设F1，F2是椭圆 + =1（a>b>0）的焦点,P是椭圆上除长轴顶点外任意一点,那么△F1PF2就是椭圆的焦点三角形，∠F1PF2为椭圆的张角。与它们有关问题有意无意地考查了椭圆定义、三角形中的正余弦定理、内角和定理、面积公式等，覆盖面广，综合性较强，因此受到了命题者的青睐，特别它的面积和张角题型灵活多样，是历年高考的热点，经久不衰。下面介绍两个比较重要的结论，希望对初学者解决此类问题能有所帮助。
　　一、焦点三角形面积计算
　　结论1：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2中∠F1PF2=θ，则S△F1PF2=b2tan 。
　　证明：∵（2c）2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cosθ
　　=（|PF1|+|PF2|）2-2|PF1||PF2|（1+cosθ）
　　
　　
　　例1、已知P是椭圆 +y2=1的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=120°，则△PF1F2的面积是_____。
　　由椭圆的焦点三角面积公式，这里θ=120°， =60°得△PF1F2的面积是 3。
　　例2、椭圆 + =1的两个焦点分别是F1、F2，点P在双曲线上，且直线PF1、PF2倾斜角之差为 ，则△PF1F2的面积为（ ）。
　　A、3 3B、C、16 3D、9 3
　　解：由三角形外角性质可得∠F1PF2= ，即θ= ，再由椭圆的焦点三角面积公式，S=b2tan =9tan =3 3。故选A。
　　例3、在椭圆 + =1上求一点P，使它与两焦点F1、F2的连线互相垂直。
　　解：由椭圆的焦点三角面积公式，其中θ= ，S=b2tan 20= ×2c×|x0|。
　　∴|x0|=4c=5，x0是点P的横坐标，将|x0|=4代入椭圆方程得|y0|=3，故P点的坐标为（4，3），（4，-3），（-4，3），（-4，-3）。
　　二、焦点三角形中张角计算
　　结论2：已知椭圆方程为 + =1（a>b>0），左右两焦点分别为F1，F2，设焦点三角形PF1F2，若∠F1PF2最大，则点P为椭圆短轴的端点。
　　证明：法1：设P（x0，y0）,由焦半径公式可知：|PF1|=a+ex0，|PF1|=a-ex0。
　　
　　
　　∵x0=0时cosθ最小，∴P为椭圆短轴的端点。
　　法2：设P（x0，y0）则S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan∴tan = 。
　　又∵|y0|≤b，0< < ，∴y0=±b，tan 最大，即张角θ最大 ，∴P为椭圆短轴的端点时，张角θ最大。
　　由这两种方法可以说明椭圆上的点P对两焦点张角变化情况。当P在长轴右端点，θ最小为0，P在向左运动过程中，角θ随之变大，运动到短轴端点达到最大。由对称性知P再向左运动，角θ又逐渐变小，P到达长轴左端点角θ为0。当椭圆的焦点在y轴结论2同样成立。
　　例1、F1，F2是椭圆C： + =1的焦点在C上满足PF1⊥F2的点P的个数为______。
　　解：当点P在短轴上时sin = =>∴ > ，θ> 由结论2和对称性可知点P有4个。
　　例2、椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P的横坐标的取值范围。
　　解：
　　法1∵S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan
　　∴|y0|=∵a2=9，b2=4，c= 5∴|y0|> =,y2> 即4（1- ）>
　　∴-　　法2：以F1F2为直径的圆上的点为Q时，∠F1QF2= ，于是P在以F1F2为直径的圆的内部，同时P在椭圆上。易知以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=5。
　　
　　
　　坐标为±。
　　所以点P横坐标取值范围是－　　例3，椭圆 + =1的焦点为F1、F2，点P为其上一个动点，当∠F1PF2大于 时，求点P的横坐标的取值范围。
　　解：∵S△F1PF2= |F1F2|·|y0|=c·|y0|=b2·tan
　　∴|y0|=∵a2=9，b2=4，c= 5∴|y0|> =,y2> 即4（1- ）>∴-