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[摘 要]几何直观凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，即把抽象思维与形象思维相结合，能够充分揭示问题的本质，激活学生的思维。学生经历充分探索规律的过程，根据自己的兴趣自主画图、计算、验证、分类归纳，抽象概括出研究事物的共同特征，从而揭示钉子板上多边形蕴含的秘密，对规律本质的认识逐渐深入、完善。
[关键词]直观感知 几何直观 数学规律 抽象概括 合作探究
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-038
《数学课程标准》指出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。”“钉子板上的多边形”是苏教版小学数学五年级上册的内容，课堂教学中，如何引导学生利用几何直观探索规律，掌握解决问题的方法，积累数学活动经验呢？对此，我进行实践和思考。
教学片断一：直观感知，引发冲突
1.独立研究
2.汇报结果
生1：我研究的是这些多边形的面积和边上钉子数的关系，发现这里多边形的面积都等于边上的钉子数除以2。
生2 ：我觉得用文字表达不太清楚。
生3：可以用字母来表示，这样简洁些。如用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那发现的规律就可以表示为S=n÷2。
3.思考质疑
师：是不是钉子板上每个多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？
4.分析验证
学生选择之前自己任意围出的多边形数一数、算一算，看看它们的面积与边上的钉子数是不是也有这样的关系。
5.交流讨论
生4：我围出的多边形面积和边上的钉子数不符合这个规律，因为我的图形内部是3颗钉子。
生5：我围出的多图形面积和边上的钉子数也不符合这个规律，因为我的图形内部是2颗钉子。
生6：这里多边形的面积等于边上的钉子数除以2，需要添加一个条件，那就是“当多边形内部钉子数为1时”。由于我的同桌研究多边形内部的钉子数不是1，所以就没有这样的规律。
6.抽象概括
师：如果用a表示多边形内部的钉子数，那么当a=1时，S=n÷2。
7.梳理总结
师：刚刚我们是怎样研究出多边形的面积和边上钉子数的关系的？
生7：我们是通过“观察图形——分析数据——得出结论——举例验证”的过程进行研究的。
……
思考：
上述教学，先让学生进行独立操作，再小组交流，引导学生探索多边形内部的钉子数为1的情况。学生通过研究单上的一组组数据发现规律，初步得出结论，从而获得探究成功的满足感。我再提出问题：“是不是钉子板上每个多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系？”学生再次通过动手操作，验证自己围出的多边形是否具有这样的规律。这里由特殊到一般，几何直观凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，即把抽象思维与形象思维相结合，充分揭示了问题的本质，激活了学生的思维。接着，我引导学生从自己围出的图形开始研究，充分体现了学生学习的自主性和趣味性。这样不仅让学生发现了规律，更重要的是让学生经历了探索规律的过程，学会了研究的基本方法，积累了数学活动经验，为后续的研究活动做好了准备。
教学片断二：开放研究，提升认识
1.提出问题
师：同学们每人都任意围了一个多边形，是不是该研究自己的图形了？只有一个图形可以研究吗？为什么？怎么办？
生1：一个图形不便于找出规律，我提议我们根据围出的多边形内部钉子的颗数重新分组，可以分成内部没有钉子的，或有2颗、3颗、4颗……钉子的。
2.合作探索
学生小组内操作、填表、比较、归纳。
3.交流收获
生2：我们小组研究的是图形内部有2颗钉子的情况，我们得出“（外部的钉子数 内部的钉子数）÷2=图形的面积”，用字母表示为S=（n 2）÷2。
师：这里多边形的面积不等于n÷2，那它和n÷2有关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。
生3：我们可以将S=（n 2）÷2=n÷2 1进行计算。
生4：前面还要加上“当多边形内部钉子数a=2时”。（师板书：a=2时，S=n÷2 1）
生5：我们小组研究的是图形内部有3颗钉子的情况，我们得出a=3时，S=n÷2 2。
生6：我们小组研究的是图形内部没有钉子的情况，我们得出a=0时，S=n÷2-1。
……
思考：
在初探规律后，学生产生认知冲突，发现图形内有2颗钉子时，规律并不和图形内有1颗钉子的一样。这样激发了学生继续探究的欲望，自主设计图形并探索其中的规律，从而完善第一次的认知。学生由图形内有1颗钉子的多边形面积与钉子数的关系，进一步探索多边形内有2颗钉子、3颗钉子、0颗钉子时多边形面积与边上钉子数的关系。在这次活动中，学生利用得到的认知规律进行猜想，并根据自己的兴趣自主画图、计算、验证，从而揭示钉子板上图形的秘密，使最初的感知更加深入、更加具体，对规律本质的认识逐渐完善。这里，我对学生探索的问题采取开放分类研究的方式，满足了不同学生的不同需求，最大限度地促进学生的发展，让学生体验到探究成功的乐趣。
