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摘 要：“懂而不会”是一个复杂的现象，造成这一现象的原因有很多. 但是，只要教师能成为智慧的“导演”，教学细腻，摒弃花哨，关注问题实质，注重普适性解法；只要让学生成为课堂的“主演”，时时有机会去体验与感悟，“懂而不会”终将无所遁形，消失于有效教学的“阳光”之下.
关键词：中学数学；懂而不会；刨根问底
在教学过程中，经常会听到学生说“上课听得懂，作业也会做，但考试时不会了”、教师说“这道题讲了很多次，怎么还有很多学生不会做”，如此“懂而不会”现象在中学数学教学中曝光率很高，这将严重影响到教学效果. 为什么会出现这种现象？如何减少这种现象？笔者结合自身的教学实践，做了如下反思.
■传统式教学，注重灌输，为学生“懂而不会”铺下温床
传统式教学往往不会给学生足够的时间去探究、去发现、去归纳，而是直接将现成的结论给学生，让他们记忆，再配以相应的练习，让学生在练习中掌握公式、结论. 学生对知识的获取不是由体验而得，因此对知识理解不深，仅能简单模仿，不能真正运用，一旦问题的情境发生变化，学生便无从下手.
如在三角函数的辅助角公式（asinx+bcosx=■sin（x+φ））的学习过程中，传统式教学往往采用下列方式：
（一）公式推导
asinx+bcosx=■■sinx+■cosx，
令cosφ=■，sinφ=■，？摇
所以上式=■（sinxcosφ+cosxsinφ）=■sin（x+φ）.
（二）公式运用
1. 化简（1）■sinx+■cosx；
（2）sinx+■cosx；
（3）3sinx+■cosx；
（4）sinx-cosx.？摇
2. 求函数y=5sinx+12cosx的最值.
在这种教学模式下，表面上学生在训练中表现出了不错的效果；实际上学生对公式的把握仅仅停留在记忆层面，没有真正理解，只是依葫芦画瓢，简单模仿，忽视了学生对数学思想方法的体悟与领会. 时间一长，一旦学生对公式的记忆出现模糊或障碍时，结果可想而知.
从学生的实际出发，注重学生的体验，重新设计教学，如下.
教师：运用我们已学习的两角和正弦公式进行化简：■sinx+■cosx.
学生：由两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ想到■=cos■，■=sin■，所以原式=sinxcos■+cosxsin■=sinx+■.
教师：很好，逆用公式两角和的正弦公式进行化简，将两项变成一项，那么sinx+■cosx能否化简？
学生：sinx+■cosx=2■sinx+■cosx=2sinxcos■+cosxsin■=2sinx+■.
教师：那么3sinx+■cosx呢？
学生：应该也可以，
3sinx+■cosx=■（■sinx+cosx）
=2■■sinx+■cosx
=2■sinxcos■+cosxsin■
=2■sinx+■.
教师：非常好，那么5sinx+12cosx是否可以化简，你能不能猜测化简的结构是怎样的？
学生：很可能5sinx+12cosx=Asin（x+φ）？
教师：你能不能进一步得出A，φ？为什么？
学生：有点困难，A可能为13，根据上面的例子2=■，2■=■=■，
所以A=■=13.
教师：很不错，运用归纳法得出上述结论，从结构上看5sinx+12cosx=Asin（x+φ）作为一个恒等式，我们可以考虑变形：5sinx+12cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ.
学生：可以得到Acosφ=5，Asinφ=12，A=■=13，cosφ=■，sinφ=■.
教师：解题需要适当变换角度，从方程的角度研究，就可以很快得出结论；我们再拓展一下， 化简 asinx+bcosx.？摇
学生：令asinx+bcosx=Asin（x+φ），
？圯A=■，cosφ=■，sinφ=■，
所以asinx+bcosx=■sin（x+φ），cosφ=■，sinφ=■.
教师：非常好，这样就得出了三角函数的辅助角公式，纵观整个推导过程，我们用到了“特殊到一般”、“函数与方程”的数学思想和常用方法——待定系数法.
这样的教学过程能使学生积极主动地参与、思考和体验知识的发生与发展，印象深刻. 对学生而言，这个知识很近、很亲切、很好理解，就不会“懂而不会”. 因此，改变教学观念，把课堂还给学生，让学生成为课堂的主角，在体验中掌握知识，是避免学生“懂而不会”的不二法门.
■跳跃式教学，忽视基础，为学生“懂而不会”留下隐患
教学过程中如果忽视基础知识，进行跳跃式教学，往往会导致对问题的分析讲解粗糙，而为学生“懂而不会”留下隐患.
如：设α为锐角，若cosα+■=■，则sin2α+■的值为______.
