶把问题解决。首先是帮助自己联盟中数学学习有困难的同学，然后再去帮扶其他联盟中的困难同学。通过学生的主动帮扶后，使盟主和大雁们越来越有爱心，使中雁和小雁们感受到团队的温暖，觉得自己能在这样一个联盟中学习而无限快乐。多数同学从帮扶活动中深刻的感悟到“互助别人、快乐自己、赠人玫瑰、手有余香”的道理。主动帮扶同伴的，在“我的足迹”上予以记载予以加分表彰。
找到联盟把错题订正。平时学生遇到什么困难或者有什么题目解答不出，就去寻求联盟的同学帮助。“有困难问问同学”，这是一种主动寻求同学帮助的习惯。对于主动寻求帮助的学生来说，这是一个克服挫折的过程，可以培育他的主动性和期待感；而对帮助他人的学生而言，这是一个分享表达的过程，可以培育他的思维深刻性和灵动性。养成这些习惯，同学间可以建立一种相互倾听的关系，同学间才可能进行真正意义上的合作沟通。主动寻求同学帮助的，在“我的足迹”上也予以加分表彰。
4.自我挑战
为了增强学生学习的兴趣和动力，发挥学生的个性和潜能，适时安排学生冲刺“挑战题”，在挑战练习中获得数学学习的愉悦感、成功感。“挑战题”的内容记载“拓展园地”的自我挑战栏目，自我挑战主要有三种形式：
挑战老师提出的问题。大班额的教学，必须最大限度地利用学生的潜能实施有差异的指导。每天数学课的巩固练习环节或课外活动时间，可根据当天所学的数学内容精心设计不同层次的拓展题。从实践情况看，学生是很喜欢挑战的。那些学有余力的学生总喜欢把拓展园地写满，其他同学也可寻找适合的题目进行练习，通过跳一跳摘到自己能够摘到的桃子，巩固了数学基础知识，更重要的是尝到了成功的体验，激发了学习的兴趣。
挑战家长提出的问题。一些学生通过经常性的拓展训练，挑战自我的兴趣大增，每到晚上或周末，他们就会会情不自禁的请家长出些难度较大的题目进行挑战，第二天再把训练结果交给老师进行批阅，以求得内心的满足。很多学生为了超过竞争对手，几乎每天回家都主动进行挑战训练，在挑战自我的过程中，学生积累了一次又一次的成功体验，感受着数学学习的乐趣。
主动请求老师出题挑战。一些学有余力的学生，因为有时候“拓展园地”没什么特别的内容可以记载，就会几位同学相约来到老师这里，主动要求给他们一些挑战题做做。而一些学习学有进步的同学，也跟前面那些同学一样，纷纷争着向老师要挑战题。这些习惯的养成，引领着每一个学生主动地去挑战学习，借助小联盟合作学习相互激励，从而变学习的“苦难”为“快乐”。
四、案例：“发现自我”“反思自我”“挑战自我”
案例1 汪 同学的一则数学日记
年 月 日 星期二
八点，我把本子一仍，坐在了沙发上闭目养神了。
突然，一种熟悉的旋律响起了，我顿时起了劲，节目是放了一个高部截肢的人为自己定了目标，并且付出了一般人多十倍的努力达成了目标。我感动地差一点热泪盈眶了。
几分钟后，我的脑子里突然冒出明天的学习目标，我想我互助的水平还算可以，我可以帮助钱浩巍学会一些他不懂的问题，这样既帮助了钱浩巍，又提高了自己的水平，真是两全其美。可转眼一想，我这个“精致”盟主也不能制定这样简单的目标吧，我又绞尽脑汁的想来想去，终于我头顶上冒出了一个灯泡，有了！首先，要把明天的作业全部做对；第二，帮助钱浩巍做几道数学题；第三，主动争取一个挑战题。
呵呵，明天我要拿出100%的学习态度，争取实现我自己制定的目标，让“火箭”们瞧瞧！ 从这则日记中，我们可以看出这些学生给自己制定学习目标的过程是经过反复斟酌的，经过自己深思熟虑而形成的学习目标，就如他们明天的学习航途的灯塔，引领并激励他们战胜困难勇于攀登。
案例2 刘 同学在“互动园地”中的独立思考栏目中的记录
题目： 左图中，三角形是一个等腰直角三角形，正方形和三角形的面积合起来代表15，请问右边三角形的面积代表多少？
想法1：把原来的图形分成一模一样的三个三角形，15÷3=5
