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【摘 要】目前中小学数学教学中存在很多教学浪费的现象，如教学机械重复、纠缠于枝节性的问题等，往往徒增学生负担而成效甚微。针对这一现象，选取“积的变化规律”为教学主题，进行了将两节课的内容并到一节课中教学的实验，取得了有说服力的效果。
【关键词】教学的浪费 积的变化规律 教学
一、引言
顾泠沅教授曾指出，现在的小学数学教育存在很多教学浪费的现象，教材和教学很多时候纠缠于枝节性的问题而忽视了知识的逻辑主干，教学时往往反复操练、机械重复，原本一节课可以解决的问题要用两三节课来处理，徒增学生的负担而没有成效。针对这一问题，顾泠沅教授曾亲自设计了一节小学数学课，指导研究团队进行了实验，取得了令人信服的结果。
（三）研究思路与过程
“积的变化规律”的教学，常规的教学是分为两个课时，第一个课时学习一个因数变化时积的变化情况，第二个课时学习两个因数同时变化时积的变化情况。本次教学实验采取了同课异构的方式，一个班级按常规的教学思路分两个课时教；另外一个班级本着顾泠沅的“减少教学的浪费”的思想，精简练习，一个课时学完所有的内容。并将教材中的因数按整十倍扩大或缩小延伸到任意数的扩大或缩小，将两个因数仅有同时反向变延伸到两个因数任意地变。
两次课都对学生进行了前后测，测试题由笔者设计（见附录），在测试前选若干学生进行了试做。两次课的课堂教学都进行了录像，两次课结束后都对学生进行了访谈，对该校的实习指导老师也进行了访谈，访谈都做了记录。
对于收集到的数据，课堂教学运用录像带分析法进行了分析，前后测试卷采用定量和质的分析结合的方法进行了分析，对访谈记录做了质的分析。数据统计工具用的是Excel 2007。
三、研究结果与分析
本次同课异构，将按常规方法教的两节课称为第一次课，将两节课合并精简后执教的称为第二次课。对两次课的教学情况及教学效果进行分析比较，结果发现不同理念下的两次课不仅课堂教学情况发生了改变，教学效果也截然不同。
（一）两次课堂教学情况比较分析
第一次课是分开的两节课，将第一次课的第一节课和第二次课的课堂教学情况进行比较。
两次课都用了情境问题导入的方式，除去导入、课堂小结、布置作业等环节，两节课的主要教学环节及用时如表1所示。第一次课两个因数同时变化的情况是放在第二节课中的，因此第一节课没有这个环节，而第二次课笔者本着“减少教学的浪费”的理念，将这部分内容并入了第一节课。相应地第一次课在应用上耗时就比较多了。
从教学理念与行为来看，改进前后课堂教学有两处发生了本质转变。
1. 积的变化规律探究
一个因数变化有因数变大或变小两种情况，教师第一次课在这两方面的探究都耗费了一定的时间。笔者指出，两种情况只不过是方向不同，原理一致，只要搞清楚其一，另外一个就容易了，而两个因数同时变化也是一个因数变化的延伸，一个因数变化的情况清楚了则两个因数同时变化也不难理解了。因此第二次课，教师将重点放在一个因数扩大积的变化规律的探究上。
在探究因数变大积的变化规律时，教师都是通过具体例子引导学生归纳出规律。第一次课在探究因数缩小积的变化规律时，教师重复了这一过程。改进后的第二次课，教师在得出积随因数变大的规律后，引导学生思考“如果因数变小积会怎么变”，结果学生不仅能很快答出“积也变小”，而且知道“因数除以几，积也除以几”的规律。
两个因数同时变化的情况，第一次课用了整整一节课的时间去解决，而改进后的课这部分内容以思考题的形式处理，只用了6′08″的时间。教师首先展示“4×12=48”这一算式，然后让学生思考如下四道题：
（4×2）×（12÷2）= （4÷2）×（12×2）=
（4÷4）×（2×2）= （4×4）×（12÷2）=
