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[摘 要]从教材体系上梳理知识点，使前后知识之间形成一条有助于知识同化的知识链。从生活原点出发、从图形本位出发的教学方式，能让学生将原有知识升华成新知识，逐渐感受到不同图形在不同情形下作图时的共性，达到“四两拨千斤”的学习效果。
[关键词]小学数学;专题复习;高的画法;同化;知识体系
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）35-0025-02
当前，小学数学教学中对知识的复习大都按教材顺序以单元的方式依次进行。专题复习是针对教材中有逻辑关联性的知识版块进行的有针对性的专项性复习。当某一版块的知识或技能学生掌握得并不理想时，专题复习往往能有效梳理知识，厘清数学本质，使知识与技能触类旁通，实现举一反三的效果。
比如，对不同图形高的画法，教材将它分散在不同的单元中，教师在教学中往往忽视它们的纵向联系。特别是三角形高的画法，教师往往面临诸多困惑。学生在给钝角三角形画高方面存在较大困难，这将影响学生对于三角形面积的计算，甚至影响他们今后平面几何的学习。笔者认为，画三角形的高与画平行四边形、梯形的高之间有着不可分割的联系，把这些具有内在联系的知识点贯穿起来作专题复习，不失为帮助学生化解形外高画法困境的好办法。
一、追溯原型，使分散体系逻辑化
现行人教版教材在介绍平行四边形与梯形画高的过程中，都没有出现画形外高的情况，而在三角形画高的过程中，却有形外高的要求。教材对三角形高的概念表述为“从三角形的一个顶点向它的一条对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高”。笔者以为，这里的“一条对边”似显不妥，因为对边仅为一条线段，特殊情况下高并不在这条线段上。另外，“叫作三角形的高”也欠严谨，因为这只是三条高之一;同时从语言上考虑，这两个分句也显得冗长。故筆者要求学生将原话改为“从三角形的一个顶点向它对边所在直线所作的垂直线段就是三角形的一条高。”同时，对于平行四边形与梯形中的画高操作，笔者引导学生重新理解，把“对边”从观念上改为“对边所在直线”，这样就使给这三种图形作高的知识统一于“过直线外一点作已知直线的垂直线段”这一本质之中，为学生最后能合理归纳做好了铺垫。
对于本部分内容的教学体系，笔者通过一张作业纸向学生展示了三类图形在不同情况下的作高情况（如图1）：其中变化1是四个图形都出现直角的情况;变化2要求在水平底边上画形外高;变化3则要求在任意方向的边上画形外高。这样既有助于学生在作图时发挥三种图形在同一类性质情况下的横向迁移作用，也有助于发挥同一类图形在不同情况下的纵向比较作用，使之形成一个结构清晰的知识树，有助于学生内化知识并促成记忆。
二、回归原点，让数学概念初始化
许多教师认为，生活中关于“高”的概念与“图形的高”概念存在着重大差别，生活中的高往往是垂直于水平面的，而三角形的高是垂直于底边的，所以大部分教师不敢在教学中引入生活概念，怕的就是引起知识与技能上的负迁移。事实上，不论引不引入生活概念，学生头脑中都存在那个固有的生活概念，都无法从根本上排除这种干扰。笔者以为，与其遮遮掩掩，不如直面现实向学生解释明白。 为了让学生再次明确“高”的原始概念，本堂课在给三角形画高之前，教师让学生拿出三角形的学具，两人一组共同比较研究三角形的高，看谁能摆出同一个三角形中较大的高度。学生通过把三角形的一边放在课桌边沿上，可以发现不同的放法三角形的高度（传统意义上的高度）是有区别的，这时让学生再试着量一量三角形的高度，他们会自然地过顶点去量（因为顶点在图中是最高的），而且为了防止对方造假会努力检查对方所画的高是否垂直，再次强化了高必须与底边垂直的观念。
在变化2中，尽管平行四边形与梯形同一底边上都存在无数条高，但过顶点画还是常见而且比较简单的画法。教学时，笔者让学生想象，假如把这些图形看成“巨石”（如图2），在点A处有人挂下一条绳子，那绳子会往哪个方向伸展？假如绳子碰到地面后，是否可以测量出过点A的高？这样就把生活中的“高”（一个点到地平线的距离）与图形的高（特定点到对边的距离）结合起来，不但顺利地画出了平行四边形的一条高，而且有助于建立图形高的原型，激活学生的前概念。同时也强调了“过特定点”与“与底边垂直”两个重要的画高要点，为过渡到三角形画高埋下了伏笔。
三、立足原位，使变式训练本位化
