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摘要：添作辅助线为解决初中平面几何中的证明题，计算题和作图题创造了条件，随着几何题型的千变万化，辅助线的作法也是千变万化，因此，巧妙地添加辅助线，是学生克服平面几何难题寻找解答几何题型思路的关键。本文笔者结合云南省近年中考真题和考试说明，对初中常见辅助线的作法和思路进行了归纳和总结。
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2020）-026
目前常见的辅助线的作法有：连接、延长、作垂线、作平行线、倍长中线法、截长补短法、平移法、旋转法、构造法等。通过分析云南省初中学业水平考试中添加辅助线的题型发现特点如下：1.需要添加辅助线的题型主要有平行四边形的证明及计算、特殊平行四边形的证明及计算、解直角三角形的实际应用、切线的相关证明及计算、与圆有关不规则图形面积的计算、二次函数与几何的综合六种题型。2.辅助线在云南中考的常见作法主要是：连接、延长、作垂直和构造法四种。3.添加辅助线的目的主要是为了构造：等腰三角形、等边三角形、直角三角形以及三角形全等、三角形相似等。4.中考压轴题辅助线较多，不容易找到解题思路，应按常见的基本图形考虑添加辅助线。
结合学业水平中考察的题型特点，对于初中常见辅助线的添加我们主要考虑两方面。一方面按定义添辅助线：如证明两直线垂直、线段的倍半关系、角的倍半关系等等。另一方面按基本图形添辅助线：如三角形问题添加辅助线方法、平行四边形问题添加辅助线方法、梯形中添加辅助线方法、圆中添加辅助线的技巧、轴对称模型构造等等。具体的作法和思路参考如下：
三角形问题添加辅助线方法。可以参考三角形中常见辅助线口诀：1.图中有角平分线，可向两边作垂线。2.也可将图对折看，对称以后关系现。3.角平分线平行线，等腰三角形来添。4.角平分线加垂线，三线合一试试看。5.线段垂直平分线，常向两端把线连。6.线段和差及倍半，延长缩短可试验。7.线段和差不等式，移到同一三角去。8.三角形中两中点，连接则成中位线。9.三角形中有中线，延长中线等中线。10.斜边上面作高线，比例中项一大片。
四边形中常见辅助线添加方法。可以参考口诀：1.平行四边形出现，对称中心等分点。2.证相似，比线段，添线平行成习惯。3.等积式子比例换，寻找线段很关键。4.直接证明有困难，等量代换少麻烦。特殊四边形如平行四边形中常用辅助线的添法。平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是构造线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问題转化成常见的三角形问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
1.连对角线或平移对角线。2.过顶点作对边的垂线构造直角三角形。3.连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线。4.连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。5.过顶点作对角线的垂线，构造线段平行或三角形全等。例如：2019年云南省中考考试说明25页例4，添加辅助线的方法：平行四边形出现，对称中心等分点。2014年云南省初中学业水平考试平行四边形的相关证明及计算第22题。添加辅助线的方法：连接，构造等边三角形;直接证明有困难，等量代换少麻烦。2018年云南昆明中考题第23题第1问。添加辅助线的方法：等积式子比例换，寻找线段很关键。
梯形添加辅助线方法。可以参考口诀：梯形问题巧转换，变为三角形和平行四边形。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。例如：2019年云南省中考考试说明94页92题第2问，添加辅助线的方法：作高，转化为直角三角形和矩形。2019年中考考试说明29页例12第2问，添加辅助线的方法：平移对角线转化成平行四边形。
轴对称模型添辅助线方法。常见考虑要用或作轴对称的基本图形：1.线段或角度存在二倍关系可考虑对称;2.有互余、互补关系的图形，可考虑对称;3.角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称;4.路径最短问题，基本上运用轴对称。将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点间线段最段，来实现最短路径的求解。
圆中辅助线添加技巧。1.添辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。例如，2019年云南省中考考试说明94页第94题，2018年云南省初中学业水平考试真题第22题第1问，添加辅助线的方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。2.添辅助线方法：连中点。在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。3.添辅助线方法：见直径，常作圆周角，得直角。在圆中如果出现直径，作出直径所对的圆周角，能得到90°的直角或直角三角形。例如：2019年云南省中考考试说明76页172题第2问，2017年云南省初中学业水平考试真题切线的相关证明及计算，23题第1问，添加辅助线的方法：见直径，常作圆周角，得直角。4.与切线有关的辅助线作法：（1）有切点，连半径，证垂直。（2）无切点，作垂直，证半径。（3）见切线，连半径，得垂直。例如：2016年云南省初中学业水平考试切线的相关证明及计算第20题第1问，2017年云南省初中学业水平考试切线的相关证明及计算第23题第1问，2018年云南省初中学业水平考试切线的相关证明及计算第22题第1问，添加辅助线的方法：有切点，连半径，证垂直。
总之，首先必须明确在不能直接证明出或不易证出题目结论时，再考虑添作辅助线，切勿多作。随意添加可能会背道而驰，几何图形中添加的线越多，形易乱，更加难于寻找解题思路。巧妙添加辅助线的技巧还得回归到平时的解题分析中，通过题型的分析总结不断积累实践经验，遵守基本作图法，尽可能去构造常规图形，符合证明题的要求。
参考文献
[1]李可荣.浅谈初中几何如何添加辅助线[J].四川理工学院学报（社会科学版），2009，24（S1）：221-222.
[2]陈诗玉，赖浩.特殊四边形问题中添加辅助线的方法[J].初中数学教与学，2019（17）：22-24.
[3]宋桂珂.初中数学辅助线技巧浅略[J].学周刊，2015（06）：130.
