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化归思想是指当问题难以直接解决时，根据问题的性质、条件和关系的特点，采取适当的变换方法而对问题进行转换，最终把它化为容易的或已经解决的问题。
匈牙利数学家罗莎曾对化归思想作过十分形象的描述：
假设你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧一壶水，你应该怎样做？
这个问题很简单，谁都知道做法：先拿水壶到水龙头下装满水，再划火柴点燃煤气，然后把水壶放到煤气灶上。接着罗莎在此基础上又提出一个问题：
假设所有条件仍和原来一样，只是在水壶中已经装满了水，这时你该这样去做？
对于第二个问题，人们往往这样回答：那就只要划火柴、点煤气，再把水壶放到煤气灶上。但是罗莎指出：对于数学家来说，这还不是最好的答案，因为只有物理学家会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称已经把第二个问题转化为第一个问题，而第一个问题是已经解决了的。
例如下面几道例题：
例1，有5只猴子分一堆桃子，他们想平均分配，但无论如何也分不下去。于是大家约定先去睡觉，明天再分。晚上第一个猴子趁大家熟睡，走到桃子边，先吃掉一个后，剩下的恰好可以平均分成5份。这个猴子把其中一份藏了起来，然后去睡觉，过了一会第二个猴子起来，在剩下的桃子中拿一个吃了，其余的又恰好能平均分成5份，第二个猴子也藏了其中一份后去睡觉。接着第三、第四个猴子都照次办理。最后第五个猴子起来，把剩下的桃子吃掉一个后，余下的桃子也恰能平均分成5份。问最少有多少只桃子。
设开始有个桃子，只猴子。第只猴子藏去的一份桃子数为则得到一个正整数列：
它满足递推关系：两边加上则得
令 则 是一个公比为的等比级数： 或 由于是正整数，最小应为从而最小为再注意到即得的最小值为本题中取=5，即得
例2，（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P—ABC的体积。
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD.这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=S△ECD·AE+S△ECD·PE=S△ECD ·PA
=·BC·ED·PA=。
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。
证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC=∠NSC
又∵ ∠DCM=∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC=∠SNC=Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
最后再看下面这道题：
例3，把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。
解析：如图，设矩形的一边长为x，则半圆的周长为矩形的另一边长为=设零件的面积为S，则S==
∵a<0 ∴当时，S有最大值，这时AB=。
∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=。
点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。
通过以上例题可以看出，将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂。化归思想是数学中十分重要的解题思想，必须牢牢地掌握。
匈牙利数学家罗莎曾对化归思想作过十分形象的描述：
假设你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，现在的任务是要烧一壶水，你应该怎样做？
这个问题很简单，谁都知道做法：先拿水壶到水龙头下装满水，再划火柴点燃煤气，然后把水壶放到煤气灶上。接着罗莎在此基础上又提出一个问题：
假设所有条件仍和原来一样，只是在水壶中已经装满了水，这时你该这样去做？
对于第二个问题，人们往往这样回答：那就只要划火柴、点煤气，再把水壶放到煤气灶上。但是罗莎指出：对于数学家来说，这还不是最好的答案，因为只有物理学家会这样做，而数学家则会倒去壶中的水，并且声称已经把第二个问题转化为第一个问题，而第一个问题是已经解决了的。
例如下面几道例题：
例1，有5只猴子分一堆桃子，他们想平均分配，但无论如何也分不下去。于是大家约定先去睡觉，明天再分。晚上第一个猴子趁大家熟睡，走到桃子边，先吃掉一个后，剩下的恰好可以平均分成5份。这个猴子把其中一份藏了起来，然后去睡觉，过了一会第二个猴子起来，在剩下的桃子中拿一个吃了，其余的又恰好能平均分成5份，第二个猴子也藏了其中一份后去睡觉。接着第三、第四个猴子都照次办理。最后第五个猴子起来，把剩下的桃子吃掉一个后，余下的桃子也恰能平均分成5份。问最少有多少只桃子。
设开始有个桃子，只猴子。第只猴子藏去的一份桃子数为则得到一个正整数列：
它满足递推关系：两边加上则得
令 则 是一个公比为的等比级数： 或 由于是正整数，最小应为从而最小为再注意到即得的最小值为本题中取=5，即得
例2，（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h.求证三棱锥P—ABC的体积。
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD.这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=S△ECD·AE+S△ECD·PE=S△ECD ·PA
=·BC·ED·PA=。
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。
证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影，
∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角
由已知得∠MDC=∠NSC
又∵ ∠DCM=∠SCN
∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC=∠SNC=Rt∠
即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。
最后再看下面这道题：
例3，把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。
解析：如图，设矩形的一边长为x，则半圆的周长为矩形的另一边长为=设零件的面积为S，则S==
∵a<0 ∴当时，S有最大值，这时AB=。
∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=。
点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。
通过以上例题可以看出，将难以下手的题目转化为自己熟练掌握的基本问题，是应用化归思想的灵魂。化归思想是数学中十分重要的解题思想，必须牢牢地掌握。