想法2：因为三角形是正方形的一半，所以正方形的面积是10，三角形的面积是5。
想法3： 1个正方形等于2个三角形，把三角形看做1份，这幅图形的面积可以看做一共有3份，2+1=3， 15÷3=5
让学生把独立思考的想法写在成长足迹上，然后在联盟内部进行分享，并向全班同学进行汇报交流。上面这位学生写了3个想法，有利于联盟内部进行交流，有利于自己进行回顾品味，有利于他人分享。
案例3 杨 同学在成长足迹中“反思园地”反思记录
都是粗心惹的祸
这次期末考试，我给自己制定的目标是100分。在解答第六大题第一小题“小明家去年平均每月用水15吨，全年一共用水多少吨？如果1吨水的价钱是2元，小明家去年一共付水费多少钱？”，因为看题不够仔细，我把已知条件“小明家去年平均每月用水15吨”中的“15”看成了“5”，在求第一步“全年一共用水多少吨”时，列式为：12×5=60（吨），求第二步“小明家去年一共付水费多少元”时，列式为：60×2=120（元）。第一步答案错了，第二步也错了， 所以这道题扣了4分，这次只考了96分，没有达到自己的目标100分。哎，又是粗心惹的祸，曾经有多少次数学检测因为粗心与“100分”失之交臂。我下定决心，以后一定要改掉粗心的老毛病，认认真真地读题，仔仔细细地检查，努力朝着自己的目标奋进。
让学生考试后反思，不仅可以改变学生学习的效果，也可以提升学生数学学习的内在品质。上面这位同学自身反思得到“都是粗心惹的祸”的体会，远比教师或家长“怎么搞搞的，这样不细心”的训导有效。
案例4 海啸联盟盟主徐××同学的一则数学日记
××年××月××日 星期× 天气××
“妈，我要练拓展题。”妈妈瞪大眼睛问我：“你要干什么？”“我要练拓展题！”妈妈十分惊异的望着我。因为，在我的世界中，拓展题只有妈妈要我做的时候再做。今天可是头一回我向妈妈“讨”拓展题。妈妈问我为什么，我说：老师为我安排了一个竞争对手——余凯，他很厉害，我不会做的题目他都会做的，所以，我要超过他。妈妈又问我要什么类型的难题，我想：圆柱圆锥这块内容我错得很多，得加强才行。我说：“那就有关圆柱圆锥的吧。”
这是妈妈出的挑战题：把一张铁皮按下图剪割，正好能制成一只铁皮油桶。铁皮的长为16.56分米，求制成的油桶容积。（焊接处忽略不计）
（提示：长方形阴影部分作侧面，两个圆片作底面）
求圆柱的容积，我傻了，这道题，我好像在哪见过，在哪儿……算了，不管三七二十一，先做起来再说吧。让我想想，这道题似乎没什么突破，但是，既然出题目的人出得出来，就一定可以解。我默默地背着老师让我们背的概念。因为老师说过，计算圆柱或圆锥的体积或表面积都离不开这几条概念。忽然我好像有灵感了，要利用阴影长方形的长相当于圆柱的底面周长。我像抓住了一根救命稻草，用这条概念来理解题目，一个圆的周长等于阴影长方形的长，而长方形的长加圆的一条直径=16.56厘米。再想想直径等于字母d，而长方形的长是圆周长，圆周长等于∏d，也就是说∏d+ d=16.56，这个解不出啊，如何下手……
我苦思幂想。不知不觉中，想到了乘法分配律：（a+b）c=ac+bc……唉！对哦！d=1d， ∏约等于3.14，也就是说1d+3.14d=16.56，哇！太棒了！我解出这道题中圆的直径是多少呢。从d（1+3.14）=16.56等式中知道d=4厘米，圆柱的高是两个直径之和8厘米。算出圆柱体积。
从上述案例中可以看到这位学生练习拓展题的愿望非常强烈，因为她想超过竞争对手，于是主动请家长出拓展题进行挑战，该学生通过挑战活动，填补了拓展练习园地的空白，积累了一次又一次的成功体验，感受着数学创造的乐趣，真正成为了学习的主人。
随着城镇化建设，经济欠发达地区的城镇小学受教室和师资所限，平均每个班的学生数大都在50人以上，学生数最多班级的将近60人。有人戏称课堂教学就如一位驾驶员驾着一辆乘着五六十名乘客的大巴行驶在高速公路上。