在学生顺利解决这四道题之后，教师进一步引导学生归纳出两个因数同时变积的变化规律，使学生由具体的数字运算上升到对抽象规律的理解。
2. 积的变化规律的应用 关于应用积的变化规律进行运算，笔者认为学生在掌握了变化规律的基础上，不需要耗费太多的时间去练习。第一次课教师除安排了大量的计算题外，还安排了两道应用题，用了59.92%的课堂时间处理练习。第二次课精简了练习，依照分层教学的理念，安排了一组基本的计算题和一道延伸性的应用题。从后测的结果来看，学生只要理解了运算规律，正确应用于运算不需要太多的时间练习。
（二）两次课教学效果比较分析
两次课教学的效果主要从后测的情况来看，并结合前测和访谈的结果。
1. 测试结果
第一次上课班级人数47人，第二次上课班级人数53人，对两次课后测的结果进行了统计分析。从测试结果来看，在合理设计的前提下，同样的内容用一节课教的效果并不比两节课差。
（1）积的变化规律的应用
关于积的变化规律的应用，后测分别出了用于简便计算、灵活应用和实际应用三类问题，测试结果如图1所示。同样的内容第一次课用了双倍的时间，但从效果来看和第二次课没有本质的差距。无论是将积的变化规律应用于简便计算，还是灵活应用和实际应用问题，学生用一节课学习的掌握程度和两节课是一样的。
从测试结果也可以看出，将积变化规律应用于计算不需要太多的操练，教师教学应该在延伸性内容灵活应用和实际应用上多下功夫。
（2）对后续学习的影响
为考察本节课内容对后续学习的影响，后测分别设计了数字较大的两个因数相乘和三个因数相乘的运算题。数字较大的两个因数相乘由于计算的数字较大，学生容易出错，为更全面地反映问题，不仅对全部做对的人数占比进行了统计，也统计了部分做对的人数占比，结果如图2所示。可以看出，两次课的效果没有本质差别。三个因数相乘主要考察学生对积的变化规律的理解和灵活运用，结果如图3所示，第二次课的正确率比第一次课略高。
2. 访谈结果
实验过程中和结束后，执教教师YLQ分别对执教班级学生和该校参与实验的经验教师进行了访谈，访谈的结果进一步佐证了该实验做法的有效性。
（1）学生访谈结果
第一次课的第一节课后，执教教师YLQ在执教班级选择了中等水平的两位学生进行了访谈，两位学生的反应是一节课学一个因数变化的情况比较轻松，可以将两个因数同时变的情况并到一节课中。
YLQ：要是在这节课里老师把两个因数都发生变化的情况也让你们探究，你们觉得自己可以掌握吗？
学生1：我觉得应该可以吧，这节课学得挺轻松的。
学生2：老师让太多学生回答问题了，我觉得有点浪费时间。应该可以把这个内容加上吧，可以接受的。
第二次课后，YLQ仍然选择两名中等水平的学生进行访谈，两位学生也反映这种教法可以接受，如下为第二次课后访谈片段。
YLQ：这次上课，你们觉得自己掌握得如何？
学生1：前面只有一个因数发生变化的情况掌握得比较好，后面探究的情况思路理解了，但是做题目的话有点慢。
学生2：前面的规律掌握了，后面学习的内容就是分两次用那个规律就可以了。
YLQ：后面的测试，你觉得难度大不大？
学生1：还可以吧，我觉得自己对于两个因数都发生变化的题目，做得有点慢。应用题我一开始列竖式直接算的，得出结果后，我发现直接应用后面学习的那个规律会快一点。
学生2：不是很难啊，我都会做。
（2）教师访谈结果
实验结束后，执教教师YLQ对F教师进行了访谈，F教师对这次实验的做法及其效果是肯定的，而且认为在日常的教学中可适当推广这种做法。如下是访谈片段。
YLQ：F老师，我们这次教学实验，第二次课把两节课的内容放到一节课中上，您觉得这个做法可行吗？您通过课堂观察，教学效果怎么样？
F老师：这次教学改进主要针对的是课时安排问题。一般情况下，教师都会按照教参上的课时安排来进行教学，除非要赶进度或者有其他特殊情况。从课堂情况来看，这次教学改进效果还是有的，大部分学生对于这一个新增的上课内容是可以掌握的。这次改进在规律应用环节比较考验教师的备课能力，因为我们要在原来例题的基础上进行精选，教师要更加严谨地斟酌每个例题的可选性。对于学生来说，上课需要更加集中注意力，课堂上时间的利用率要大于教学改进之前的课。
