【摘要】利用导数来解决不等式问题，越来越多的被作为考查的重点出现在近几年的高考题中，本文就这点结合教学过程中的实际来简单探讨一下。
　　【关键词】高中数学 导数 不等式
　　不等式是高中数学中的基本问题，它也是高考必考查的一类问题，通常是不等式的解法、含有参数的不等式、不等式的證明等。它可以和函数、数列等知识进行综合考查，考查函数思想、分类讨论思想、可以很好的考查考生的综合分析和解决问题的能力。本文就高考中和平时练习中出现的一些题型，兹举几例进行说明。
　　一、利用导数来证明不等式问题
　　（一）利用导数得出函数单调性来证明不等式
　　我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式：
　　1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。
　　例1：x>0时，求证；x -ln（1+x）<0
　　证明：设f（x）= x -ln（1+x） （x>0）， 则f （x）=
　　∵x>0，∴f （x）<0，故f（x）在（0，+∞）上递减，
　　所以x>0时，f（x）　　2、把不等式变形后再构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目的。
　　例2：已知：a，b∈R，b>a>e， 求证：ab>b a， （e为自然对数的底）
　　证明：要证ab>b a只需证lnab>lnba 即证：blna-alnb>0
　　设f（x）=xlna-alnx （x>a>e）；则f （x）=lna- ，
　　∵a>e，x>a ∴lna>1， <1，∴f （x）>0，因而f（x）在（e， +∞）上递增
　　∵b>a，∴f（b）>f（a）；故blna-alnb>alna-alna=0；即blna>alnb
　　所以ab>b a成立。
　　注意：此题若以a为自变量构造函数f（x）=blnx-xlnb （e　　则 ，f′（x）>0时 时 ，故f（x）在区间（e， b）上的增减性要由 的大小而定，当然由题可以推测 ，
　　故f（x）在区间（e， b）上递减，但要证明 则需另费周折，因此，本题还是选择以a为自变量来构造函数好，由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的。
　　（二）利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式。
　　导数的另一个作用是求函数的最值。 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立。从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题。利用导数求出函数的最大（小）值，再证明不等式：
　　例3：求证：n∈N*，n≥3时，2n >2n+1
　　证明：要证原式，即需证：2n-2n-1>0，n≥3时成立
　　设f（x）=2x-2x-1（x≥3），则f （x）=2xln2-2（x≥3），
　　∵x≥3，∴f （x）≥23ln3-2>0
　　∴f（x）在[3，+∞ 上是增函数，
　　∴f（x）的最小值为f（3）=23-2×3-1=1>0
　　所以，n∈N*，n≥3时，f（n）≥f（3）>0， 即n≥3时，2n-2n-1>0成立，
　　二、利用导数解决不等式恒成立问题
　　不等式恒成立问题，一般都会涉及到求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f（x） （或m　　例4：已知函数 ，对f（x）定义域内任意的x的值，f（x）≥27恒成立，求a的取值范围。
　　解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），由f（x）≥27对一切x∈（0，+∞）恒成立
　　知 对一切x∈（0，+∞）恒成立，
　　即 对x∈（0，+∞）恒成立
　　设 则 ，由h′（x）=0解
　　h′（x）>0时，解得00时x>
　　所以h（x）在（0， ）上递增，在（ ，+∞）上递减，
　　故h（x）的最大值为 ，所以
　　总之，无论是证明不等式，还是解不等式，只要在解题过程中需要用到函数的单调性或最值，我们都可以用导数作工具来解决，这是导数的一个新的应用，也是转化与化归思想在高中数学中的重要体现。
　　【参考文献】
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　　[3]罗春才；浅谈利用导数处理不等式有关的问题[J]；魅力中国，2009（5）
　　[4]陈建国；浅谈导数的应用[J]；经营管理者，2015（22）