1.保姆式的教学让学生丧失了习惯养成的机会
因为学生人数过多，教师课堂注意力受到严重限制，所以往往选择偏重于满堂灌的“保姆式”教学，总是搀扶着学生“摘果子”，由于年龄特征的原因，小学生也就不会主动去学习设计、学习体验和主动去建构知识，许多学生无论学得好与坏，同样是一笔“糊涂账”。由于缺少一种机制，教师更无法关注每个学生的个性差异和不同的需求，很难爱护每个学生的好奇心与求知欲，很难激发每个学生的主动意识和进取精神。
2.花样式的安排让学生走向了合作学习的歧途
有时候，也把分组教学当成课堂教学的一个环节，由于学生缺少合作动机，往往是一部分同学吵吵闹闹一部分学生又无所事事，降低了学生对讨论的兴趣，更影响了学生思维的深度，导致合作学习价值的丧失。更由于师生间缺少相互沟通的平台，小组学习往往成为热热闹闹的花架子，教师很难了解各组学习的情况。况且，完整的数学学习是需要渗透到任何“想学习”的过程之中的，而由于缺少某种载体，这种情形下的合作学习根本无法延伸到课外。
3.轰炸式的练习让学生丢失了自我反思的空间
因为班额大任务重难管理，教师很难全面了解学生的学习有了什么、需要什么，总是绞尽脑汁地进行高密度的操练，想一劳永逸地“教会”“练会”学生，但由于学生没有自身内化、学习互动以及思考自我学习效果的平台和机会，因此很多学生只能是“想来想去想到昏天黑地，算来算去算到放弃，恨你恨你恨到心如血滴，恨你恨你恨到彻底忘记”。
二、设计：为了“学得好”，须替学生搭建一个主动学习的鹰架
为了让学生主动建构学习目标、主动与同学合作和主动反思学习效果，激活数学学习的动力，获得数学学习的成功，于是尝试设计并使用了学生成长足迹记录本——“我的足迹”。
1.理性思考
主动学习需要一个鹰架，帮助或引导小学生依据已有的知识与经验，主动去学习设计、体验过程、建构知识和培养能力，进而达成数学学习目标。养成这些良好的习惯，对后继学习以及学习力的培养，其意义都是十分巨大的。习惯养成的核心内容是自我内省与同伴合作。自我内省需要一个空间，让他们在这个空间里写下对今天学习内容的理解、反思或观点，写下今天学习活动的收获、感悟或困惑，写下对明天学习的努力方向、打算和期望，有助于学习主动性的养成，提升学习的质量与效能。自我反思的主要内容是反思学习、寻求帮助、习得方法和确立后续学习目标。合作学习需要一个载体，让学生与同伴、教师以及家长之间的互动有个载体，建立一种合作学习的联结。在合作互动的过程中，分享各自的差异，寻求共识，发展自我。同伴合作的成员主要是小联盟的同学、教师以及家长，合作交流的目的是分享差异、寻求共识、相互激励。
2.设计思路
“我的足迹”是小学生数学学习过程中自我内省的空间、同伴合作的载体，使用“我的足迹”过程是学生进行主动学习的过程。通过学生自我预设目标、过程记录、自我反省、同伴互享激励等措施，从而积极参与数学学习的“反思、记载、评价、交流”等活动。学生借助“我的足迹”，一方面表露自我目标追求、思维结果，与同伴、老师、家长发生联系，得到帮助或肯定；另方面激发学习热情，记载学习过程，反思学习效果，习得学习方法，建构知识体系，寻求更大的进步。
3.具体栏目
一是互动园地，由学生记录当天学习的课题、独立思考的内容、汇报交流的情况和互助情况等内容；二是反思园地，学生既可以把错题库建在这儿，也可以在此处写写自己学习过程中的所思、所想、所感、所悟等；三是拓展园地，记录课堂上的拓展练习，更多的是记录平时或周末“挑战自我”的练习过程；四是草稿园地，是学生打草稿的地方，每天会组织大家草稿园地打分；五是成果园地，主要包含目标制定、目标检测、总结成败得失和家长感言等，把“目标制定”放在成果园地，便于学生自我评价当天的学习情况，总结学习的成败与得失，然后自我设计第二天的学习目标，或者与竞争对手一起讨论甚至与家长一起研究制定。