学生：将cosα+■=■展开，得■cosα-■sinα=■，结合sin2α+cos2α=1构造方程组求出sinα、cosα，再代入sin2α+■得出结果.
教师：这种解法是常规解法，但由于运算烦琐，往往只有部分学生能得出正确结果，.
如果我们可以将α+■看成一个整体，则
sin2α+■=sin2α+■-■=■sin2α+■-■cos2α+■.
根据cosα+■=■，求出cos2α+■=2cos2α+■-1=2×■-1=■. 因为cos2α+■>0，
所以sin2α+■=■=■，
代入求出sin2α+■=■.
学生在听讲的过程中会感觉教师的方法不错，但是到自己解题时，往往还是选用解法一. 那是为什么呢？因为学生认为α是单角，而cosα+■=■可以化成α的式子，可以和sin2α+cos2α=1联立求出结果. 解法二主要是通过研究已知角和所求角之间的关系来探究解题思路，运用整体的思想解决问题. 教师的讲解从形式上看好像没有跳步，但因为学生对角的认识已形成思维定式，导致方法选择上也出现了定式. 所以在讲解过程中要注意设计阶梯，改变学生的思维定式，改进解法. 如果我们引进换元法令α+■=β，则α=β-■，则上述问题就变成：已知0<β-■<■，cosβ=■，则sin2β-■=______. 这样逐步讲解，学生会更倾向于用简单的解法二解题了. 跳跃式教学没有给学生搭建理解的阶梯，往往效果甚微. 因此，课堂讲解要基于学情，以学生的掌握为目的，力求讲细、讲透，不给“懂而不会”留下隐患.
■一题多变、一题多解式教学，忽视问题实质，给学生“懂而不会”制造机会
在教学过程中，一题多变、一题多解教学会让学生在课堂上感觉教师好厉害、问题好神奇，求解过程好像懂了；但在考试中，反馈的结果往往令人失望. 所以经常有这样的抱怨：“这个问题已经讲了好几种解法了，学生怎么一种都没有掌握？”那么，究竟是哪个环节出了纰漏？其实，一个数学问题的本质是唯一的，一题多解不过是从不同角度剖析问题而得出不同的解题方式. 如果只停留于一题多解，不做进一步地归纳总结，学生往往不会明白问题的实质是什么，也不会清楚哪些是普适性解法，不知道从什么地方突破，最终的结果还不如一题一解. 因此，不如选择让学生掌握一种最易掌握的解法.
如正弦定理的证明，如果选用作高法、外接圆法、面积法或向量法证明，最后应总结这些方法的突破点在于三角形的高. 从高出发，可以想到直角三角形（作高法、外接圆法）；可以想到三角形面积（面积法）；可以想到向量的数量积（向量法）. 笔者认为一题多解、一题多变是好的教学方式，而归纳总结就是这种教学方式的点睛之笔，不可忽视. 只有这样，才能让学生把握问题的实质，真正理解，使学生摆脱仅在欣赏的层面上理解知识的问题，避免“懂而不会”.
■巧解式教学，忽视普适性解法，为学生“懂而不会”留有舞台
在教学过程中，简洁巧妙的解题方法能带给学生惊喜，带来对教师的钦佩，能拓展学生的视野，从而进一步提高学生学习的兴趣，因此，存在解题必求巧解之法、孜孜不倦于巧解之法这样一种误区. 如果学生对巧解只停留在欣赏层面，无法真正理解与运用，很多时候仍然属于“懂而不会”.
如：求函数y=5sinx+12cosx的最大值与最小值.
巧解：构造向量a=（5，12），b=（sinx，cosx），则y=a·b. 又a=13，b=1，
由-a·b≤a·b≤a·b得-13≤5sinx+12cosx≤13，？摇
所以y=5sinx+12cosx的最大值是13，最小值是-13.
从拓展思维的角度看，此种解法确实能让人耳目一新，小激动一回；但试问有多少学生在解题时会选用这种解法呢？如果我们给题目中角x一个取值范围（x∈0，■），上述方法还行得通吗？相信大部分学生会选择化简函数式求解. 巧解法因思维难度大、技巧性强而致适用范围小，学生在解题过程中一般无法第一时间想到. 巧解法可以用来拓展思维，展示数学魅力，故更适用于培优拔尖. 而数学教学的目的在于教会学生解题，“好”的解法应具备如下特征：符合学生的认知规律，适合大多数学生掌握；能解决同类问题. 因此，普适性解法在日常教学中才是“好”解法，在课堂教学的视野中不能只有“树木”而不见“森林”，普适性解法的教学更应偏重，确保大多数学生懂且会，使“懂而不会”无处现身.
