摘要：“数学源于生活，创新始于好奇。”数学概念是现实生活中某一数量关系和空间形式的本质属性在人的思维中的反映，具有高度的抽象性。小学生的思维正处于由具体形象思维向抽象思维过渡的阶段，小学生具有强烈的好奇心和求知欲。教师在教学中运用有效的教学方法，借助合适的教具学具，使学生直观操作、科学探究的同时，把抽象思维转化成具体形象思维，使数学概念更容易被学生认知和理解。笔者以人教版五年级上册《可能性》一课的教学为例，阐述如何有效利用教具和学具，使数学探索深邃有趣，让数学思维向高阶延伸。
　　关键词：教具;学具;数学思维
　　一、因教材而谋
　　笔者认为，利用教具和学具能让教师教得有效、学生学得高效。教师要密切关注教学知识点的来龙去脉，充分地分析与掌握学生的认知发展水平和经验、教学目标定位等。好的教学设计就是要读懂教材，创造性使用教材，从教材谋设计，才能使设计有支柱。
　　“可能性”教学在实验教材中分两段编排：第一次是在三年级上册，主要是让学生初步体验有些事件的发生是确定的，有些则是不确定的，知道事件发生的可能性是有大有小的;第二次是在五年级上册，使学生对“可能性”的认识和理解逐渐完成从定性向定量刻画的过渡，学会用分数描述事件发生的概率。实践表明，第一学段学生理解不确定现象有难度，不容易理解事件发生的可能性。
　　据此，在新课标中，第一学段不再学习概率，将不确定现象的描述后移到第二学段，对于随机性的学习也运用数据分析来体会随机性，并且强调对可能性大小的理解，而不是对可能性本身的理解，使这部分内容更具可操作性，符合小学生学习的特点。另一方面，在小学阶段设置简单的“概率”内容，主要是為了培养学生的随机思维，让其学会用概率的眼光观察世界。因此，在可能性知识的教学中，应加强对学生概率素养的培养，增强学生对随机思想的理解，使学生充分感受和体验简单随机现象中数据的随机性，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小做出定性描述。
　　修订教材中，本单元的教学内容分为两个层次：一是初步感受随机现象中数据的随机性（课文例1）;二是在不确定的基础上体会随机现象的统计规律性（课文例2、例3）。本课的教学，笔者整合了例1和例2，让学生在初步感受随机现象的同时，重点通过实验初步感受随机现象的统计规律性，知道事件发生的可能性是有大有小的。
　　二、因学具而悟
　　《数学课程标准》指出：“数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的思维能力和创新能力方面的不可替代的作用。”因此，小学数学课堂教学的一个重要任务就是激活学生的思维能力。能够激活思维的教学，才是有效的教学;能够开发潜能的教学，才是长效的教学。笔者在《可能性》教学中，深入使用一组教具和学具的变化，拓宽学生的视野、拓展学生思维层次，使学生深入地探索数学知识。
　　（一）一用——具体而微
　　第一环节：
　　师：我们开始“玩转小球”，游戏规则为每位同学分别从大盒中取出几个小球，放入自己的小盒中，使从小盒中任意摸出一个球——一定摸到红球
　　师：（请生展示球盒）为什么在你的球盒中任意摸一个球，一定能摸到红球？
　　生1：我在球盒里放了1个红球，因为盒子里除了红球没有其他颜色的小球，所以一定能摸到红球。
　　生2：我的盒里有4个红球，因为都是红球，所以任意摸一个，一定能摸到红球。
　　生3：我的盒中有8个红球，没有其他颜色的小球，所以任意摸一个，一定能摸到红球。
　　师：几位同学的球盒不一样，为什么任意摸一个，都“一定能摸到红球”呢？
　　生：因为三个球盒中虽然数量有差异，但都只放了红球，所以任意摸一个，“一定能摸出红球”。
　　第二环节：
　　师：现在把他的球倒入袋子，从中任意摸一个，你认为我有可能摸到绿球吗？
　　生（快速且肯定）：不可能。
　　师：为什么？
　　生1：因为这个盒子里只有红球，没有绿球，所以不可能摸到绿球。
　　师：那可能摸到其他颜色的球吗？
　　生2：也不可能。因为这个盒子里只有红球，没有其他颜色的球，所以任意摸一个，除了摸到红球，不可能再摸到其他颜色的球。
　　师（往里面投一个蓝球）：这样，我可能摸到绿球吗？为什么？
　　生：还是不可以，因为虽然盒子中有两种颜色的球，但还是没有绿球，所以无论怎样摸都不可能摸到绿球。
　　师：你还想说什么？
　　生2：在一个球盒里无论放几个球，只要不放绿球，无论怎样摸都不可能摸到绿球。
