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【摘要】《义务教育数学课程标准（2011年版）》中把“基本活动经验”作为“四基础”目标提出，体现了在数学课程学习中的重要地位。数学基本活动经验是学生从经历的数学活动过程中获得的感受、体验、领悟以及由此获得的数学知识、技能、情感与观念等内容组成的有机组合性经验，是数学学习过程与结果、个性与共性、内隐与外显的统一体。我们需要关注如何使这些已有的活动经验在不断深化的过程中从单薄走向丰富，从而实现思维品质的提升。
【关键词】基本活动经验 思维品质 丰富 提升
小学数学教学应当致力于为学生的思维发展而教。教师要通过把经验材料“数学化”，把数学材料“逻辑化”，让学生通过具体的数学活动探索理解知识、掌握方法、解决问题，从而获得知识、形成能力、发展思维。
本文結合苏教版小学数学第四册“有余数的除法”这节课的教学实践，谈谈如何在低年级的课堂教学中基于已有数学活动经验进一步深度挖掘，逐步提高学生的思维水平。
一、丰富操作与表达经验。提升数学抽象能力
数学教学过程是充满着探索和创造的过程。学生的数学活动经验最直接的获取方式是动手操作，动手操作是解决数学学科的抽象性与学生以具体形象思维为主的认识水平的矛盾的重要手段。操作能促使学生把外显的动作过程与内部思维活动和谐地结合在一起，帮助其理解掌握数学知识，并发展数学思维。
在长期的学习实践中，学生已经积累了一定的操作经验，在教学中教师可在深入研读和领会教材编排意图的基础上，创设有意义的操作情境，唤醒学生已有的操作经验进行学习。
如在教学“有余数的除法”这一课之前，学生已经具备分小棒、摆图形的操作经验。所以，在探究“把10根棒棒糖，每人分2根、3根、4根、5根，可以分给几人”时，设计的动手操作分一分是可选择的。提供的操作材料有两种，一种是小棒，还有一种是画有10根棒棒糖图片的学习单。结果是怎样的呢？学生根据教师提供的两种操作材料任选一种进行，课堂上个别学生是用摆的方法，大部分学生是用圈的方法，如下图：
以上设计复习分一分的两种方法——摆一摆和圈一圈，激活、呈现了学生已有操作经验。从教学实践中可以发现学生已有的操作经验是存在差异的，选择画图的学生相对于选择摆小棒的学生来说，他们的数学抽象思维水平已有一定程度的提升。
动手操作对于促进学生深刻理解有独到的价值，但我们还应该认识到操作活动的必要内化的意义。概念的获得不仅仅依赖于操作，更要重视对操作结果的分析，使学生能够对图示作出合理的解释，提炼操作心得，并进行交流和分享，从中锻炼学生的语言表达能力，在理解知识本质的同时有效提升数学抽象能力。
如引导学生观察操作后的结果（图2），教师提问：“每人3根，剩余1根，这1根还能按每人3根的要求继续分吗？”让学生通过思考初步感悟平均分后产生剩余是因为余下的部分不够一份的标准，从而化解本课的教学难点。
概念本质上是一种分类行为，分类的过程就是事物抽象的过程。分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想，其关键是确定准确而又合理的分类标准。平均分这个概念对于学生来说不再陌生，但学生的已有经验是平均分后正好分完，对于有剩余的情况是不是平均分是有疑惑的，理解时有难度。教学时，教师根据分的结果让学生尝试分分类，先根据不同点引导学生交流得出平均分后有“正好分完”和“还有剩余”这2种情况（图3）;再关注不同分法的相同点，可以发现每种分法都是每份分得同样多，所以都是平均分。以上设计让学生从具体的操作到抽象的概括表达的学习历程中逐步感悟到平均分后有两种情况：一种是正好分完，还有一种是分后有剩余的，从而完善认知结构。
二、丰富模仿与比较经验，提升数学建模能力
新课标重点提出了对小学数学教学中建模思想的要求，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。教师在教学时，要把握新旧知识的内在联系，从新知的生长点展开探究活动，让学生经历思维突围的过程，在意义建构的过程中提升建模能力。
