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【摘 要】数学教学要扎根于学生的学习基础和生活经验。除了要考虑所教内容的显性知识，更要充分挖掘教学内容蕴含的数学思想方法，并重视数学知识之间的联系，加强数学思想方法的渗透，注重用数学思想方法来指导和带动具体知识内容的教学，从而让学生在意义理解中建构知识。
【关键词】数学思想 除法 线段图
【教前思考】
“植树问题”是人教版教材五年级上册“数学广角”的教学内容，本节课应向学生渗透建模、数形结合、一一对应等数学思想方法。教师在教学中，往往要通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现规律，掌握植树问题的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
很多一线教师对这节课进行了有效的实践，基本流程如下。
第一环节：出示“同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？”画线段图来表示题意，发现100米太长，很难表示出来。怎么办呢？把“100米”改成“20米”，这样为研究问题提供了方便，也体现“化繁为简”的思想。
第二环节：突出线段图的教学，运用教具帮助学生直观理解植树问题的数学模型。展示学生不同的图示，在理解了“间隔”的意义后，让学生说说需要栽几棵树。请学生在黑板上用学具树摆一摆，理解“与棵数一一对应的间隔数”，讨论得出棵数与间隔数之间的关系。再让学生在“100米”上加以验证，从而建立起一条线段两端都种这类植树问题的基本数学模型：距离÷间距=棵数，棵数=间隔数 1。对于一端种、一端不种和两端都不种两种情况，继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，运用教具，抓住棵数和间隔数之间一一对应的关系，找出一般规律来解决问题。即一端种，一端不种：棵数=间隔数；两端都不种：棵数=间隔数-1。
第三环节：以“植树问题”为背景帮助学生认识电线杆问题、路灯问题、锯木问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，让学生建构相应的数学模型。
思考：上面的教学过程按照“生活原型—找到规律—应用”的思路展开，重视规律的生成和运用。在解决“植树问题”时，教师往往要求学生熟背公式，然后变化问题情境训练解题技能。学生的理解和记忆的任务很重，在教学过程中，学生首先要理解以下四个概念：距离（20米）、间距（5米）、间隔数（4个）、棵数（5棵），要掌握“距离、间距与间隔数”和“间隔数与棵数”之间的关系，能运用三种情况，即两端都种、一端种，一端不种和两端都不种。在解决问题时，学生最困难的还是识别“植树问题”的类型，要把几种情况与数量关系一一对应起来。
基于以上的认识，我们能不能从数学的源头来思考“植树问题”的教学呢？“植树问题”是与除法有关的，而除法又是从平均分而来。那么，我们是否可以从除法的意义入手，从点和段之间的关系来研究植树问题。在著名特级教师俞正强老师的引领下，笔者在“俞正强名师网络工作室”研修活动中，就此进行了实践。
【课堂实录】
一、准备练习
20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？
师：你会算吗？
生：20÷5=4（段）。
师：为什么用除法？
生：总量是20，每份是5，要求20里面有几个5，用除法解决。
生：平均每5米一段。
师：平均分的事情，所以用除法。（板书：平均分）
师：你能把这道题用线段图表示出来吗？
学生汇报，师示范并提问：分成了几段？
（评析：把“植树问题”作为用除法解决问题的一种特殊情况，从除法的意义入手展开教学，找到学生知识的最近发展区，由易到难，激活学生学习的经验和基础。让“植树问题”这一复杂的问题回到知识的“发生地”，即除法的意义的理解，特别是包含除意义的理解。）
二、例题教学
出示例题：在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？
1.学生独立思考。（出现4棵或者5棵的答案）
生：20÷5=4（棵）。
生： 20÷5=4，4 1=5（棵）。
师：你觉得怎么分析能让同学们听得更明白？（引导学生画线段图）
2.用线段图分析题意。
生：每隔5米栽一棵，平均分成4段。20除以5等于4，4表示4段，不是4棵。应该是4加上1等于5棵。
师：为什么要加上1？
请学生上讲台来指：从线段图上看出，平均分成4段，有5棵树可以种。
师：从线段图上看，树是种在哪里的？
生：点上，5个点就是5棵树。（用学具树摆一摆）
师：树是种在点上的。20米路，平均分成4段，有5个点，可以种5棵树。
师用学具树示范：把树种在点上，体会点数与段数一一对应的思想。