YLQ：也就是说这样的做法是可行的，效果是可以的。那您觉得这样的做法可以在平时的教学中大力推广吗？
F老师：在一些探究式的教学中可以进行推广，可以提高教学的效率。对于概念性知识的教学和操作性知识的教学的课时，还是不建议推广。
四、结论与反思
本教学实验精简了教学内容，将常规两节课的内容并到一节课中教学，无论是课堂观察、测试结果还是访谈结果都说明，一节课的效果和两节课效果是同样的，也就是说用两节课的时间来教学该内容是一种浪费。在目前的中小学数学教学中，存在很多这样的浪费。如何在研究教材、把握学情的基础上精心设计教学，减少教学上的浪费，避免不必要的重复和操练，提高教学效率，从而减轻学生负担，是广大数学教育研究者和一线教师需要钻研的教学问题之一。
PISA测试中国上海的学生两次取得傲人的成绩，引起了中外教育界的广泛关注，但国外教育专家在了解了中国的基础教育后指出“中国学生的学习是全天候的”，中国学生的学习成绩是拼命学习换来的。如果减少一些教学上的浪费，“全天候”的现象也许会有所转变。本教学案例是减少教学浪费的一个典型，希望能起到抛砖引玉的作用，引发更多的研究。
参考文献：
[1] 俞宏毓. “长方形、正方形的面积与周长”教学指导研究报告[J].数学教育学报，2014（6）.
[2] 俞宏毓. 教师发展指导者工作的案例研究[D].上海：华东师范大学，2013（6）.
[3] 俞宏毓. 多样的归一—— “比赛场次”的教学改进实践[J].教学月刊（小学版），2015（10）.
[4]俞宏毓. 关于“扇形的面积”的教学指导研究报告[J].数学教育学报，2013（2）.
[5]顾泠沅，王洁. 以课例为载体引领教师发展[J].人民教育，2003（6）.
[6]俞宏毓. 中国数学教育研究现状分析——基于《数学教育学报》载文研究[J].数学教育学报，2015（8）.
【关键词】教学的浪费 积的变化规律 教学
一、引言
顾泠沅教授曾指出，现在的小学数学教育存在很多教学浪费的现象，教材和教学很多时候纠缠于枝节性的问题而忽视了知识的逻辑主干，教学时往往反复操练、机械重复，原本一节课可以解决的问题要用两三节课来处理，徒增学生的负担而没有成效。针对这一问题，顾泠沅教授曾亲自设计了一节小学数学课，指导研究团队进行了实验，取得了令人信服的结果。
（三）研究思路与过程
“积的变化规律”的教学，常规的教学是分为两个课时，第一个课时学习一个因数变化时积的变化情况，第二个课时学习两个因数同时变化时积的变化情况。本次教学实验采取了同课异构的方式，一个班级按常规的教学思路分两个课时教；另外一个班级本着顾泠沅的“减少教学的浪费”的思想，精简练习，一个课时学完所有的内容。并将教材中的因数按整十倍扩大或缩小延伸到任意数的扩大或缩小，将两个因数仅有同时反向变延伸到两个因数任意地变。
两次课都对学生进行了前后测，测试题由笔者设计（见附录），在测试前选若干学生进行了试做。两次课的课堂教学都进行了录像，两次课结束后都对学生进行了访谈，对该校的实习指导老师也进行了访谈，访谈都做了记录。
对于收集到的数据，课堂教学运用录像带分析法进行了分析，前后测试卷采用定量和质的分析结合的方法进行了分析，对访谈记录做了质的分析。数据统计工具用的是Excel 2007。
三、研究结果与分析
本次同课异构，将按常规方法教的两节课称为第一次课，将两节课合并精简后执教的称为第二次课。对两次课的教学情况及教学效果进行分析比较，结果发现不同理念下的两次课不仅课堂教学情况发生了改变，教学效果也截然不同。
（一）两次课堂教学情况比较分析