为了让学生进一步把握高的本质，学生总结出三种画法（如图3）：①给梯形补出水平线，过点A画垂直线段;②转动作业纸，把梯形的下底放置水平，过点A画垂直线段，将作业本归位，所画垂直线段就是要画的高;③直接在原图上延长底边正确画高。显然，第①种画法不对，也不符合垂直于底边的要求;第③种画法种虽然是正确的，但能这样画的学生不多。笔者再次让学生探讨生活现象：小明的爸爸身高170 cm，晚上睡觉时，他的身高是否会变化？使学生明白身高是一个人的固有属性，是不随身体位置、姿态的变化而变化的。最终学生一致认为，第②种画法中，中间那个图是梯形的高的原始画法，旋转后高的位置随着变化，但值是不变的，所以他们普遍接受这种画法。学生可以在以后的练习中随着操作的逐渐熟练而直接用第③种画法。
四、追求原味，将干扰条件消隐化
“原味”是时下一个比较时尚的词汇。由于“添加剂”与“色素”在食品生产中的运用，垃圾食品也可以让我们的味蕾乖乖“投降”。同样，平行四边形、梯形、三角形画高虽然都可以归结为“过直线外一点向已知直线作垂直线段”，但学生运用这一实质去把握高的作法却感到困难，这是因为在图形中有错综复杂的线条在一旁起着干扰作用。引导学生学会舍弃无关线条，追求数学学习的“原味”，这不失为一种思路。如图4的直角三角形画高，学生受另外两条边的影响，宁可舍弃“垂直”这一要义，也要固执地认为高必须在这两条边之间。
师：在图4中，这位同学为什么画错了呢？以直角边BC为底作高，应该以哪个点为顶点？
生1：点A。
师：那么我们可以把这个作高过程看作是过——
生2：点A。
师：向直线——
生3：BC。
师：作——
生4：垂直线段。
师：谁能画一下这个图形的简略图？（请一位学生作图）现在我们只要按照过直线外一点画这条直线的垂直线段来处理这个问题。
生5：我发现另一条直角边AC正好是所要求画的高。
师：为什么呢？
生5：因为过直线外一点画这条直线的垂线只能画一条。
总而言之，从教材体系上梳理知识点，为的就是让前后知识之间形成一个有助于知识同化的知识链。而从生活原点出发、从图形本位出发的教学方式，则能让学生自信地将原有知识升华成新数学，轻松实现操作视界的跨越，最后让学生逐渐从教学中感受到不同图形在不同情形下作图时的共性。由此可见，让学生把数学知识进行大胆的比较、积极的实践、巧妙的演变与科学的化归的教学，可以达到“四两拨千斤”的效果，从而提升教学质量。
（责编 吴美玲）
[关键词]小学数学;专题复习;高的画法;同化;知识体系
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2020）35-0025-02
当前，小学数学教学中对知识的复习大都按教材顺序以单元的方式依次进行。专题复习是针对教材中有逻辑关联性的知识版块进行的有针对性的专项性复习。当某一版块的知识或技能学生掌握得并不理想时，专题复习往往能有效梳理知识，厘清数学本质，使知识与技能触类旁通，实现举一反三的效果。
比如，对不同图形高的画法，教材将它分散在不同的单元中，教师在教学中往往忽视它们的纵向联系。特别是三角形高的画法，教师往往面临诸多困惑。学生在给钝角三角形画高方面存在较大困难，这将影响学生对于三角形面积的计算，甚至影响他们今后平面几何的学习。笔者认为，画三角形的高与画平行四边形、梯形的高之间有着不可分割的联系，把这些具有内在联系的知识点贯穿起来作专题复习，不失为帮助学生化解形外高画法困境的好办法。
一、追溯原型，使分散体系逻辑化
现行人教版教材在介绍平行四边形与梯形画高的过程中，都没有出现画形外高的情况，而在三角形画高的过程中，却有形外高的要求。教材对三角形高的概念表述为“从三角形的一个顶点向它的一条对边作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高”。笔者以为，这里的“一条对边”似显不妥，因为对边仅为一条线段，特殊情况下高并不在这条线段上。另外，“叫作三角形的高”也欠严谨，因为这只是三条高之一;同时从语言上考虑，这两个分句也显得冗长。故筆者要求学生将原话改为“从三角形的一个顶点向它对边所在直线所作的垂直线段就是三角形的一条高。”同时，对于平行四边形与梯形中的画高操作，笔者引导学生重新理解，把“对边”从观念上改为“对边所在直线”，这样就使给这三种图形作高的知识统一于“过直线外一点作已知直线的垂直线段”这一本质之中，为学生最后能合理归纳做好了铺垫。