在这次实践活动中，我以图形为纽带，利用几何直观让学生经历充分探索的过程，体验研究的方法，从而揭示多边形面积与边上的钉子数之间的关系，培养了学生积极主动借助几何直观去发现问题、解决问题、揭示规律的能力。
（责编 蓝 天）
[关键词]直观感知 几何直观 数学规律 抽象概括 合作探究
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-038
《数学课程标准》指出：“几何直观主要是利用图形描述和分析问题。借助几何直观，可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路。”“钉子板上的多边形”是苏教版小学数学五年级上册的内容，课堂教学中，如何引导学生利用几何直观探索规律，掌握解决问题的方法，积累数学活动经验呢？对此，我进行实践和思考。
教学片断一：直观感知，引发冲突
1.独立研究
2.汇报结果
生1：我研究的是这些多边形的面积和边上钉子数的关系，发现这里多边形的面积都等于边上的钉子数除以2。
生2 ：我觉得用文字表达不太清楚。
生3：可以用字母来表示，这样简洁些。如用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那发现的规律就可以表示为S=n÷2。
3.思考质疑
师：是不是钉子板上每个多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系呢？
4.分析验证
学生选择之前自己任意围出的多边形数一数、算一算，看看它们的面积与边上的钉子数是不是也有这样的关系。
5.交流讨论
生4：我围出的多边形面积和边上的钉子数不符合这个规律，因为我的图形内部是3颗钉子。
生5：我围出的多图形面积和边上的钉子数也不符合这个规律，因为我的图形内部是2颗钉子。
生6：这里多边形的面积等于边上的钉子数除以2，需要添加一个条件，那就是“当多边形内部钉子数为1时”。由于我的同桌研究多边形内部的钉子数不是1，所以就没有这样的规律。
6.抽象概括
师：如果用a表示多边形内部的钉子数，那么当a=1时，S=n÷2。
7.梳理总结
师：刚刚我们是怎样研究出多边形的面积和边上钉子数的关系的？
生7：我们是通过“观察图形——分析数据——得出结论——举例验证”的过程进行研究的。
……
思考：
上述教学，先让学生进行独立操作，再小组交流，引导学生探索多边形内部的钉子数为1的情况。学生通过研究单上的一组组数据发现规律，初步得出结论，从而获得探究成功的满足感。我再提出问题：“是不是钉子板上每个多边形的面积和它边上的钉子数都有这样的关系？”学生再次通过动手操作，验证自己围出的多边形是否具有这样的规律。这里由特殊到一般，几何直观凭借图形的直观性特点，将抽象的数学语言与直观的图形语言有机地结合起来，即把抽象思维与形象思维相结合，充分揭示了问题的本质，激活了学生的思维。接着，我引导学生从自己围出的图形开始研究，充分体现了学生学习的自主性和趣味性。这样不仅让学生发现了规律，更重要的是让学生经历了探索规律的过程，学会了研究的基本方法，积累了数学活动经验，为后续的研究活动做好了准备。
教学片断二：开放研究，提升认识
1.提出问题
师：同学们每人都任意围了一个多边形，是不是该研究自己的图形了？只有一个图形可以研究吗？为什么？怎么办？
生1：一个图形不便于找出规律，我提议我们根据围出的多边形内部钉子的颗数重新分组，可以分成内部没有钉子的，或有2颗、3颗、4颗……钉子的。
2.合作探索
学生小组内操作、填表、比较、归纳。
3.交流收获
生2：我们小组研究的是图形内部有2颗钉子的情况，我们得出“（外部的钉子数 内部的钉子数）÷2=图形的面积”，用字母表示为S=（n 2）÷2。
师：这里多边形的面积不等于n÷2，那它和n÷2有关系吗？同桌互相讨论，看看有什么发现。
生3：我们可以将S=（n 2）÷2=n÷2 1进行计算。
生4：前面还要加上“当多边形内部钉子数a=2时”。（师板书：a=2时，S=n÷2 1）
生5：我们小组研究的是图形内部有3颗钉子的情况，我们得出a=3时，S=n÷2 2。
生6：我们小组研究的是图形内部没有钉子的情况，我们得出a=0时，S=n÷2-1。
……
思考：
在初探规律后，学生产生认知冲突，发现图形内有2颗钉子时，规律并不和图形内有1颗钉子的一样。这样激发了学生继续探究的欲望，自主设计图形并探索其中的规律，从而完善第一次的认知。学生由图形内有1颗钉子的多边形面积与钉子数的关系，进一步探索多边形内有2颗钉子、3颗钉子、0颗钉子时多边形面积与边上钉子数的关系。在这次活动中，学生利用得到的认知规律进行猜想，并根据自己的兴趣自主画图、计算、验证，从而揭示钉子板上图形的秘密，使最初的感知更加深入、更加具体，对规律本质的认识逐渐完善。这里，我对学生探索的问题采取开放分类研究的方式，满足了不同学生的不同需求，最大限度地促进学生的发展，让学生体验到探究成功的乐趣。
在这次实践活动中，我以图形为纽带，利用几何直观让学生经历充分探索的过程，体验研究的方法，从而揭示多边形面积与边上的钉子数之间的关系，培养了学生积极主动借助几何直观去发现问题、解决问题、揭示规律的能力。
（责编 蓝 天）