三、使用：“我的学习我做主”“有困难找同学”
让学生在“我的足迹”记录下在数学学习目标、思维过程、合作学习以及挑战自我等内容，反思、评价独立学习、同伴合作和挑战自我等方面的目标实现情况，激发出强大的自主学习动力。
1.制定目标
作为小学生，及早明确自己的学习目标至关重要。“我的足迹”要求每天都要制定第二天的学习目标，制定目标主要有三种形式：
自己独立制定目标。学生每天选择合适的时机，根据自己的实际情况，在“成果园地”的目标栏目中制定第二天的数学学习目标。给自己制定学习目标的过程需要经过反复斟酌，经过自己深思熟虑而形成的学习目标是第二天学习的指路灯。每每第二天实现一个目标，他们就会有小小的成就感，如果第二天没有实现目标，他们会去寻找原因迎头赶上，制定更适合自己的目标。一个目标一个目标地达成，积累起来，成就感就越来越多，自信心也会越来越足。
和父母一起制定目标。由于有些学生自己独立制定的目标，可能会过高或过低，这对他们的学习都不利。因此引导这些学生回家后与父母一起分析当天的学习情况，跟父母一起恰如其分地探讨第二天的学习目标。在与父母一起制定目标的过程中，很多孩子会得到家长的叮嘱勉励。适合的学习目标会集中学生的注意力，帮助学生在课堂上捕捉与学习目标相关的信息，有效地促进自己的学习。
和竞争对手一起制定目标。没有竞争就没有进步，学习上有一个与自己旗鼓相当的对手是非常有益的。引导学生给自己找一个和自己学习水平相当的学习对手，让他们跟自己的竞争对手一起交流、商讨制定自我的学习目标，是一件振奋人心的事情，通过与竞争对手的商讨，最终敲定牵引自己明天数学学习的目标，这样会激发他们更强的数学学习欲望。 2.表达思考
独立思考不仅仅是数学学习的能力，更是一种重要的学习习惯。在“我的足迹”主要记载以下思考内容：
汇报交流前的思考。学习数学是一个思考的过程，没有思考就没有数学学习。学生参与讨论，参与探究，必须要有自己的见解和认知能力作为前提，个体的独立思考是无法由别人或小组来替代的。学生的思考到达一定的程度，展开讨论才有可能出现一点即通、恍然大悟的效果，才有可能出现“针锋相对”或“另辟蹊径”的学习状态。因此，留给学生一定的独立思考的时间，并要求学生把独立思考的想法写在成长足迹的“互动园地”的独立思考栏目里。这样做既有利于与他人交流分享，也有利于自己进行回顾品味。
解决拓展题时的思考。写解题思路，是指学生在数学学习过程中，通过“写”的方式阐述思维过程，表达自己的观点，提出建议或困惑，从而使自己的数学思维和理解能力得到锻炼和提高。学生把拓展题的思路写在“拓展园地”，能够很好地促进他们养成认真读题、审题的习惯，并不断提升他们运用数学语言的能力。把一些优秀的或者特别的“解题思路”复印在A4纸上，贴在教室后面的“数学天地”中，让同学们去欣赏，这时会激发他们更大的学习动力。
数学测验后的思考。考试后反思，不仅可以帮助学生了解自己数学学习的效果，也可以提升学生审视自己数学学习业绩的内在品质。每次考试前，每一位同学根据自己的学习状况给自己定一个目标，考试成绩出来后，无论结果低于或高于自己制定的目标，都要要进行自我反思，并写在“反思园地”。引导学生自我反思的时候，要给予其大量的鼓励、启示和评价，让学生在这样的思考过程中不断获得前进的动力和和学习的方法。
3.同伴合作
以四至五位同学为单位，自由组合成十几个组成合作学习小联盟，学生在联盟内分享各自的差异，寻求共同的认识，从而获得自我表现的机会和发展的主动权。“我的足迹”主要记载以下合作学习内容：
精诚合作把问题探究。平时组织学生进行开放题、拓展题等综合性训练时，先要求学生独立思考，然后以小联盟为单位进行交流，联盟成员交流的顺序是小雁、中雁、大雁、领头雁，每只雁儿发言后，其他雁儿要对他（她）提出建议，最后推荐联盟代表向全班同学汇报。大家要把本联盟各成员的学习交流材料整理好记载在“互动园地”，或在课堂上交流，或交给老师批阅。