当然，“懂而不会”是一个复杂的现象，造成这一现象的原因有很多. 但是，只要教师能成为智慧的“导演”，教学细腻，摒弃花哨，关注问题实质，注重普适性解法；只要让学生成为课堂的“主演”，时时有机会去体验与感悟，“懂而不会”终将无处遁形，消失于有效教学的“阳光”之下.
关键词：中学数学；懂而不会；刨根问底
在教学过程中，经常会听到学生说“上课听得懂，作业也会做，但考试时不会了”、教师说“这道题讲了很多次，怎么还有很多学生不会做”，如此“懂而不会”现象在中学数学教学中曝光率很高，这将严重影响到教学效果. 为什么会出现这种现象？如何减少这种现象？笔者结合自身的教学实践，做了如下反思.
■传统式教学，注重灌输，为学生“懂而不会”铺下温床
传统式教学往往不会给学生足够的时间去探究、去发现、去归纳，而是直接将现成的结论给学生，让他们记忆，再配以相应的练习，让学生在练习中掌握公式、结论. 学生对知识的获取不是由体验而得，因此对知识理解不深，仅能简单模仿，不能真正运用，一旦问题的情境发生变化，学生便无从下手.
如在三角函数的辅助角公式（asinx+bcosx=■sin（x+φ））的学习过程中，传统式教学往往采用下列方式：
（一）公式推导
asinx+bcosx=■■sinx+■cosx，
令cosφ=■，sinφ=■，？摇
所以上式=■（sinxcosφ+cosxsinφ）=■sin（x+φ）.
（二）公式运用
1. 化简（1）■sinx+■cosx；
（2）sinx+■cosx；
（3）3sinx+■cosx；
（4）sinx-cosx.？摇
2. 求函数y=5sinx+12cosx的最值.
在这种教学模式下，表面上学生在训练中表现出了不错的效果；实际上学生对公式的把握仅仅停留在记忆层面，没有真正理解，只是依葫芦画瓢，简单模仿，忽视了学生对数学思想方法的体悟与领会. 时间一长，一旦学生对公式的记忆出现模糊或障碍时，结果可想而知.
从学生的实际出发，注重学生的体验，重新设计教学，如下.
教师：运用我们已学习的两角和正弦公式进行化简：■sinx+■cosx.
学生：由两角和的正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ想到■=cos■，■=sin■，所以原式=sinxcos■+cosxsin■=sinx+■.
教师：很好，逆用公式两角和的正弦公式进行化简，将两项变成一项，那么sinx+■cosx能否化简？
学生：sinx+■cosx=2■sinx+■cosx=2sinxcos■+cosxsin■=2sinx+■.
教师：那么3sinx+■cosx呢？
学生：应该也可以，
3sinx+■cosx=■（■sinx+cosx）
=2■■sinx+■cosx
=2■sinxcos■+cosxsin■
=2■sinx+■.
教师：非常好，那么5sinx+12cosx是否可以化简，你能不能猜测化简的结构是怎样的？
学生：很可能5sinx+12cosx=Asin（x+φ）？
教师：你能不能进一步得出A，φ？为什么？
学生：有点困难，A可能为13，根据上面的例子2=■，2■=■=■，
所以A=■=13.
教师：很不错，运用归纳法得出上述结论，从结构上看5sinx+12cosx=Asin（x+φ）作为一个恒等式，我们可以考虑变形：5sinx+12cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ.
学生：可以得到Acosφ=5，Asinφ=12，A=■=13，cosφ=■，sinφ=■.
教师：解题需要适当变换角度，从方程的角度研究，就可以很快得出结论；我们再拓展一下， 化简 asinx+bcosx.？摇
学生：令asinx+bcosx=Asin（x+φ），
？圯A=■，cosφ=■，sinφ=■，
所以asinx+bcosx=■sin（x+φ），cosφ=■，sinφ=■.
教师：非常好，这样就得出了三角函数的辅助角公式，纵观整个推导过程，我们用到了“特殊到一般”、“函数与方程”的数学思想和常用方法——待定系数法.
这样的教学过程能使学生积极主动地参与、思考和体验知识的发生与发展，印象深刻. 对学生而言，这个知识很近、很亲切、很好理解，就不会“懂而不会”. 因此，改变教学观念，把课堂还给学生，让学生成为课堂的主角，在体验中掌握知识，是避免学生“懂而不会”的不二法门.
■跳跃式教学，忽视基础，为学生“懂而不会”留下隐患
教学过程中如果忽视基础知识，进行跳跃式教学，往往会导致对问题的分析讲解粗糙，而为学生“懂而不会”留下隐患.
如：设α为锐角，若cosα+■=■，则sin2α+■的值为______.
学生：将cosα+■=■展开，得■cosα-■sinα=■，结合sin2α+cos2α=1构造方程组求出sinα、cosα，再代入sin2α+■得出结果.
教师：这种解法是常规解法，但由于运算烦琐，往往只有部分学生能得出正确结果，.