3.研究段数和点数的关系。
师：4段有5个点。1段有几个点？2段有几个点？3段有几个点……
师：点数和段数有怎样的关系？[点数（棵数）=段数 1]
4.应用：把“全长20米的小路”改成“30米”“35米” “40米”“100米”……一共要栽多少棵？
（评析：将“两端都种”作为“植树问题”的基本模型，归纳出点数与段数的关系，渗透数形结合、一一对应的数学思想。“你觉得怎样分析能让同学们听得更明白”，突出线段图的教学，通过几何直观帮助学生来理解“植树问题”。让学生自己画一画、说一说、摆一摆，感受“树是种在线段图的点上”，棵数即点数。）
三、比较异同
比较这两题有什么相同点和不同点。
1.20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？
2.在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？ 生：都要用到除法，20÷5=4（段）。
生：两道题目画的线段图是一样的。
生：都是平均分的。
师：不同点呢？
生：第1题求几段，第2题求几棵？
师：段数和棵数有什么不同？
[评析：通过比较两道题的相同点（都是20米，每5米一段，可以分成4段），进一步沟通植树问题与除法的意义之间的联系。在强调平均分的同时，让学生明白树要种在点上。教师追问“段数和棵数有什么不同”，抓住点和段的区别（一一对应的关系），来巩固段数和点数（棵数）的关系。]
四、应用模型
教师引导学生看线段图思考：除了树可以种在点上，生活中还有什么事情把什么放在点上的？
生：电工在路边装路灯时，路灯就相当于放在“点” 上。
教师屏幕出示：在一条全长20米的街道一旁装路灯，每隔5米装一盏。一共要装多少盏路灯？
生：工人叔叔架设电线杆，电线杆就相当于放在“点”上。
教师适时出示：工人们正在架设电线杆，相邻两根间的距离是200米。在总长4000米的笔直路上，一共要架设多少根电线杆？
师：我还准备了一道同学们没讲到的植树问题。
出示：5路公共汽车行驶路线全长18千米，相邻两站之间的路程都是1千米。一共设多少个车站？
提问：在这里谁相当于树，放在“点”上的？
出示情境①：在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，结果路的一端有一幢房子，一共要栽多少棵树苗？
比较：跟两端都栽有什么不同？
生：少了一棵，只要种4棵。5减去1等于4棵。
板书：一端栽，一端不栽
点数（棵数）=两端都栽的棵数-1
出示情境②：在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，结果路的两端都有房子，一共要栽多少棵树苗？
引导学生与两端都栽的棵数进行比较，得出：5减去2等于3棵。
板书：两端都不栽
点数（棵数）=两端都栽的棵数-2
[评析：通过举例“生活中还有什么事情把什么放在点上的“，不遗余力和学生一起寻找类似植树问题的实例，借助类比联想让学生自主建构模型，清晰对植树问题的认识。在“两端都种”模型的基础上，引出两个具体情境（一端栽，一端不栽和两端都不栽），分别用“5-1”和“5-2”的方法得出结果]。
五、巩固练习
练习一：学校里有一条长60米的走廊，计划在走廊一旁摆花，每隔3米摆一盆。
（1）如果两端都各摆一盆花，那么共需多少盆花？
（2）如果只有一端摆，那么共需多少盆花？
（3）如果两端都不摆，那么共需多少盆花？
练习二：一根木头长15米，每5米锯一段，需要锯几次？
【思考】
“植树问题”本质上是除法的问题，它只是除法的意义在生活中的延伸。学生借助现实中的生活情境，建立“植树问题”的表象，通过画图，直观地理解段数和点数的关系，从而将“植树问题”纳入到已有的认知结构中。俞正强老师认为：平均分有两种，一种是完全平均分（如10÷2），带来段的应用和点的应用，像行程问题、工程问题（关于份数和每份数的）都是段的应用。而植树问题、装路灯、锯木头等都是平均分中点的问题。另一种是不完全平均分（如9÷2），即有余数的除法，用来解决如租船等有余数的除法。
这种按“理解平均分的意义——意义应用”展开的教学，彰显了学生学的价值，再不用像传统教法那样承载那么重的记忆负担。其一，“植树问题”在小学数学知识体系里不是孤立存在的，把“20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？”和“在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？”联系在一起进行教学，正是为了唤起学生已有的知识经验，以完善对平均分的认识。我们可以这样理解，例题是对准备题的生活应用。其二，抓住“两端都种”（研究点比段多1），以它为模型，顺势带出另外两种“植树问题”的解决方法，一端种，一端不种就是在两端都种的基础上减1，两端都不种就是在两端都种的基础上减2。