如“有余数的除法”这课，平均分后有正好分完可以用除法算式表示，等号左边这部分是表示分的过程，等号右边是表示分的结果，这是学生已有的知识经验。需要让学生明确的是，对于表示平均分后还有剩余的情况也可以用除法算式表示。如10根棒棒糖，每人分3根，这是分的过程;可以分给3人，还剩1根，这是分的结果，用怎样的除法算式可以把分的过程和结果完整地表示出来呢？教学时先让学生在学习单上试一试。基于已有的模仿经验，大部分学生列出的算式是10÷3=3（人），对余下的1根不知如何表示。也有少数思维比较严谨的学生在算式10÷3=3（人）后面增加了“余1根”的字样。对于这两种表示方法，教师引导学生把分的过程和结果与有余数除法的写法进行了一一对应的比较，引导学生感悟到第二种写法更为科学合理。在此基础上介绍用6个小圆点连接剩余的部分使算式更为简洁，写成10÷3=3（人）……1（根）。至此，对于有余数的除法如何用除法算式表示在学生心中进行了初次的建模。随后教师指导学生把每人分4根的过程和结果用除法算式表示出来，在前面的学习过程中学生的模仿经验得到了完善和补充，所以在这个环节顺利列出算式10÷4=2（人）……2（根）。
有了初次建模的经验，再引导学生对前后知识进行比较，之前学的平均分后正好分完，可以用这样的算式□÷□=□来表示，也就是几除以几等于几，那还有剩余的情况还能这样表示吗？通过比对，帮助学生利用已有的平均分后正好分完的除法算式的模型，逐步抽象出平均分后还有剩余的有余数除法算式的模型是□÷□=□……□，即几除以几等于几余几，突出其本质上的不同点。
低年级学生的数学思维表现为直接化和图像化。上述教学过程中，在直观操作的基础上，教师引导学生对结果进行比对分析。通过比对，让学生同中求异或者异中求同，在观察、比较、分析及多维感悟中，建立起平均分后的两种数学模型，让学生经历了一个由简单模仿到意义建构的过程，数学的建模能力也随之提升。 三、丰富迁移和类推经验，提升数学推理能力
数学课程标准指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”学生的数学学习，不只是知识和技能，更重要的是思想与方法。
思维始于直观，止于抽象。因此，在教学中要求教师能根据学生已有的经验和真实的思维水平，提供直观的实践操作的机会和抽象的思维拓展的空间，丰富学生迁移类推的经验，去研究同类新问题，并能在学习过程中不断调整自己的经验进行思考和判断，使推理能力得到进一步的发展。
如“余数一定要比除数小”是“有余数的除法”的算理核心所在，要让学生真正理解这一算理的本质，教学时教师不直接告知，而是引领学生经历“猜想余数一动手操作一推理验证一概括结论”的过程，帮助学生充分理解“余数都比除数小”，并渗透归纳推理的数学思想。
首先从学生摆正方形的操作经验出发，先猜想：如果正好摆完，猜猜可能有多少根小棒？明确正好摆完的小棒根数和4的乘法口诀有关。再从学生已有的知识经验出发继续猜想：如果不能正好摆完，猜猜会剩余几根呢？随后的验证猜想环节，让每一个学生动手用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，根据摆的结果（图4）引导学生思考：
余1根、余2根、余3根还能再摆正方形吗？明确余下的根数比4根少不够摆一个正方形了。追问：对于16根小棒摆正方形的情况，可能余4根吗？让学生通过辨析明确“满4根又可以摆1个正方形”，所以不可能余4根。根据已有的事实，概括得出结论：除数是4的有余数除法中余数比除数小。
接着教师引导学生通过联想推理出摆五边形可能剩余的情况，再通过课件动画演示操作结果验证得出，除数是5的有余数除法中余数也比除数小。如果除数是6呢？7呢？这时候余数是不是也比除数小？教师启发学生结合摆正方形和五边形的过程，根据迁移和类推的经验，再次经过联想推理出摆更多边形有剩余的情况。最后概括结论：在有余数的除法中，余数都比除数小。并进行逆向推理：余数可不可能和除数相等或者比除数大？让学生结合操作的过程推理出：如果余数和除数相等，或者比除数大，就可以再摆一个，所以余数必定比除数小。
数学教学，是教师带领学生在课堂场域与数学的真实相遇，寻找儿童思维与教师思维的连接点切入是关键。以上教学设计打破常规的操作活动，不再只是教师指令下的“动手活动”，而是边推理边操作，把操作和思维紧密地结合起来，“余数一定要比除数小”这一算理也随之深深地印刻在学生的头脑里，思维也在这样的活动中变得更加深入。