第一次课是分开的两节课，将第一次课的第一节课和第二次课的课堂教学情况进行比较。
两次课都用了情境问题导入的方式，除去导入、课堂小结、布置作业等环节，两节课的主要教学环节及用时如表1所示。第一次课两个因数同时变化的情况是放在第二节课中的，因此第一节课没有这个环节，而第二次课笔者本着“减少教学的浪费”的理念，将这部分内容并入了第一节课。相应地第一次课在应用上耗时就比较多了。
从教学理念与行为来看，改进前后课堂教学有两处发生了本质转变。
1. 积的变化规律探究
一个因数变化有因数变大或变小两种情况，教师第一次课在这两方面的探究都耗费了一定的时间。笔者指出，两种情况只不过是方向不同，原理一致，只要搞清楚其一，另外一个就容易了，而两个因数同时变化也是一个因数变化的延伸，一个因数变化的情况清楚了则两个因数同时变化也不难理解了。因此第二次课，教师将重点放在一个因数扩大积的变化规律的探究上。
在探究因数变大积的变化规律时，教师都是通过具体例子引导学生归纳出规律。第一次课在探究因数缩小积的变化规律时，教师重复了这一过程。改进后的第二次课，教师在得出积随因数变大的规律后，引导学生思考“如果因数变小积会怎么变”，结果学生不仅能很快答出“积也变小”，而且知道“因数除以几，积也除以几”的规律。
两个因数同时变化的情况，第一次课用了整整一节课的时间去解决，而改进后的课这部分内容以思考题的形式处理，只用了6′08″的时间。教师首先展示“4×12=48”这一算式，然后让学生思考如下四道题：
（4×2）×（12÷2）= （4÷2）×（12×2）=
（4÷4）×（2×2）= （4×4）×（12÷2）=
在学生顺利解决这四道题之后，教师进一步引导学生归纳出两个因数同时变积的变化规律，使学生由具体的数字运算上升到对抽象规律的理解。
2. 积的变化规律的应用 关于应用积的变化规律进行运算，笔者认为学生在掌握了变化规律的基础上，不需要耗费太多的时间去练习。第一次课教师除安排了大量的计算题外，还安排了两道应用题，用了59.92%的课堂时间处理练习。第二次课精简了练习，依照分层教学的理念，安排了一组基本的计算题和一道延伸性的应用题。从后测的结果来看，学生只要理解了运算规律，正确应用于运算不需要太多的时间练习。
（二）两次课教学效果比较分析
两次课教学的效果主要从后测的情况来看，并结合前测和访谈的结果。
1. 测试结果
第一次上课班级人数47人，第二次上课班级人数53人，对两次课后测的结果进行了统计分析。从测试结果来看，在合理设计的前提下，同样的内容用一节课教的效果并不比两节课差。
（1）积的变化规律的应用
关于积的变化规律的应用，后测分别出了用于简便计算、灵活应用和实际应用三类问题，测试结果如图1所示。同样的内容第一次课用了双倍的时间，但从效果来看和第二次课没有本质的差距。无论是将积的变化规律应用于简便计算，还是灵活应用和实际应用问题，学生用一节课学习的掌握程度和两节课是一样的。
从测试结果也可以看出，将积变化规律应用于计算不需要太多的操练，教师教学应该在延伸性内容灵活应用和实际应用上多下功夫。
（2）对后续学习的影响
为考察本节课内容对后续学习的影响，后测分别设计了数字较大的两个因数相乘和三个因数相乘的运算题。数字较大的两个因数相乘由于计算的数字较大，学生容易出错，为更全面地反映问题，不仅对全部做对的人数占比进行了统计，也统计了部分做对的人数占比，结果如图2所示。可以看出，两次课的效果没有本质差别。三个因数相乘主要考察学生对积的变化规律的理解和灵活运用，结果如图3所示，第二次课的正确率比第一次课略高。
2. 访谈结果
实验过程中和结束后，执教教师YLQ分别对执教班级学生和该校参与实验的经验教师进行了访谈，访谈的结果进一步佐证了该实验做法的有效性。
（1）学生访谈结果