如果我们可以将α+■看成一个整体，则
sin2α+■=sin2α+■-■=■sin2α+■-■cos2α+■.
根据cosα+■=■，求出cos2α+■=2cos2α+■-1=2×■-1=■. 因为cos2α+■>0，
所以sin2α+■=■=■，
代入求出sin2α+■=■.
学生在听讲的过程中会感觉教师的方法不错，但是到自己解题时，往往还是选用解法一. 那是为什么呢？因为学生认为α是单角，而cosα+■=■可以化成α的式子，可以和sin2α+cos2α=1联立求出结果. 解法二主要是通过研究已知角和所求角之间的关系来探究解题思路，运用整体的思想解决问题. 教师的讲解从形式上看好像没有跳步，但因为学生对角的认识已形成思维定式，导致方法选择上也出现了定式. 所以在讲解过程中要注意设计阶梯，改变学生的思维定式，改进解法. 如果我们引进换元法令α+■=β，则α=β-■，则上述问题就变成：已知0<β-■<■，cosβ=■，则sin2β-■=______. 这样逐步讲解，学生会更倾向于用简单的解法二解题了. 跳跃式教学没有给学生搭建理解的阶梯，往往效果甚微. 因此，课堂讲解要基于学情，以学生的掌握为目的，力求讲细、讲透，不给“懂而不会”留下隐患.
■一题多变、一题多解式教学，忽视问题实质，给学生“懂而不会”制造机会
在教学过程中，一题多变、一题多解教学会让学生在课堂上感觉教师好厉害、问题好神奇，求解过程好像懂了；但在考试中，反馈的结果往往令人失望. 所以经常有这样的抱怨：“这个问题已经讲了好几种解法了，学生怎么一种都没有掌握？”那么，究竟是哪个环节出了纰漏？其实，一个数学问题的本质是唯一的，一题多解不过是从不同角度剖析问题而得出不同的解题方式. 如果只停留于一题多解，不做进一步地归纳总结，学生往往不会明白问题的实质是什么，也不会清楚哪些是普适性解法，不知道从什么地方突破，最终的结果还不如一题一解. 因此，不如选择让学生掌握一种最易掌握的解法.
如正弦定理的证明，如果选用作高法、外接圆法、面积法或向量法证明，最后应总结这些方法的突破点在于三角形的高. 从高出发，可以想到直角三角形（作高法、外接圆法）；可以想到三角形面积（面积法）；可以想到向量的数量积（向量法）. 笔者认为一题多解、一题多变是好的教学方式，而归纳总结就是这种教学方式的点睛之笔，不可忽视. 只有这样，才能让学生把握问题的实质，真正理解，使学生摆脱仅在欣赏的层面上理解知识的问题，避免“懂而不会”.
■巧解式教学，忽视普适性解法，为学生“懂而不会”留有舞台
在教学过程中，简洁巧妙的解题方法能带给学生惊喜，带来对教师的钦佩，能拓展学生的视野，从而进一步提高学生学习的兴趣，因此，存在解题必求巧解之法、孜孜不倦于巧解之法这样一种误区. 如果学生对巧解只停留在欣赏层面，无法真正理解与运用，很多时候仍然属于“懂而不会”.
如：求函数y=5sinx+12cosx的最大值与最小值.
巧解：构造向量a=（5，12），b=（sinx，cosx），则y=a·b. 又a=13，b=1，
由-a·b≤a·b≤a·b得-13≤5sinx+12cosx≤13，？摇
所以y=5sinx+12cosx的最大值是13，最小值是-13.
从拓展思维的角度看，此种解法确实能让人耳目一新，小激动一回；但试问有多少学生在解题时会选用这种解法呢？如果我们给题目中角x一个取值范围（x∈0，■），上述方法还行得通吗？相信大部分学生会选择化简函数式求解. 巧解法因思维难度大、技巧性强而致适用范围小，学生在解题过程中一般无法第一时间想到. 巧解法可以用来拓展思维，展示数学魅力，故更适用于培优拔尖. 而数学教学的目的在于教会学生解题，“好”的解法应具备如下特征：符合学生的认知规律，适合大多数学生掌握；能解决同类问题. 因此，普适性解法在日常教学中才是“好”解法，在课堂教学的视野中不能只有“树木”而不见“森林”，普适性解法的教学更应偏重，确保大多数学生懂且会，使“懂而不会”无处现身.
当然，“懂而不会”是一个复杂的现象，造成这一现象的原因有很多. 但是，只要教师能成为智慧的“导演”，教学细腻，摒弃花哨，关注问题实质，注重普适性解法；只要让学生成为课堂的“主演”，时时有机会去体验与感悟，“懂而不会”终将无处遁形，消失于有效教学的“阳光”之下.