学习的过程是学习主体与知识在不断碰撞、摩擦、调整从而达到融合的一段旅程。如果我们能在课堂中给予学生积极温暖的体验，创造有情趣、有意思，直达心灵深处的情境，让他们在和谐温馨的学习活动中不断丰富经历，那么在獲得丰富基本活动经验的同时学生的思维品质也能得到有效的提升。
【关键词】基本活动经验 思维品质 丰富 提升
小学数学教学应当致力于为学生的思维发展而教。教师要通过把经验材料“数学化”，把数学材料“逻辑化”，让学生通过具体的数学活动探索理解知识、掌握方法、解决问题，从而获得知识、形成能力、发展思维。
本文結合苏教版小学数学第四册“有余数的除法”这节课的教学实践，谈谈如何在低年级的课堂教学中基于已有数学活动经验进一步深度挖掘，逐步提高学生的思维水平。
一、丰富操作与表达经验。提升数学抽象能力
数学教学过程是充满着探索和创造的过程。学生的数学活动经验最直接的获取方式是动手操作，动手操作是解决数学学科的抽象性与学生以具体形象思维为主的认识水平的矛盾的重要手段。操作能促使学生把外显的动作过程与内部思维活动和谐地结合在一起，帮助其理解掌握数学知识，并发展数学思维。
在长期的学习实践中，学生已经积累了一定的操作经验，在教学中教师可在深入研读和领会教材编排意图的基础上，创设有意义的操作情境，唤醒学生已有的操作经验进行学习。
如在教学“有余数的除法”这一课之前，学生已经具备分小棒、摆图形的操作经验。所以，在探究“把10根棒棒糖，每人分2根、3根、4根、5根，可以分给几人”时，设计的动手操作分一分是可选择的。提供的操作材料有两种，一种是小棒，还有一种是画有10根棒棒糖图片的学习单。结果是怎样的呢？学生根据教师提供的两种操作材料任选一种进行，课堂上个别学生是用摆的方法，大部分学生是用圈的方法，如下图：
以上设计复习分一分的两种方法——摆一摆和圈一圈，激活、呈现了学生已有操作经验。从教学实践中可以发现学生已有的操作经验是存在差异的，选择画图的学生相对于选择摆小棒的学生来说，他们的数学抽象思维水平已有一定程度的提升。
动手操作对于促进学生深刻理解有独到的价值，但我们还应该认识到操作活动的必要内化的意义。概念的获得不仅仅依赖于操作，更要重视对操作结果的分析，使学生能够对图示作出合理的解释，提炼操作心得，并进行交流和分享，从中锻炼学生的语言表达能力，在理解知识本质的同时有效提升数学抽象能力。
如引导学生观察操作后的结果（图2），教师提问：“每人3根，剩余1根，这1根还能按每人3根的要求继续分吗？”让学生通过思考初步感悟平均分后产生剩余是因为余下的部分不够一份的标准，从而化解本课的教学难点。
概念本质上是一种分类行为，分类的过程就是事物抽象的过程。分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想，其关键是确定准确而又合理的分类标准。平均分这个概念对于学生来说不再陌生，但学生的已有经验是平均分后正好分完，对于有剩余的情况是不是平均分是有疑惑的，理解时有难度。教学时，教师根据分的结果让学生尝试分分类，先根据不同点引导学生交流得出平均分后有“正好分完”和“还有剩余”这2种情况（图3）;再关注不同分法的相同点，可以发现每种分法都是每份分得同样多，所以都是平均分。以上设计让学生从具体的操作到抽象的概括表达的学习历程中逐步感悟到平均分后有两种情况：一种是正好分完，还有一种是分后有剩余的，从而完善认知结构。
二、丰富模仿与比较经验，提升数学建模能力
新课标重点提出了对小学数学教学中建模思想的要求，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。教师在教学时，要把握新旧知识的内在联系，从新知的生长点展开探究活动，让学生经历思维突围的过程，在意义建构的过程中提升建模能力。