第一次课的第一节课后，执教教师YLQ在执教班级选择了中等水平的两位学生进行了访谈，两位学生的反应是一节课学一个因数变化的情况比较轻松，可以将两个因数同时变的情况并到一节课中。
YLQ：要是在这节课里老师把两个因数都发生变化的情况也让你们探究，你们觉得自己可以掌握吗？
学生1：我觉得应该可以吧，这节课学得挺轻松的。
学生2：老师让太多学生回答问题了，我觉得有点浪费时间。应该可以把这个内容加上吧，可以接受的。
第二次课后，YLQ仍然选择两名中等水平的学生进行访谈，两位学生也反映这种教法可以接受，如下为第二次课后访谈片段。
YLQ：这次上课，你们觉得自己掌握得如何？
学生1：前面只有一个因数发生变化的情况掌握得比较好，后面探究的情况思路理解了，但是做题目的话有点慢。
学生2：前面的规律掌握了，后面学习的内容就是分两次用那个规律就可以了。
YLQ：后面的测试，你觉得难度大不大？
学生1：还可以吧，我觉得自己对于两个因数都发生变化的题目，做得有点慢。应用题我一开始列竖式直接算的，得出结果后，我发现直接应用后面学习的那个规律会快一点。
学生2：不是很难啊，我都会做。
（2）教师访谈结果
实验结束后，执教教师YLQ对F教师进行了访谈，F教师对这次实验的做法及其效果是肯定的，而且认为在日常的教学中可适当推广这种做法。如下是访谈片段。
YLQ：F老师，我们这次教学实验，第二次课把两节课的内容放到一节课中上，您觉得这个做法可行吗？您通过课堂观察，教学效果怎么样？
F老师：这次教学改进主要针对的是课时安排问题。一般情况下，教师都会按照教参上的课时安排来进行教学，除非要赶进度或者有其他特殊情况。从课堂情况来看，这次教学改进效果还是有的，大部分学生对于这一个新增的上课内容是可以掌握的。这次改进在规律应用环节比较考验教师的备课能力，因为我们要在原来例题的基础上进行精选，教师要更加严谨地斟酌每个例题的可选性。对于学生来说，上课需要更加集中注意力，课堂上时间的利用率要大于教学改进之前的课。
YLQ：也就是说这样的做法是可行的，效果是可以的。那您觉得这样的做法可以在平时的教学中大力推广吗？
F老师：在一些探究式的教学中可以进行推广，可以提高教学的效率。对于概念性知识的教学和操作性知识的教学的课时，还是不建议推广。
四、结论与反思
本教学实验精简了教学内容，将常规两节课的内容并到一节课中教学，无论是课堂观察、测试结果还是访谈结果都说明，一节课的效果和两节课效果是同样的，也就是说用两节课的时间来教学该内容是一种浪费。在目前的中小学数学教学中，存在很多这样的浪费。如何在研究教材、把握学情的基础上精心设计教学，减少教学上的浪费，避免不必要的重复和操练，提高教学效率，从而减轻学生负担，是广大数学教育研究者和一线教师需要钻研的教学问题之一。
PISA测试中国上海的学生两次取得傲人的成绩，引起了中外教育界的广泛关注，但国外教育专家在了解了中国的基础教育后指出“中国学生的学习是全天候的”，中国学生的学习成绩是拼命学习换来的。如果减少一些教学上的浪费，“全天候”的现象也许会有所转变。本教学案例是减少教学浪费的一个典型，希望能起到抛砖引玉的作用，引发更多的研究。
参考文献：
[1] 俞宏毓. “长方形、正方形的面积与周长”教学指导研究报告[J].数学教育学报，2014（6）.
[2] 俞宏毓. 教师发展指导者工作的案例研究[D].上海：华东师范大学，2013（6）.
[3] 俞宏毓. 多样的归一—— “比赛场次”的教学改进实践[J].教学月刊（小学版），2015（10）.
[4]俞宏毓. 关于“扇形的面积”的教学指导研究报告[J].数学教育学报，2013（2）.
[5]顾泠沅，王洁. 以课例为载体引领教师发展[J].人民教育，2003（6）.
[6]俞宏毓. 中国数学教育研究现状分析——基于《数学教育学报》载文研究[J].数学教育学报，2015（8）.