主动帮扶把问题解决。首先是帮助自己联盟中数学学习有困难的同学，然后再去帮扶其他联盟中的困难同学。通过学生的主动帮扶后，使盟主和大雁们越来越有爱心，使中雁和小雁们感受到团队的温暖，觉得自己能在这样一个联盟中学习而无限快乐。多数同学从帮扶活动中深刻的感悟到“互助别人、快乐自己、赠人玫瑰、手有余香”的道理。主动帮扶同伴的，在“我的足迹”上予以记载予以加分表彰。
找到联盟把错题订正。平时学生遇到什么困难或者有什么题目解答不出，就去寻求联盟的同学帮助。“有困难问问同学”，这是一种主动寻求同学帮助的习惯。对于主动寻求帮助的学生来说，这是一个克服挫折的过程，可以培育他的主动性和期待感；而对帮助他人的学生而言，这是一个分享表达的过程，可以培育他的思维深刻性和灵动性。养成这些习惯，同学间可以建立一种相互倾听的关系，同学间才可能进行真正意义上的合作沟通。主动寻求同学帮助的，在“我的足迹”上也予以加分表彰。
4.自我挑战
为了增强学生学习的兴趣和动力，发挥学生的个性和潜能，适时安排学生冲刺“挑战题”，在挑战练习中获得数学学习的愉悦感、成功感。“挑战题”的内容记载“拓展园地”的自我挑战栏目，自我挑战主要有三种形式：
挑战老师提出的问题。大班额的教学，必须最大限度地利用学生的潜能实施有差异的指导。每天数学课的巩固练习环节或课外活动时间，可根据当天所学的数学内容精心设计不同层次的拓展题。从实践情况看，学生是很喜欢挑战的。那些学有余力的学生总喜欢把拓展园地写满，其他同学也可寻找适合的题目进行练习，通过跳一跳摘到自己能够摘到的桃子，巩固了数学基础知识，更重要的是尝到了成功的体验，激发了学习的兴趣。
挑战家长提出的问题。一些学生通过经常性的拓展训练，挑战自我的兴趣大增，每到晚上或周末，他们就会会情不自禁的请家长出些难度较大的题目进行挑战，第二天再把训练结果交给老师进行批阅，以求得内心的满足。很多学生为了超过竞争对手，几乎每天回家都主动进行挑战训练，在挑战自我的过程中，学生积累了一次又一次的成功体验，感受着数学学习的乐趣。
主动请求老师出题挑战。一些学有余力的学生，因为有时候“拓展园地”没什么特别的内容可以记载，就会几位同学相约来到老师这里，主动要求给他们一些挑战题做做。而一些学习学有进步的同学，也跟前面那些同学一样，纷纷争着向老师要挑战题。这些习惯的养成，引领着每一个学生主动地去挑战学习，借助小联盟合作学习相互激励，从而变学习的“苦难”为“快乐”。
四、案例：“发现自我”“反思自我”“挑战自我”
案例1 汪 同学的一则数学日记
年 月 日 星期二
八点，我把本子一仍，坐在了沙发上闭目养神了。
突然，一种熟悉的旋律响起了，我顿时起了劲，节目是放了一个高部截肢的人为自己定了目标，并且付出了一般人多十倍的努力达成了目标。我感动地差一点热泪盈眶了。
几分钟后，我的脑子里突然冒出明天的学习目标，我想我互助的水平还算可以，我可以帮助钱浩巍学会一些他不懂的问题，这样既帮助了钱浩巍，又提高了自己的水平，真是两全其美。可转眼一想，我这个“精致”盟主也不能制定这样简单的目标吧，我又绞尽脑汁的想来想去，终于我头顶上冒出了一个灯泡，有了！首先，要把明天的作业全部做对；第二，帮助钱浩巍做几道数学题；第三，主动争取一个挑战题。
呵呵，明天我要拿出100%的学习态度，争取实现我自己制定的目标，让“火箭”们瞧瞧！ 从这则日记中，我们可以看出这些学生给自己制定学习目标的过程是经过反复斟酌的，经过自己深思熟虑而形成的学习目标，就如他们明天的学习航途的灯塔，引领并激励他们战胜困难勇于攀登。
案例2 刘 同学在“互动园地”中的独立思考栏目中的记录