如“有余数的除法”这课，平均分后有正好分完可以用除法算式表示，等号左边这部分是表示分的过程，等号右边是表示分的结果，这是学生已有的知识经验。需要让学生明确的是，对于表示平均分后还有剩余的情况也可以用除法算式表示。如10根棒棒糖，每人分3根，这是分的过程;可以分给3人，还剩1根，这是分的结果，用怎样的除法算式可以把分的过程和结果完整地表示出来呢？教学时先让学生在学习单上试一试。基于已有的模仿经验，大部分学生列出的算式是10÷3=3（人），对余下的1根不知如何表示。也有少数思维比较严谨的学生在算式10÷3=3（人）后面增加了“余1根”的字样。对于这两种表示方法，教师引导学生把分的过程和结果与有余数除法的写法进行了一一对应的比较，引导学生感悟到第二种写法更为科学合理。在此基础上介绍用6个小圆点连接剩余的部分使算式更为简洁，写成10÷3=3（人）……1（根）。至此，对于有余数的除法如何用除法算式表示在学生心中进行了初次的建模。随后教师指导学生把每人分4根的过程和结果用除法算式表示出来，在前面的学习过程中学生的模仿经验得到了完善和补充，所以在这个环节顺利列出算式10÷4=2（人）……2（根）。
有了初次建模的经验，再引导学生对前后知识进行比较，之前学的平均分后正好分完，可以用这样的算式□÷□=□来表示，也就是几除以几等于几，那还有剩余的情况还能这样表示吗？通过比对，帮助学生利用已有的平均分后正好分完的除法算式的模型，逐步抽象出平均分后还有剩余的有余数除法算式的模型是□÷□=□……□，即几除以几等于几余几，突出其本质上的不同点。
低年级学生的数学思维表现为直接化和图像化。上述教学过程中，在直观操作的基础上，教师引导学生对结果进行比对分析。通过比对，让学生同中求异或者异中求同，在观察、比较、分析及多维感悟中，建立起平均分后的两种数学模型，让学生经历了一个由简单模仿到意义建构的过程，数学的建模能力也随之提升。 三、丰富迁移和类推经验，提升数学推理能力
数学课程标准指出：“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。”学生的数学学习，不只是知识和技能，更重要的是思想与方法。
思维始于直观，止于抽象。因此，在教学中要求教师能根据学生已有的经验和真实的思维水平，提供直观的实践操作的机会和抽象的思维拓展的空间，丰富学生迁移类推的经验，去研究同类新问题，并能在学习过程中不断调整自己的经验进行思考和判断，使推理能力得到进一步的发展。
如“余数一定要比除数小”是“有余数的除法”的算理核心所在，要让学生真正理解这一算理的本质，教学时教师不直接告知，而是引领学生经历“猜想余数一动手操作一推理验证一概括结论”的过程，帮助学生充分理解“余数都比除数小”，并渗透归纳推理的数学思想。
首先从学生摆正方形的操作经验出发，先猜想：如果正好摆完，猜猜可能有多少根小棒？明确正好摆完的小棒根数和4的乘法口诀有关。再从学生已有的知识经验出发继续猜想：如果不能正好摆完，猜猜会剩余几根呢？随后的验证猜想环节，让每一个学生动手用12、13、14、15、16根小棒摆正方形，根据摆的结果（图4）引导学生思考：
余1根、余2根、余3根还能再摆正方形吗？明确余下的根数比4根少不够摆一个正方形了。追问：对于16根小棒摆正方形的情况，可能余4根吗？让学生通过辨析明确“满4根又可以摆1个正方形”，所以不可能余4根。根据已有的事实，概括得出结论：除数是4的有余数除法中余数比除数小。
接着教师引导学生通过联想推理出摆五边形可能剩余的情况，再通过课件动画演示操作结果验证得出，除数是5的有余数除法中余数也比除数小。如果除数是6呢？7呢？这时候余数是不是也比除数小？教师启发学生结合摆正方形和五边形的过程，根据迁移和类推的经验，再次经过联想推理出摆更多边形有剩余的情况。最后概括结论：在有余数的除法中，余数都比除数小。并进行逆向推理：余数可不可能和除数相等或者比除数大？让学生结合操作的过程推理出：如果余数和除数相等，或者比除数大，就可以再摆一个，所以余数必定比除数小。
数学教学，是教师带领学生在课堂场域与数学的真实相遇，寻找儿童思维与教师思维的连接点切入是关键。以上教学设计打破常规的操作活动，不再只是教师指令下的“动手活动”，而是边推理边操作，把操作和思维紧密地结合起来，“余数一定要比除数小”这一算理也随之深深地印刻在学生的头脑里，思维也在这样的活动中变得更加深入。
学习的过程是学习主体与知识在不断碰撞、摩擦、调整从而达到融合的一段旅程。如果我们能在课堂中给予学生积极温暖的体验，创造有情趣、有意思，直达心灵深处的情境，让他们在和谐温馨的学习活动中不断丰富经历，那么在獲得丰富基本活动经验的同时学生的思维品质也能得到有效的提升。