我们把“植树问题”扎根于学生的学习基础和生活经验，通过猜想、验证、举例、判断等活动，逐步建构模型。换一个角度看待问题，让学生理解重点，自己解决问题、建构知识。
参考文献：
[1]俞正强.小学数学课堂学习[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
（浙江省义乌市江滨小学 322000）
【关键词】数学思想 除法 线段图
【教前思考】
“植树问题”是人教版教材五年级上册“数学广角”的教学内容，本节课应向学生渗透建模、数形结合、一一对应等数学思想方法。教师在教学中，往往要通过现实生活中一些常见的实际问题，让学生从中发现规律，掌握植树问题的数学模型，然后再用发现的规律来解决生活中的一些简单实际问题。
很多一线教师对这节课进行了有效的实践，基本流程如下。
第一环节：出示“同学们在全长100米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？”画线段图来表示题意，发现100米太长，很难表示出来。怎么办呢？把“100米”改成“20米”，这样为研究问题提供了方便，也体现“化繁为简”的思想。
第二环节：突出线段图的教学，运用教具帮助学生直观理解植树问题的数学模型。展示学生不同的图示，在理解了“间隔”的意义后，让学生说说需要栽几棵树。请学生在黑板上用学具树摆一摆，理解“与棵数一一对应的间隔数”，讨论得出棵数与间隔数之间的关系。再让学生在“100米”上加以验证，从而建立起一条线段两端都种这类植树问题的基本数学模型：距离÷间距=棵数，棵数=间隔数 1。对于一端种、一端不种和两端都不种两种情况，继续通过画线段图的方法帮助学生分析、理解，运用教具，抓住棵数和间隔数之间一一对应的关系，找出一般规律来解决问题。即一端种，一端不种：棵数=间隔数；两端都不种：棵数=间隔数-1。
第三环节：以“植树问题”为背景帮助学生认识电线杆问题、路灯问题、锯木问题等都与“植树问题”有着相同的数学结构，让学生建构相应的数学模型。
思考：上面的教学过程按照“生活原型—找到规律—应用”的思路展开，重视规律的生成和运用。在解决“植树问题”时，教师往往要求学生熟背公式，然后变化问题情境训练解题技能。学生的理解和记忆的任务很重，在教学过程中，学生首先要理解以下四个概念：距离（20米）、间距（5米）、间隔数（4个）、棵数（5棵），要掌握“距离、间距与间隔数”和“间隔数与棵数”之间的关系，能运用三种情况，即两端都种、一端种，一端不种和两端都不种。在解决问题时，学生最困难的还是识别“植树问题”的类型，要把几种情况与数量关系一一对应起来。
基于以上的认识，我们能不能从数学的源头来思考“植树问题”的教学呢？“植树问题”是与除法有关的，而除法又是从平均分而来。那么，我们是否可以从除法的意义入手，从点和段之间的关系来研究植树问题。在著名特级教师俞正强老师的引领下，笔者在“俞正强名师网络工作室”研修活动中，就此进行了实践。
【课堂实录】
一、准备练习
20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？
师：你会算吗？
生：20÷5=4（段）。
师：为什么用除法？
生：总量是20，每份是5，要求20里面有几个5，用除法解决。
生：平均每5米一段。
师：平均分的事情，所以用除法。（板书：平均分）
师：你能把这道题用线段图表示出来吗？
学生汇报，师示范并提问：分成了几段？
（评析：把“植树问题”作为用除法解决问题的一种特殊情况，从除法的意义入手展开教学，找到学生知识的最近发展区，由易到难，激活学生学习的经验和基础。让“植树问题”这一复杂的问题回到知识的“发生地”，即除法的意义的理解，特别是包含除意义的理解。）
二、例题教学
出示例题：在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？
1.学生独立思考。（出现4棵或者5棵的答案）
生：20÷5=4（棵）。
生： 20÷5=4，4 1=5（棵）。
师：你觉得怎么分析能让同学们听得更明白？（引导学生画线段图）
2.用线段图分析题意。
生：每隔5米栽一棵，平均分成4段。20除以5等于4，4表示4段，不是4棵。应该是4加上1等于5棵。
师：为什么要加上1？
请学生上讲台来指：从线段图上看出，平均分成4段，有5棵树可以种。
师：从线段图上看，树是种在哪里的？
生：点上，5个点就是5棵树。（用学具树摆一摆）
师：树是种在点上的。20米路，平均分成4段，有5个点，可以种5棵树。
师用学具树示范：把树种在点上，体会点数与段数一一对应的思想。
3.研究段数和点数的关系。
师：4段有5个点。1段有几个点？2段有几个点？3段有几个点……
师：点数和段数有怎样的关系？[点数（棵数）=段数 1]
4.应用：把“全长20米的小路”改成“30米”“35米” “40米”“100米”……一共要栽多少棵？
