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设F1,F2是椭圆 + =1(a>b>0)的焦点,P是椭圆上除长轴顶点外任意一点,那么△F1PF2就是椭圆的焦点三角形,∠F1PF2为椭圆的张角。与它们有关问题有意无意地考查了椭圆定义、三角形中的正余弦定理、内角和定理、面积公式等,覆盖面广,综合性较强,因此受到了命题者的青睐,特别它的面积和张角题型灵活多样,是历年高考的热点,经久不衰。下面介绍两个比较重要的结论,希望对初学者解决此类问题能有所帮助。
一、焦点三角形面积计算
结论1:已知椭圆方程为 + =1(a>b>0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b2tan 。
证明:∵(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ)
例1、已知P是椭圆 +y2=1的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=120°,则△PF1F2的面积是_____。
由椭圆的焦点三角面积公式,这里θ=120°, =60°得△PF1F2的面积是 3。
例2、椭圆 + =1的两个焦点分别是F1、F2,点P在双曲线上,且直线PF1、PF2倾斜角之差为 ,则△PF1F2的面积为( )。
A、3 3B、C、16 3D、9 3
解:由三角形外角性质可得∠F1PF2= ,即θ= ,再由椭圆的焦点三角面积公式,S=b2tan =9tan =3 3。故选A。
例3、在椭圆 + =1上求一点P,使它与两焦点F1、F2的连线互相垂直。
解:由椭圆的焦点三角面积公式,其中θ= ,S=b2tan 20= ×2c×|x0|。
∴|x0|=4c=5,x0是点P的横坐标,将|x0|=4代入椭圆方程得|y0|=3,故P点的坐标为(4,3),(4,-3),(-4,3),(-4,-3)。
二、焦点三角形中张角计算
结论2:已知椭圆方程为 + =1(a>b>0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2,若∠F1PF2最大,则点P为椭圆短轴的端点。
证明:法1:设P(x0,y0),由焦半径公式可知:|PF1|=a+ex0,|PF1|=a-ex0。
∵x0=0时cosθ最小,∴P为椭圆短轴的端点。
法2:设P(x0,y0)则S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan∴tan = 。
又∵|y0|≤b,0< < ,∴y0=±b,tan 最大,即张角θ最大 ,∴P为椭圆短轴的端点时,张角θ最大。
由这两种方法可以说明椭圆上的点P对两焦点张角变化情况。当P在长轴右端点,θ最小为0,P在向左运动过程中,角θ随之变大,运动到短轴端点达到最大。由对称性知P再向左运动,角θ又逐渐变小,P到达长轴左端点角θ为0。当椭圆的焦点在y轴结论2同样成立。
例1、F1,F2是椭圆C: + =1的焦点在C上满足PF1⊥F2的点P的个数为______。
解:当点P在短轴上时sin = =>∴ > ,θ> 由结论2和对称性可知点P有4个。
例2、椭圆 + =1的焦点为F1、F2,点P为其上一个动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围。
解:
法1∵S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan
∴|y0|=∵a2=9,b2=4,c= 5∴|y0|> =,y2> 即4(1- )>
∴- 法2:以F1F2为直径的圆上的点为Q时,∠F1QF2= ,于是P在以F1F2为直径的圆的内部,同时P在椭圆上。易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5。
坐标为±。
所以点P横坐标取值范围是- 例3,椭圆 + =1的焦点为F1、F2,点P为其上一个动点,当∠F1PF2大于 时,求点P的横坐标的取值范围。
解:∵S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan
∴|y0|=∵a2=9,b2=4,c= 5∴|y0|> =,y2> 即4(1- )>∴-
一、焦点三角形面积计算
结论1:已知椭圆方程为 + =1(a>b>0),两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ,则S△F1PF2=b2tan 。
证明:∵(2c)2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ
=(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|(1+cosθ)
例1、已知P是椭圆 +y2=1的一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,且∠F1PF2=120°,则△PF1F2的面积是_____。
由椭圆的焦点三角面积公式,这里θ=120°, =60°得△PF1F2的面积是 3。
例2、椭圆 + =1的两个焦点分别是F1、F2,点P在双曲线上,且直线PF1、PF2倾斜角之差为 ,则△PF1F2的面积为( )。
A、3 3B、C、16 3D、9 3
解:由三角形外角性质可得∠F1PF2= ,即θ= ,再由椭圆的焦点三角面积公式,S=b2tan =9tan =3 3。故选A。
例3、在椭圆 + =1上求一点P,使它与两焦点F1、F2的连线互相垂直。
解:由椭圆的焦点三角面积公式,其中θ= ,S=b2tan 20= ×2c×|x0|。
∴|x0|=4c=5,x0是点P的横坐标,将|x0|=4代入椭圆方程得|y0|=3,故P点的坐标为(4,3),(4,-3),(-4,3),(-4,-3)。
二、焦点三角形中张角计算
结论2:已知椭圆方程为 + =1(a>b>0),左右两焦点分别为F1,F2,设焦点三角形PF1F2,若∠F1PF2最大,则点P为椭圆短轴的端点。
证明:法1:设P(x0,y0),由焦半径公式可知:|PF1|=a+ex0,|PF1|=a-ex0。
∵x0=0时cosθ最小,∴P为椭圆短轴的端点。
法2:设P(x0,y0)则S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan∴tan = 。
又∵|y0|≤b,0< < ,∴y0=±b,tan 最大,即张角θ最大 ,∴P为椭圆短轴的端点时,张角θ最大。
由这两种方法可以说明椭圆上的点P对两焦点张角变化情况。当P在长轴右端点,θ最小为0,P在向左运动过程中,角θ随之变大,运动到短轴端点达到最大。由对称性知P再向左运动,角θ又逐渐变小,P到达长轴左端点角θ为0。当椭圆的焦点在y轴结论2同样成立。
例1、F1,F2是椭圆C: + =1的焦点在C上满足PF1⊥F2的点P的个数为______。
解:当点P在短轴上时sin = =>∴ > ,θ> 由结论2和对称性可知点P有4个。
例2、椭圆 + =1的焦点为F1、F2,点P为其上一个动点,当∠F1PF2为钝角时,求点P的横坐标的取值范围。
解:
法1∵S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan
∴|y0|=∵a2=9,b2=4,c= 5∴|y0|> =,y2> 即4(1- )>
∴-
坐标为±。
所以点P横坐标取值范围是-
解:∵S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan
∴|y0|=∵a2=9,b2=4,c= 5∴|y0|> =,y2> 即4(1- )>∴-