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小学数学“空间与图形”内容中涉及很多公式的教学。在具体教学过程中,教学“探究公式由来的过程”还是很难落实到位,许多教师不知如何实施。浙江省“教改之星”毕宏辉老师执教的“平行四边形的面积”一课,给我们提供了一个解决这一难题的成功范例。
【片段一】呈现真实状态,任务驱动确定起点
师:有两个图形(出示1个长方形和1个平行四边形),请同学们先测量相关的长度,再计算它们的面积。
(学生在练习纸上测量、计算,教师在巡视过程中选取学生的典型做法在实物投影上展示,其中两个做法是正确的,做错的学生列式是(6+4)×2=20平方厘米)
师:现在我们来交流一下计算结果。
师:这个同学的算式和其他两个不一样,你是怎样想的?
生:(不好意思地)做错了,我算周长了。
师:那你知道该怎样计算长方形的面积吗?
生:把长和宽乘起来就可以。
师:好的,我们再来看另外3个同学是怎样求平行四边形的面积的。
(出示图1)
①(6+4)×2=20平方厘米②6×4=24平方厘米; ③6×3=18平方厘米
【赏析】本课的导入环节没有出现我们常用的生活情境,而是直奔主题引入平行四边形的面积计算,通过出示长方形和平行四边形图形,让学生带着任务“测量所需要的数据,计算它们的面积”,借此展示学生原生态的认知,了解学生已有的知识经验。从课堂上反馈的情况看,虽然个别学生把周长和面积的计算方法搞混淆了,但大多数学生掌握了计算长方形面积的方法,有了自己的思考与猜想,出现了3种计算平行四边形的方法,激发了他们探究正确计算方法的求知欲望。
【片段二】否定错误猜想,证伪思维体验变化
师:计算同一个平行四边形的面积,同学们想到了3种不同的计算方法,也许我们不能肯定哪种方法是正确的。如果其中有错误的,你认为是哪一种?为什么?
生:第一种,因为这是计算平行四边形的周长。
师:剩下的两种方法,你觉得哪一种不合理呢?请说说你的理由。
生1:我觉得6×3=18是错误的,因为平行四边形容易变形,把这个平行四边形拉一拉就变成了长方形,长方形面积就是6×4=24。
生2:我觉得6×4=24是错误的,按照这位同学的说法,难道把这个平行四边形压扁了,面积还是24平方厘米吗?
师:哦,有两种不同的意见,大家觉得呢?
(绝大多数同学还是坚持6×3=18是错误的)
师:请大家仔细观察一下老师手上平行四边形的变化。(利用活动模型演示将平行四边形逐渐拉扁)
师:你们发现平行四边形在刚才的变化过程中,什么变了,什么没有变?
生1:面积变小了。
生2:边的长短没有变。
师:平行四边形的两组底边没有变,而它的面积却在慢慢变小,看起来,用相邻的两条边相乘不能算出平行四边形的面积。现在你认为哪一种计算方法是错误的?
生:用6×4计算平行四边形的面积是错误的,应该用“底×高”来计算。
师:为什么要用“底×高”来计算平行四边形的面积呢?(拉动平行四边形模型)想一想是哪个的变化引起了平行四边形面积的变化呢?
生:是高的变化引起的。
师:我们能不能把平行四边形转化成学过的图形来说明呢?
(在学生思考、讨论的基础上,教师结合课件的剪拼演示引导学生推导出计算方法)
【赏析】当出现3种计算方法时,毕老师以问题“你先淘汰哪一种”引领学生从“证伪”的思维角度审视这3种思路,快速地解决周长与面积区别的问题,排除了第一种做法。而对于“底边×邻边”的计算方法,由于不少学生觉得四条边的长度不变其面积也不变,出现了争执的“愤悱”局面。教师通过演示活动的平行四边形模型,让学生观察体验“变与不变”的关系,使其清晰地看到在底边和邻边不变的情况下,拉动模型对角,平行四边形变窄了,面积变小了,高也变短了,进而引导学生在“变与不变”的分析比较中得出“平行四边形的面积≠底边×邻边”的结论,并继续引领学生研究平行四边形的面积计算方法。
【片段三】验证计算方法,特殊化归有思操作
师:是不是所有的平行四边形都可以剪拼成长方形呢?请同学们任意拿出一个平行四边形,想一想,怎样才能把它转化成一个长方形?
(学生操作验证,教师分别让3个学生展示利用不同的平行四边形沿不同的高剪拼成长方形的过程)
师:同学们真能干,很快就把平行四边形转换成了长方形。请大家认真观察,转换前平行四边形的面积、底和高分别与转换后的长方形的面积、长和宽有怎样的联系?
