论文部分内容阅读
(丰宁满族自治县第一中学 河北 丰宁 068350)
高中数学中的恒成立问题,近几年高考频频“闪亮登场”,原因是这类题型渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,形式多样,且与函数、导数、不等式密不可分。而恒成立题型最难的地方,也是最关键的地方是主元(主变量)的恰当处理。下面就主元问题,我们来操刀仔细剖析一下。
1. 主元的选择 主元的正确选择,是解题的保证。
例1、已知x2+ax-1≤0,对任意x∈[0,1]恒成立,求a的取值范围。
解:设f(x)= x2+ax-1
由题意:f(x)≤0,对任意x∈[0,1]恒成立
∴ f(0)≤0
f(1)≤0, 即1+a-1 ≤0
∴ a≤0
例2、已知x2+ax-1≤0,对任意a∈[0,1]恒成立,求x的取值范围。
解: ∵x2+ax-1 ≤0
∴xa+(x2-1) ≤0
设f(a)=xa+(x2-1) ,a∈[0,1] ,图像是一条线段
由题意知:f(a)≤0,对任意a∈[0,1]恒成立
∴f(0)≤0
f(1)≤0 即x2-1≤0
x2+x-1≤0
∴-1≤x≤-1+52
評注:例1选x作主元,例2选a作主元,只因一字之差,注意审题。
2. 主元的分离 能把主元分离出来,有时不愧是一条捷径,出奇制胜。
例3、已知x2+ax+1 ≥0,对任意x∈(0,1]总成立,求a的取值范围。
解:由题意:a≥-(x+1 x)总是成立
∴a≥[-(x+1 x)]max
而 -(x+1 x)≤-2, x∈(0,1]
即 [-(x+1 x)]max =-2
故a≥-2
注:主元分离法,前提是主元容易分离出来,若很难分离,则此法不妥,慎重!
3. 主元的交换 选非x的参量作为主变量,是一个艰难的抉择,注意变量、参量的华丽变身。
例4、已知定义在实数集R上的函数f(x)=2ax+a2+sin(x+a) -sinx(a>0),判断f(x)的单调性。
解:f(x)=2ax+a2 +sin(x+a)-sinx,则
f'(x)=2a+cos(x+a)-cosx
设g(a)= f'(x)=2a+cos(x+a)-cosx
g'(a)=2-sin(x+a)>0
∴g(a)是关于a的增函数,又a>0
∴g(a) > g(0) 又g(0)=0
∴g(a) >0
即f'(x) > 0
∴f(x)为增函数。
恒成立题型最关键的地方是主元(主变量)的恰当处理,多总结,多思考,仔细揣摩,就会更上一层楼。
高中数学中的恒成立问题,近几年高考频频“闪亮登场”,原因是这类题型渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法,形式多样,且与函数、导数、不等式密不可分。而恒成立题型最难的地方,也是最关键的地方是主元(主变量)的恰当处理。下面就主元问题,我们来操刀仔细剖析一下。
1. 主元的选择 主元的正确选择,是解题的保证。
例1、已知x2+ax-1≤0,对任意x∈[0,1]恒成立,求a的取值范围。
解:设f(x)= x2+ax-1
由题意:f(x)≤0,对任意x∈[0,1]恒成立
∴ f(0)≤0
f(1)≤0, 即1+a-1 ≤0
∴ a≤0
例2、已知x2+ax-1≤0,对任意a∈[0,1]恒成立,求x的取值范围。
解: ∵x2+ax-1 ≤0
∴xa+(x2-1) ≤0
设f(a)=xa+(x2-1) ,a∈[0,1] ,图像是一条线段
由题意知:f(a)≤0,对任意a∈[0,1]恒成立
∴f(0)≤0
f(1)≤0 即x2-1≤0
x2+x-1≤0
∴-1≤x≤-1+52
評注:例1选x作主元,例2选a作主元,只因一字之差,注意审题。
2. 主元的分离 能把主元分离出来,有时不愧是一条捷径,出奇制胜。
例3、已知x2+ax+1 ≥0,对任意x∈(0,1]总成立,求a的取值范围。
解:由题意:a≥-(x+1 x)总是成立
∴a≥[-(x+1 x)]max
而 -(x+1 x)≤-2, x∈(0,1]
即 [-(x+1 x)]max =-2
故a≥-2
注:主元分离法,前提是主元容易分离出来,若很难分离,则此法不妥,慎重!
3. 主元的交换 选非x的参量作为主变量,是一个艰难的抉择,注意变量、参量的华丽变身。
例4、已知定义在实数集R上的函数f(x)=2ax+a2+sin(x+a) -sinx(a>0),判断f(x)的单调性。
解:f(x)=2ax+a2 +sin(x+a)-sinx,则
f'(x)=2a+cos(x+a)-cosx
设g(a)= f'(x)=2a+cos(x+a)-cosx
g'(a)=2-sin(x+a)>0
∴g(a)是关于a的增函数,又a>0
∴g(a) > g(0) 又g(0)=0
∴g(a) >0
即f'(x) > 0
∴f(x)为增函数。
恒成立题型最关键的地方是主元(主变量)的恰当处理,多总结,多思考,仔细揣摩,就会更上一层楼。