题目： 左图中，三角形是一个等腰直角三角形，正方形和三角形的面积合起来代表15，请问右边三角形的面积代表多少？
想法1：把原来的图形分成一模一样的三个三角形，15÷3=5
想法2：因为三角形是正方形的一半，所以正方形的面积是10，三角形的面积是5。
想法3： 1个正方形等于2个三角形，把三角形看做1份，这幅图形的面积可以看做一共有3份，2+1=3， 15÷3=5
让学生把独立思考的想法写在成长足迹上，然后在联盟内部进行分享，并向全班同学进行汇报交流。上面这位学生写了3个想法，有利于联盟内部进行交流，有利于自己进行回顾品味，有利于他人分享。
案例3 杨 同学在成长足迹中“反思园地”反思记录
都是粗心惹的祸
这次期末考试，我给自己制定的目标是100分。在解答第六大题第一小题“小明家去年平均每月用水15吨，全年一共用水多少吨？如果1吨水的价钱是2元，小明家去年一共付水费多少钱？”，因为看题不够仔细，我把已知条件“小明家去年平均每月用水15吨”中的“15”看成了“5”，在求第一步“全年一共用水多少吨”时，列式为：12×5=60（吨），求第二步“小明家去年一共付水费多少元”时，列式为：60×2=120（元）。第一步答案错了，第二步也错了， 所以这道题扣了4分，这次只考了96分，没有达到自己的目标100分。哎，又是粗心惹的祸，曾经有多少次数学检测因为粗心与“100分”失之交臂。我下定决心，以后一定要改掉粗心的老毛病，认认真真地读题，仔仔细细地检查，努力朝着自己的目标奋进。
让学生考试后反思，不仅可以改变学生学习的效果，也可以提升学生数学学习的内在品质。上面这位同学自身反思得到“都是粗心惹的祸”的体会，远比教师或家长“怎么搞搞的，这样不细心”的训导有效。
案例4 海啸联盟盟主徐××同学的一则数学日记
××年××月××日 星期× 天气××
“妈，我要练拓展题。”妈妈瞪大眼睛问我：“你要干什么？”“我要练拓展题！”妈妈十分惊异的望着我。因为，在我的世界中，拓展题只有妈妈要我做的时候再做。今天可是头一回我向妈妈“讨”拓展题。妈妈问我为什么，我说：老师为我安排了一个竞争对手——余凯，他很厉害，我不会做的题目他都会做的，所以，我要超过他。妈妈又问我要什么类型的难题，我想：圆柱圆锥这块内容我错得很多，得加强才行。我说：“那就有关圆柱圆锥的吧。”
这是妈妈出的挑战题：把一张铁皮按下图剪割，正好能制成一只铁皮油桶。铁皮的长为16.56分米，求制成的油桶容积。（焊接处忽略不计）
（提示：长方形阴影部分作侧面，两个圆片作底面）
求圆柱的容积，我傻了，这道题，我好像在哪见过，在哪儿……算了，不管三七二十一，先做起来再说吧。让我想想，这道题似乎没什么突破，但是，既然出题目的人出得出来，就一定可以解。我默默地背着老师让我们背的概念。因为老师说过，计算圆柱或圆锥的体积或表面积都离不开这几条概念。忽然我好像有灵感了，要利用阴影长方形的长相当于圆柱的底面周长。我像抓住了一根救命稻草，用这条概念来理解题目，一个圆的周长等于阴影长方形的长，而长方形的长加圆的一条直径=16.56厘米。再想想直径等于字母d，而长方形的长是圆周长，圆周长等于∏d，也就是说∏d+ d=16.56，这个解不出啊，如何下手……
我苦思幂想。不知不觉中，想到了乘法分配律：（a+b）c=ac+bc……唉！对哦！d=1d， ∏约等于3.14，也就是说1d+3.14d=16.56，哇！太棒了！我解出这道题中圆的直径是多少呢。从d（1+3.14）=16.56等式中知道d=4厘米，圆柱的高是两个直径之和8厘米。算出圆柱体积。
从上述案例中可以看到这位学生练习拓展题的愿望非常强烈，因为她想超过竞争对手，于是主动请家长出拓展题进行挑战，该学生通过挑战活动，填补了拓展练习园地的空白，积累了一次又一次的成功体验，感受着数学创造的乐趣，真正成为了学习的主人。