（评析：将“两端都种”作为“植树问题”的基本模型，归纳出点数与段数的关系，渗透数形结合、一一对应的数学思想。“你觉得怎样分析能让同学们听得更明白”，突出线段图的教学，通过几何直观帮助学生来理解“植树问题”。让学生自己画一画、说一说、摆一摆，感受“树是种在线段图的点上”，棵数即点数。）
三、比较异同
比较这两题有什么相同点和不同点。
1.20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？
2.在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？ 生：都要用到除法，20÷5=4（段）。
生：两道题目画的线段图是一样的。
生：都是平均分的。
师：不同点呢？
生：第1题求几段，第2题求几棵？
师：段数和棵数有什么不同？
[评析：通过比较两道题的相同点（都是20米，每5米一段，可以分成4段），进一步沟通植树问题与除法的意义之间的联系。在强调平均分的同时，让学生明白树要种在点上。教师追问“段数和棵数有什么不同”，抓住点和段的区别（一一对应的关系），来巩固段数和点数（棵数）的关系。]
四、应用模型
教师引导学生看线段图思考：除了树可以种在点上，生活中还有什么事情把什么放在点上的？
生：电工在路边装路灯时，路灯就相当于放在“点” 上。
教师屏幕出示：在一条全长20米的街道一旁装路灯，每隔5米装一盏。一共要装多少盏路灯？
生：工人叔叔架设电线杆，电线杆就相当于放在“点”上。
教师适时出示：工人们正在架设电线杆，相邻两根间的距离是200米。在总长4000米的笔直路上，一共要架设多少根电线杆？
师：我还准备了一道同学们没讲到的植树问题。
出示：5路公共汽车行驶路线全长18千米，相邻两站之间的路程都是1千米。一共设多少个车站？
提问：在这里谁相当于树，放在“点”上的？
出示情境①：在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，结果路的一端有一幢房子，一共要栽多少棵树苗？
比较：跟两端都栽有什么不同？
生：少了一棵，只要种4棵。5减去1等于4棵。
板书：一端栽，一端不栽
点数（棵数）=两端都栽的棵数-1
出示情境②：在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵，结果路的两端都有房子，一共要栽多少棵树苗？
引导学生与两端都栽的棵数进行比较，得出：5减去2等于3棵。
板书：两端都不栽
点数（棵数）=两端都栽的棵数-2
[评析：通过举例“生活中还有什么事情把什么放在点上的“，不遗余力和学生一起寻找类似植树问题的实例，借助类比联想让学生自主建构模型，清晰对植树问题的认识。在“两端都种”模型的基础上，引出两个具体情境（一端栽，一端不栽和两端都不栽），分别用“5-1”和“5-2”的方法得出结果]。
五、巩固练习
练习一：学校里有一条长60米的走廊，计划在走廊一旁摆花，每隔3米摆一盆。
（1）如果两端都各摆一盆花，那么共需多少盆花？
（2）如果只有一端摆，那么共需多少盆花？
（3）如果两端都不摆，那么共需多少盆花？
练习二：一根木头长15米，每5米锯一段，需要锯几次？
【思考】
“植树问题”本质上是除法的问题，它只是除法的意义在生活中的延伸。学生借助现实中的生活情境，建立“植树问题”的表象，通过画图，直观地理解段数和点数的关系，从而将“植树问题”纳入到已有的认知结构中。俞正强老师认为：平均分有两种，一种是完全平均分（如10÷2），带来段的应用和点的应用，像行程问题、工程问题（关于份数和每份数的）都是段的应用。而植树问题、装路灯、锯木头等都是平均分中点的问题。另一种是不完全平均分（如9÷2），即有余数的除法，用来解决如租船等有余数的除法。
这种按“理解平均分的意义——意义应用”展开的教学，彰显了学生学的价值，再不用像传统教法那样承载那么重的记忆负担。其一，“植树问题”在小学数学知识体系里不是孤立存在的，把“20米长的线段，每5米分一段，可以分成几段？”和“在全长20米的小路一边植树，每隔5米栽一棵。一共要栽多少棵树苗？”联系在一起进行教学，正是为了唤起学生已有的知识经验，以完善对平均分的认识。我们可以这样理解，例题是对准备题的生活应用。其二，抓住“两端都种”（研究点比段多1），以它为模型，顺势带出另外两种“植树问题”的解决方法，一端种，一端不种就是在两端都种的基础上减1，两端都不种就是在两端都种的基础上减2。
我们把“植树问题”扎根于学生的学习基础和生活经验，通过猜想、验证、举例、判断等活动，逐步建构模型。换一个角度看待问题，让学生理解重点，自己解决问题、建构知识。
参考文献：
[1]俞正强.小学数学课堂学习[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
（浙江省义乌市江滨小学 322000）