论文部分内容阅读
错误是学生在学习过程中的一种现象。在教学中企图让学生完全避免错误是不可能的,也是没有必要的。教师的任务就在于从教学中随时发现学生学习的症结及其产生的原因,对症下药,因材施教。怎样对待和尽量减少这些错误?本文结合学生在一次作业中的错误,来探讨在教学过程中如何对待学生错误的,从而减少错误的发生。
[作业1](苏州大学出版的教学与测试87课时第七题)
在△ABC中(见图1),已知∠C=3∠A,BC=27,AB=48,求AC的长。
学生的解答方法主要有以下几种:
解法1: 。
则 。
又A+C<π∴4A<π∴0 则由余弦定理得: 。
∴x2-80x+1575=0。 ∴x=35或x=45。
解法2:∵cosC=cos3A=4cos3A-3cosA=- <0,∴∠C
为钝角,利用cosC=- = x2+10x-1575=0。
x=35或x=-45,故x=35。
解法3:sinA= ,cosA= ,cosC=- 。
sinC=sin3A=3sinA-4sin3A= 。
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 。
由正弦定理得: ,∴x=35。
毫无疑问,在这三种解答中,方法1肯定是错误的,但学生中使用方法1的最多。面对错误,作为执教者应该如何处理呢?教师如果直接指出病根,那么就剥夺了一次学生自我思考、训练思维的极好机会,而且如此简单的处理,也势必会增加同样错误出现的频率。在评讲作业的过程中,对学生进行启发引导,首先提出几个问题:
问题一:这属于课本上给的哪种解斜三角形的类型?可以使用什么方法解三角形?
问题二:解法1为什么会出现两解?如何改进呢?
问题三:解法2从角C入手为什么只有一解呢?
问题四:解法3与前面两种解法的本质区别在哪里?
问题五:以后遇到类似问题如何解决?
对于问题一,学生很快就能回答是已知三角形的两边及其中一边所对的角,解三角形的问题。可以用正弦定理或余弦定理来解三角形。
对于问题二,学生讨论后提出结论在△ABC中,已知两边
AB=48,BC=27极易求出sinA= ,由正弦定理可求sinC=
,AB>BC,则∠C可以有两解,故△ABC有两解。∵cosA
= , , ,∴AB2>BC2
+AC2验证得AC=35。(见图2)
图1图2
对于问题三,学生在问题二的基础上给出结论:
∵cosC=cos3A=4cos3A-3cosA=- <0,∴∠C为钝
角,故△ABC只能有一解。
对于问题四,学生很快就可以看出,解法1和解法2使用的是余弦定理,解法3使用的是正弦定理。
对于问题五,教师给出小结,这里是已知两边和其中较小的一边所对的角,求第三边。考虑问题首选的是正弦定理,这样一定不会出现增根;若使用余弦定理,必须考虑到增根的情况,进行验证。并要求学生仔细阅读题目,提出一种利用平面几何的方法解决问题,开拓学生的思维。
解法4:如图3,作∠ACD=∠A(D在AB上),BA=48。
∴AD=48-27=21。
在△ABC中,cos∠BDC= ,∴cos∠ADC=- 。
在△ADC中,由余弦定理AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC。∴∠AC=35。
备注:1.三倍角公式
sin3A=sin(A+2A)
=sinAcos2A+cosAsin2A
=sinA(1-2sin2A)+cosA•2sinAcosA
=sinA-2sin3A+2sinA(1-sin2A)
=3sinA-4sin3A
同理cos3A=4cos3A-3cosA。
2.可用sinB=sin(A+C)=sin(π-4A)=sin4A=2sin2Acos2A
=4sinAcosA(2cos2A-1)=4× × ×(2× -1)=
来求sinB。
在评讲完作业题后,又给出两道练习题,要求学生利用自己能想到的各种方法,比较学习,巩固所学。
[练习1]如图4,某观测站C在城A的南偏西20°方向上,从城A出发有一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得距离C处31千米的公路上的B处有一个人正沿着公路向城A走去,走20千米后到达D处,测得CD=21千米。这时此人距城A多少千米?