对于本部分内容的教学体系，笔者通过一张作业纸向学生展示了三类图形在不同情况下的作高情况（如图1）：其中变化1是四个图形都出现直角的情况;变化2要求在水平底边上画形外高;变化3则要求在任意方向的边上画形外高。这样既有助于学生在作图时发挥三种图形在同一类性质情况下的横向迁移作用，也有助于发挥同一类图形在不同情况下的纵向比较作用，使之形成一个结构清晰的知识树，有助于学生内化知识并促成记忆。
二、回归原点，让数学概念初始化
许多教师认为，生活中关于“高”的概念与“图形的高”概念存在着重大差别，生活中的高往往是垂直于水平面的，而三角形的高是垂直于底边的，所以大部分教师不敢在教学中引入生活概念，怕的就是引起知识与技能上的负迁移。事实上，不论引不引入生活概念，学生头脑中都存在那个固有的生活概念，都无法从根本上排除这种干扰。笔者以为，与其遮遮掩掩，不如直面现实向学生解释明白。 为了让学生再次明确“高”的原始概念，本堂课在给三角形画高之前，教师让学生拿出三角形的学具，两人一组共同比较研究三角形的高，看谁能摆出同一个三角形中较大的高度。学生通过把三角形的一边放在课桌边沿上，可以发现不同的放法三角形的高度（传统意义上的高度）是有区别的，这时让学生再试着量一量三角形的高度，他们会自然地过顶点去量（因为顶点在图中是最高的），而且为了防止对方造假会努力检查对方所画的高是否垂直，再次强化了高必须与底边垂直的观念。
在变化2中，尽管平行四边形与梯形同一底边上都存在无数条高，但过顶点画还是常见而且比较简单的画法。教学时，笔者让学生想象，假如把这些图形看成“巨石”（如图2），在点A处有人挂下一条绳子，那绳子会往哪个方向伸展？假如绳子碰到地面后，是否可以测量出过点A的高？这样就把生活中的“高”（一个点到地平线的距离）与图形的高（特定点到对边的距离）结合起来，不但顺利地画出了平行四边形的一条高，而且有助于建立图形高的原型，激活学生的前概念。同时也强调了“过特定点”与“与底边垂直”两个重要的画高要点，为过渡到三角形画高埋下了伏笔。
三、立足原位，使变式训练本位化
为了让学生进一步把握高的本质，学生总结出三种画法（如图3）：①给梯形补出水平线，过点A画垂直线段;②转动作业纸，把梯形的下底放置水平，过点A画垂直线段，将作业本归位，所画垂直线段就是要画的高;③直接在原图上延长底边正确画高。显然，第①种画法不对，也不符合垂直于底边的要求;第③种画法种虽然是正确的，但能这样画的学生不多。笔者再次让学生探讨生活现象：小明的爸爸身高170 cm，晚上睡觉时，他的身高是否会变化？使学生明白身高是一个人的固有属性，是不随身体位置、姿态的变化而变化的。最终学生一致认为，第②种画法中，中间那个图是梯形的高的原始画法，旋转后高的位置随着变化，但值是不变的，所以他们普遍接受这种画法。学生可以在以后的练习中随着操作的逐渐熟练而直接用第③种画法。
四、追求原味，将干扰条件消隐化
“原味”是时下一个比较时尚的词汇。由于“添加剂”与“色素”在食品生产中的运用，垃圾食品也可以让我们的味蕾乖乖“投降”。同样，平行四边形、梯形、三角形画高虽然都可以归结为“过直线外一点向已知直线作垂直线段”，但学生运用这一实质去把握高的作法却感到困难，这是因为在图形中有错综复杂的线条在一旁起着干扰作用。引导学生学会舍弃无关线条，追求数学学习的“原味”，这不失为一种思路。如图4的直角三角形画高，学生受另外两条边的影响，宁可舍弃“垂直”这一要义，也要固执地认为高必须在这两条边之间。
师：在图4中，这位同学为什么画错了呢？以直角边BC为底作高，应该以哪个点为顶点？
生1：点A。
师：那么我们可以把这个作高过程看作是过——
生2：点A。
师：向直线——
生3：BC。
师：作——
生4：垂直线段。
师：谁能画一下这个图形的简略图？（请一位学生作图）现在我们只要按照过直线外一点画这条直线的垂直线段来处理这个问题。
生5：我发现另一条直角边AC正好是所要求画的高。
师：为什么呢？
生5：因为过直线外一点画这条直线的垂线只能画一条。
总而言之，从教材体系上梳理知识点，为的就是让前后知识之间形成一个有助于知识同化的知识链。而从生活原点出发、从图形本位出发的教学方式，则能让学生自信地将原有知识升华成新数学，轻松实现操作视界的跨越，最后让学生逐渐从教学中感受到不同图形在不同情形下作图时的共性。由此可见，让学生把数学知识进行大胆的比较、积极的实践、巧妙的演变与科学的化归的教学，可以达到“四两拨千斤”的效果，从而提升教学质量。
（责编 吴美玲）