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2020）-026
目前常见的辅助线的作法有：连接、延长、作垂线、作平行线、倍长中线法、截长补短法、平移法、旋转法、构造法等。通过分析云南省初中学业水平考试中添加辅助线的题型发现特点如下：1.需要添加辅助线的题型主要有平行四边形的证明及计算、特殊平行四边形的证明及计算、解直角三角形的实际应用、切线的相关证明及计算、与圆有关不规则图形面积的计算、二次函数与几何的综合六种题型。2.辅助线在云南中考的常见作法主要是：连接、延长、作垂直和构造法四种。3.添加辅助线的目的主要是为了构造：等腰三角形、等边三角形、直角三角形以及三角形全等、三角形相似等。4.中考压轴题辅助线较多，不容易找到解题思路，应按常见的基本图形考虑添加辅助线。
结合学业水平中考察的题型特点，对于初中常见辅助线的添加我们主要考虑两方面。一方面按定义添辅助线：如证明两直线垂直、线段的倍半关系、角的倍半关系等等。另一方面按基本图形添辅助线：如三角形问题添加辅助线方法、平行四边形问题添加辅助线方法、梯形中添加辅助线方法、圆中添加辅助线的技巧、轴对称模型构造等等。具体的作法和思路参考如下：
三角形问题添加辅助线方法。可以参考三角形中常见辅助线口诀：1.图中有角平分线，可向两边作垂线。2.也可将图对折看，对称以后关系现。3.角平分线平行线，等腰三角形来添。4.角平分线加垂线，三线合一试试看。5.线段垂直平分线，常向两端把线连。6.线段和差及倍半，延长缩短可试验。7.线段和差不等式，移到同一三角去。8.三角形中两中点，连接则成中位线。9.三角形中有中线，延长中线等中线。10.斜边上面作高线，比例中项一大片。
四边形中常见辅助线添加方法。可以参考口诀：1.平行四边形出现，对称中心等分点。2.证相似，比线段，添线平行成习惯。3.等积式子比例换，寻找线段很关键。4.直接证明有困难，等量代换少麻烦。特殊四边形如平行四边形中常用辅助线的添法。平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是构造线段的平行、垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问題转化成常见的三角形问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：
1.连对角线或平移对角线。2.过顶点作对边的垂线构造直角三角形。3.连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线。4.连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。5.过顶点作对角线的垂线，构造线段平行或三角形全等。例如：2019年云南省中考考试说明25页例4，添加辅助线的方法：平行四边形出现，对称中心等分点。2014年云南省初中学业水平考试平行四边形的相关证明及计算第22题。添加辅助线的方法：连接，构造等边三角形;直接证明有困难，等量代换少麻烦。2018年云南昆明中考题第23题第1问。添加辅助线的方法：等积式子比例换，寻找线段很关键。
梯形添加辅助线方法。可以参考口诀：梯形问题巧转换，变为三角形和平行四边形。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。通常情况下，通过做辅助线，把梯形转化为三角形、平行四边形，是解梯形问题的基本思路。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。例如：2019年云南省中考考试说明94页92题第2问，添加辅助线的方法：作高，转化为直角三角形和矩形。2019年中考考试说明29页例12第2问，添加辅助线的方法：平移对角线转化成平行四边形。
轴对称模型添辅助线方法。常见考虑要用或作轴对称的基本图形：1.线段或角度存在二倍关系可考虑对称;2.有互余、互补关系的图形，可考虑对称;3.角度和或差存在特殊角度的，可考虑对称;4.路径最短问题，基本上运用轴对称。将分散的线段集中到两点之间，从而运用两点间线段最段，来实现最短路径的求解。
圆中辅助线添加技巧。1.添辅助线方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。此方法多用于求半径或弦长，利用勾股定理求长度。例如，2019年云南省中考考试说明94页第94题，2018年云南省初中学业水平考试真题第22题第1问，添加辅助线的方法：连半径、作垂直、构造直角三角形。2.添辅助线方法：连中点。在圆中如果出现弦的中点或弧的中点，连接圆心和中点的线段。3.添辅助线方法：见直径，常作圆周角，得直角。在圆中如果出现直径，作出直径所对的圆周角，能得到90°的直角或直角三角形。例如：2019年云南省中考考试说明76页172题第2问，2017年云南省初中学业水平考试真题切线的相关证明及计算，23题第1问，添加辅助线的方法：见直径，常作圆周角，得直角。4.与切线有关的辅助线作法：（1）有切点，连半径，证垂直。（2）无切点，作垂直，证半径。（3）见切线，连半径，得垂直。例如：2016年云南省初中学业水平考试切线的相关证明及计算第20题第1问，2017年云南省初中学业水平考试切线的相关证明及计算第23题第1问，2018年云南省初中学业水平考试切线的相关证明及计算第22题第1问，添加辅助线的方法：有切点，连半径，证垂直。
总之，首先必须明确在不能直接证明出或不易证出题目结论时，再考虑添作辅助线，切勿多作。随意添加可能会背道而驰，几何图形中添加的线越多，形易乱，更加难于寻找解题思路。巧妙添加辅助线的技巧还得回归到平时的解题分析中，通过题型的分析总结不断积累实践经验，遵守基本作图法，尽可能去构造常规图形，符合证明题的要求。
参考文献
[1]李可荣.浅谈初中几何如何添加辅助线[J].四川理工学院学报（社会科学版），2009，24（S1）：221-222.
[2]陈诗玉，赖浩.特殊四边形问题中添加辅助线的方法[J].初中数学教与学，2019（17）：22-24.
[3]宋桂珂.初中数学辅助线技巧浅略[J].学周刊，2015（06）：130.