解法1:在△BCD中,由余弦定理得:
cos∠CDB=- ,而sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)= 。
在△ACD中,由正弦定理得:
。
解法2:在△BDC,由余弦定理得:
cosB= 。
在△ABC中,由正弦定理得: AC=24。
在△ACD中,设AD=x,由余弦定理得:
212=242+x2-2×24•xcos60°x2-24x+135=0,则x=15或x=9。
此时cos∠CDB=- ,∴sin∠CDA= > =sin∠CAD。
∠CDA>∠CAD故AC>CD,验证,x=15。
解法3:在△BCD中,由余弦定理得:
cos∠CDB=- ,∴sin∠CDB= 。
在△ACD中,由正弦定理得: AC=24。
在△ACD中,cos∠ADC=-cos=∠CDB= 。
∴ 242=212+x2-2×21•x•cos∠ADC。
∴ x=15或x=-9(舍去)。
故x=15。
[练习2](2006年,高考全国卷Ⅱ,文17题)
已知在△ABC中,∠B=45°,AC= ,cosC= 。
(1)求BC边的长;
(2)记AB的中点为D,求中线CD的长。
解法:(1)由cosC= 得sinC= ,则:
sinA=sin(180°-45°-C)= (cosC+sinC)= 。
由正弦定理得: 。
(2)略
解法2:由cosC= 得sinC= ,由正弦定理得:
AB=2
由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB。
即10=4+BC2-4• BCBC=3 或- 。
解法3:利用AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cosC。
解得BC=3 或 。
验证得 为增根,舍去。
在实际教学中,我们要从有利于学生发展的角度,善待错误。一方面,错误可以充分暴露学生思维的薄弱环节,有利于对症下药;另一方面,错误在许多时候比正确更有教育价值。要使学生的错误转化为学习的催化剂,让学生在纠错的过程中感受数学的魅力,享受学习数学的快乐。
[作业1](苏州大学出版的教学与测试87课时第七题)
在△ABC中(见图1),已知∠C=3∠A,BC=27,AB=48,求AC的长。
学生的解答方法主要有以下几种:
解法1: 。
则 。
又A+C<π∴4A<π∴0
∴x2-80x+1575=0。 ∴x=35或x=45。
解法2:∵cosC=cos3A=4cos3A-3cosA=- <0,∴∠C
为钝角,利用cosC=- = x2+10x-1575=0。
x=35或x=-45,故x=35。
解法3:sinA= ,cosA= ,cosC=- 。
sinC=sin3A=3sinA-4sin3A= 。
sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC= 。
由正弦定理得: ,∴x=35。
毫无疑问,在这三种解答中,方法1肯定是错误的,但学生中使用方法1的最多。面对错误,作为执教者应该如何处理呢?教师如果直接指出病根,那么就剥夺了一次学生自我思考、训练思维的极好机会,而且如此简单的处理,也势必会增加同样错误出现的频率。在评讲作业的过程中,对学生进行启发引导,首先提出几个问题:
问题一:这属于课本上给的哪种解斜三角形的类型?可以使用什么方法解三角形?
问题二:解法1为什么会出现两解?如何改进呢?
问题三:解法2从角C入手为什么只有一解呢?
问题四:解法3与前面两种解法的本质区别在哪里?
问题五:以后遇到类似问题如何解决?