(根据学生回答总结计算方法并完成如下板书)
【赏析】在学习平行四边形面积的计算中,学生动手操作是必要的手段之一。如何让外显的动手操作体现出内隐的数学思维呢?在解决“变与不变”问题并推导平行四边形的计算方法后,毕老师设计了一个问题情境:“是不是所有的平行四边形都可以剪拼成长方形呢?”引导学生带着“证实”的渴望,运用手中不同的平行四边形,沿着不同的高进行“转化”操作。 在学生自主探索的过程中,毕老师给了学生充足的时间和空间,学生思维积极活跃,此时的课堂是灵动的、深刻的。
【片段四】应用计算方法,解构重构突出对应
师:(出示两个没有任何条件的平行四边形)请大家想一下,要求这两个平行四边形的面积,你希望老师提供哪一条底?哪一条高?(各补上两个图形的底和高,如图2)现在可以计算它们的面积了吗?
生:(点头)可以算了。
师:我们先看第一题。(展示一个学生的算法:9×8=72平方厘米)你刚才想的和老师提供的是同一条底和高吗?
生:不是,我刚才想的是下面的这条底。
师:(出示另一组底和高,如图3)是这一组吗?大家算一下,有什么发现?
生1:7.2×10和9×8计算的结果是一样的,都是这个平行四边形的面积。
生2:我发现一个平行四边形的面积有两种算法,但下面的底只能和7.2乘……
师:你的意思是不是底和高要对应?(板书:对应)那左边的这条底对应的高在哪里?
生:8厘米这一条。
师:好,现在我们再来看这个同学做的第二题。(投影:4×3=12厘米)
(开始喊“对”的学生较多,教师不动声色,逐渐地,“错”的呼声越来越高)
师:底×高=平行四边形面积,怎么就不对了?
生:下面底和高不对应。
师:对啊,底和高要对应才能利用公式。现在底是4厘米,高该怎么画?
……
【赏析】当学生刚刚构建了计算平行四边形面积的数学模型时,很容易形成思维定势。对于两个没有条件的平行四边形,他们首先想到的是下面水平方向的底和对应的高。毕老师的处理非常巧妙,第一题提供的是左面的底和对应的高,原来不用“下面的底和高”也可以求平行四边形的面积,只要底和高对应就行;第二题提供的是下面的底和左面底上的高,就不能求出平行四边形面积,因为底和高必须对应,解构之后的重构,突出了对应,深化了认知。
综观全课,毕老师并没有设计纷繁复杂的情境,也没有使用华丽炫目的课件,而是将思想方法渗透在教学目标的关键之处,巧妙地利用学生计算长方形面积的经验设置悬念,引导学生经历了类推(负迁移)→试误→验证→寻求解决问题的正确方法→推广应用→拓展等过程,充分体现了学生是数学学习的主人的全新教学理念,成功而有效地引导他们探究了平行四边形面积公式的由来。全课层层推进,环环相扣,流畅而有特色。可以说,他是用数学本身的魅力和自身精湛的教学艺术吸引着学生走进了数学的殿堂。(作者单位:浙江省仙居县横溪镇中心小学)
□责任编辑 邓园生
E-mail: jxjydys@126.com
【片段一】呈现真实状态,任务驱动确定起点
师:有两个图形(出示1个长方形和1个平行四边形),请同学们先测量相关的长度,再计算它们的面积。
(学生在练习纸上测量、计算,教师在巡视过程中选取学生的典型做法在实物投影上展示,其中两个做法是正确的,做错的学生列式是(6+4)×2=20平方厘米)
师:现在我们来交流一下计算结果。
师:这个同学的算式和其他两个不一样,你是怎样想的?
生:(不好意思地)做错了,我算周长了。
师:那你知道该怎样计算长方形的面积吗?
生:把长和宽乘起来就可以。
师:好的,我们再来看另外3个同学是怎样求平行四边形的面积的。
(出示图1)
①(6+4)×2=20平方厘米②6×4=24平方厘米; ③6×3=18平方厘米
【赏析】本课的导入环节没有出现我们常用的生活情境,而是直奔主题引入平行四边形的面积计算,通过出示长方形和平行四边形图形,让学生带着任务“测量所需要的数据,计算它们的面积”,借此展示学生原生态的认知,了解学生已有的知识经验。从课堂上反馈的情况看,虽然个别学生把周长和面积的计算方法搞混淆了,但大多数学生掌握了计算长方形面积的方法,有了自己的思考与猜想,出现了3种计算平行四边形的方法,激发了他们探究正确计算方法的求知欲望。
【片段二】否定错误猜想,证伪思维体验变化
师:计算同一个平行四边形的面积,同学们想到了3种不同的计算方法,也许我们不能肯定哪种方法是正确的。如果其中有错误的,你认为是哪一种?为什么?
生:第一种,因为这是计算平行四边形的周长。
师:剩下的两种方法,你觉得哪一种不合理呢?请说说你的理由。
生1:我觉得6×3=18是错误的,因为平行四边形容易变形,把这个平行四边形拉一拉就变成了长方形,长方形面积就是6×4=24。
生2:我觉得6×4=24是错误的,按照这位同学的说法,难道把这个平行四边形压扁了,面积还是24平方厘米吗?