　　且用且思：第一环节先用教具和学具做“玩转小球”的游戏，让学生利用经验自主设计“一定能摸到红球”的球盒，建构生活实际与数学知识的初联系。在教师的两次追问中感悟“不管球盒里有几个球，只要都是红球，任意摸一个，一定能摸出红球”确定的结果，让学生对“确定事件”有个初步的认识，界定概念的本质。第二环节中教师利用已有教具和学具材料，通过创设不同的情境，让学生多方位感悟“不可能发生的事件”。在本教学环节中，教师“简单而又不简单”地使用教具和学具，让学生从常见的现象中，发现事物的本质规律，将知识纳入原有的认知结构中。
　　这两组利用学具和教具的数学活动的设计，让学生在体验中学习，在辨析中建构新知，“具体而微”——使学生原有的对“一定”和“不可能”事件的认知上升到一个新的台阶，并从中掌握辩证的数学方法。
　　（二）二用——形具神生
　　（1）4个红球，1个蓝球
　　师：现在我们在这个袋子里任意摸一个球，可能摸到什么球？
　　生1：可能摸到红球，也可能摸到蓝球。
　　生2：我也觉得可能摸到红球，也可能摸到蓝球。 　　（请学生摸球，每次摸后放回摇匀再摸）
　　生3：我还觉得摸到红球的可能性比摸到蓝球的可能性大。
　　师：如果再摸一次，结果会怎样？为什么？
　　生：摸到红球的可能性大，因为红球有4个，而蓝球只有1个。
　　（2）4个红球，4个蓝球
　　师：继续往袋子里加入3个蓝球，现在摸到哪种球的可能性大？
　　生1：一样大，因为现在红、蓝两种球的数量同样多。
　　生2：一样大，两种球的数量一样多，摸到的可能性也一样大……
　　生3：摸到红球和摸到蓝球的可能性一样大，因为它们的数量相等。
　　（3）4个红球，8个蓝球
　　师：如果想让摸到蓝球的可能性大，该怎么办？
　　生1：可以增加蓝球，使蓝球的数量比红球多。
　　生2：也可以减少红球，使蓝球的数量比红球多……
　　生3：可以增加蓝球，也可以减少红球，使蓝球的数量比红球多。
　　且用且思：如果说前面的环节设计对本课中的教具和学具“球”的使用让学生对确定事件的认识有了深刻的认识，那么新工具“摸球袋”的加入会让学生对“不确定”事件的感悟更加深刻，达到“形具神生”之效。
　　在这个环节的教学中，让学生利用学具“摸球袋”中“球”的变化感受可能性变化的数学规律。其中红球一直是4个，而蓝球的个数有变化，尽管摸出蓝球都是有可能的，但是可能性的大小却发生了变化。更通过“如果想让摸出蓝球的可能性大，该怎么办”的问题，帮助学生建立可能性大小与数量之间的密切联系。让教具和学具的作用由“有形”的思考，到“无形”的想象，“形具神生”，不断提升学生的思维层次，有助于后续实验结果的分析推理，达到了初步感知可能性大小与数量有关的教学目的。
　　（三）三用——众目具瞻
　　试验材料：往桌面的束口袋里放入有4个红球、8个蓝球。
　　试验要求：
　　1.同桌合作，一人摸球，一人用画正的办法在试验记录单上记录。
　　2.每摸出一球，記录颜色后放回去摇匀再摸（摸时不能偷看），每人重复10次，共20次，最后统计试验的结果。
　　且用且思：可能性大小变化的数学规律的建立光靠想象、猜测是远远不够的，更需要让学生通过教具和学具进行摸球试验，用试验数据深刻感悟才能内化。而操作学具开展摸球活动作为一个验证试验，其操作必须符合随机试验的要求。所以笔者选择的球都是大小一致、轻重相等、手感相同，只是在颜色上有所区别。同时在摸球之前强调了要求：一是摸球者不允许看着球摸球，二是每次摸球前先把球充分搅匀。这样的试验就是一个随机试验，反馈交流中能建立可能性变化的数学规律。
　　学生的摸球活动不是单纯的一个游戏，而是学生利用学具科学地研究可能性的数学活动，因此在活动之后要加强思考、提炼和总结。笔者设计在活动后进行小组汇报，用试验数据证明学生推理的结果，也就是数量多少与可能性大小的关系。还抓住小概率事件发生的情况，让学生体会随机性，进一步加深对可能性的认识。在数据信息中要有意识地引导学生发现：在两倍关系的球袋中摸球，摸到的结果也非常接近这种倍数关系，为后续进一步学习概率的知识埋下伏笔。
　　这样“巧用”教具和学具，能深入地挖掘教学内容的内涵和外延，使学生多层次地经历事件发生的可能性大小的探索过程，感受随机现象的统计规律，实施深度教学。教学中，学生在这一系列的源于教具和学具的思考、探究与交流中，思维火花不断地进发，深入拓展提升，形成了一个数量变化与可能性变化的内在联系，让可能性的教学充满数学味，使学生思维的深度和广度不断被激发，使有效教学落到了实处。
　　如今的课堂教学越来越关注学生的主观能动性和有效的学习，如果教师在数学课堂教学中能从课时内容出发“深度”理解教材，巧用教具和学具，能使学生从教具和学具的有效使用中理清知识、展开逻辑和思维线索，使教学呈现出整体结构化推进的状态，这样课堂教学才能有条理、有层次、有生长感，学生学习才能有兴趣、有探究、有发展性，真正展现“以生为本”的课堂，成为扎实有效的课堂教学。教师在课堂教学中不断巧用教具和学具，展现教具和学具在课堂教学中的优势和价值，才能为课堂教学的有效性“添砖加瓦”。