对于问题一,学生很快就能回答是已知三角形的两边及其中一边所对的角,解三角形的问题。可以用正弦定理或余弦定理来解三角形。
对于问题二,学生讨论后提出结论在△ABC中,已知两边
AB=48,BC=27极易求出sinA= ,由正弦定理可求sinC=
,AB>BC,则∠C可以有两解,故△ABC有两解。∵cosA
= , , ,∴AB2>BC2
+AC2验证得AC=35。(见图2)
图1图2
对于问题三,学生在问题二的基础上给出结论:
∵cosC=cos3A=4cos3A-3cosA=- <0,∴∠C为钝
角,故△ABC只能有一解。
对于问题四,学生很快就可以看出,解法1和解法2使用的是余弦定理,解法3使用的是正弦定理。
对于问题五,教师给出小结,这里是已知两边和其中较小的一边所对的角,求第三边。考虑问题首选的是正弦定理,这样一定不会出现增根;若使用余弦定理,必须考虑到增根的情况,进行验证。并要求学生仔细阅读题目,提出一种利用平面几何的方法解决问题,开拓学生的思维。
解法4:如图3,作∠ACD=∠A(D在AB上),BA=48。
∴AD=48-27=21。
在△ABC中,cos∠BDC= ,∴cos∠ADC=- 。
在△ADC中,由余弦定理AC2=AD2+DC2-2AD•DC•cos∠ADC。∴∠AC=35。
备注:1.三倍角公式
sin3A=sin(A+2A)
=sinAcos2A+cosAsin2A
=sinA(1-2sin2A)+cosA•2sinAcosA
=sinA-2sin3A+2sinA(1-sin2A)
=3sinA-4sin3A
同理cos3A=4cos3A-3cosA。
2.可用sinB=sin(A+C)=sin(π-4A)=sin4A=2sin2Acos2A
=4sinAcosA(2cos2A-1)=4× × ×(2× -1)=
来求sinB。
在评讲完作业题后,又给出两道练习题,要求学生利用自己能想到的各种方法,比较学习,巩固所学。
[练习1]如图4,某观测站C在城A的南偏西20°方向上,从城A出发有一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得距离C处31千米的公路上的B处有一个人正沿着公路向城A走去,走20千米后到达D处,测得CD=21千米。这时此人距城A多少千米?
解法1:在△BCD中,由余弦定理得:
cos∠CDB=- ,而sin∠ACD=sin(∠BDC-60°)= 。
在△ACD中,由正弦定理得:
。
解法2:在△BDC,由余弦定理得:
cosB= 。
在△ABC中,由正弦定理得: AC=24。
在△ACD中,设AD=x,由余弦定理得:
212=242+x2-2×24•xcos60°x2-24x+135=0,则x=15或x=9。
此时cos∠CDB=- ,∴sin∠CDA= > =sin∠CAD。
∠CDA>∠CAD故AC>CD,验证,x=15。
解法3:在△BCD中,由余弦定理得:
cos∠CDB=- ,∴sin∠CDB= 。
在△ACD中,由正弦定理得: AC=24。
在△ACD中,cos∠ADC=-cos=∠CDB= 。
∴ 242=212+x2-2×21•x•cos∠ADC。
∴ x=15或x=-9(舍去)。
故x=15。
[练习2](2006年,高考全国卷Ⅱ,文17题)
已知在△ABC中,∠B=45°,AC= ,cosC= 。
(1)求BC边的长;
(2)记AB的中点为D,求中线CD的长。
解法:(1)由cosC= 得sinC= ,则:
sinA=sin(180°-45°-C)= (cosC+sinC)= 。
由正弦定理得: 。
(2)略
解法2:由cosC= 得sinC= ,由正弦定理得:
AB=2
由余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cosB。
即10=4+BC2-4• BCBC=3 或- 。
解法3:利用AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cosC。
解得BC=3 或 。
验证得 为增根,舍去。
在实际教学中,我们要从有利于学生发展的角度,善待错误。一方面,错误可以充分暴露学生思维的薄弱环节,有利于对症下药;另一方面,错误在许多时候比正确更有教育价值。要使学生的错误转化为学习的催化剂,让学生在纠错的过程中感受数学的魅力,享受学习数学的快乐。