师:哦,有两种不同的意见,大家觉得呢?
(绝大多数同学还是坚持6×3=18是错误的)
师:请大家仔细观察一下老师手上平行四边形的变化。(利用活动模型演示将平行四边形逐渐拉扁)
师:你们发现平行四边形在刚才的变化过程中,什么变了,什么没有变?
生1:面积变小了。
生2:边的长短没有变。
师:平行四边形的两组底边没有变,而它的面积却在慢慢变小,看起来,用相邻的两条边相乘不能算出平行四边形的面积。现在你认为哪一种计算方法是错误的?
生:用6×4计算平行四边形的面积是错误的,应该用“底×高”来计算。
师:为什么要用“底×高”来计算平行四边形的面积呢?(拉动平行四边形模型)想一想是哪个的变化引起了平行四边形面积的变化呢?
生:是高的变化引起的。
师:我们能不能把平行四边形转化成学过的图形来说明呢?
(在学生思考、讨论的基础上,教师结合课件的剪拼演示引导学生推导出计算方法)
【赏析】当出现3种计算方法时,毕老师以问题“你先淘汰哪一种”引领学生从“证伪”的思维角度审视这3种思路,快速地解决周长与面积区别的问题,排除了第一种做法。而对于“底边×邻边”的计算方法,由于不少学生觉得四条边的长度不变其面积也不变,出现了争执的“愤悱”局面。教师通过演示活动的平行四边形模型,让学生观察体验“变与不变”的关系,使其清晰地看到在底边和邻边不变的情况下,拉动模型对角,平行四边形变窄了,面积变小了,高也变短了,进而引导学生在“变与不变”的分析比较中得出“平行四边形的面积≠底边×邻边”的结论,并继续引领学生研究平行四边形的面积计算方法。
【片段三】验证计算方法,特殊化归有思操作
师:是不是所有的平行四边形都可以剪拼成长方形呢?请同学们任意拿出一个平行四边形,想一想,怎样才能把它转化成一个长方形?
(学生操作验证,教师分别让3个学生展示利用不同的平行四边形沿不同的高剪拼成长方形的过程)
师:同学们真能干,很快就把平行四边形转换成了长方形。请大家认真观察,转换前平行四边形的面积、底和高分别与转换后的长方形的面积、长和宽有怎样的联系?
(根据学生回答总结计算方法并完成如下板书)
【赏析】在学习平行四边形面积的计算中,学生动手操作是必要的手段之一。如何让外显的动手操作体现出内隐的数学思维呢?在解决“变与不变”问题并推导平行四边形的计算方法后,毕老师设计了一个问题情境:“是不是所有的平行四边形都可以剪拼成长方形呢?”引导学生带着“证实”的渴望,运用手中不同的平行四边形,沿着不同的高进行“转化”操作。 在学生自主探索的过程中,毕老师给了学生充足的时间和空间,学生思维积极活跃,此时的课堂是灵动的、深刻的。
【片段四】应用计算方法,解构重构突出对应
师:(出示两个没有任何条件的平行四边形)请大家想一下,要求这两个平行四边形的面积,你希望老师提供哪一条底?哪一条高?(各补上两个图形的底和高,如图2)现在可以计算它们的面积了吗?
生:(点头)可以算了。
师:我们先看第一题。(展示一个学生的算法:9×8=72平方厘米)你刚才想的和老师提供的是同一条底和高吗?
生:不是,我刚才想的是下面的这条底。
师:(出示另一组底和高,如图3)是这一组吗?大家算一下,有什么发现?
生1:7.2×10和9×8计算的结果是一样的,都是这个平行四边形的面积。
生2:我发现一个平行四边形的面积有两种算法,但下面的底只能和7.2乘……
师:你的意思是不是底和高要对应?(板书:对应)那左边的这条底对应的高在哪里?
生:8厘米这一条。
师:好,现在我们再来看这个同学做的第二题。(投影:4×3=12厘米)
(开始喊“对”的学生较多,教师不动声色,逐渐地,“错”的呼声越来越高)
师:底×高=平行四边形面积,怎么就不对了?
生:下面底和高不对应。
师:对啊,底和高要对应才能利用公式。现在底是4厘米,高该怎么画?
……
【赏析】当学生刚刚构建了计算平行四边形面积的数学模型时,很容易形成思维定势。对于两个没有条件的平行四边形,他们首先想到的是下面水平方向的底和对应的高。毕老师的处理非常巧妙,第一题提供的是左面的底和对应的高,原来不用“下面的底和高”也可以求平行四边形的面积,只要底和高对应就行;第二题提供的是下面的底和左面底上的高,就不能求出平行四边形面积,因为底和高必须对应,解构之后的重构,突出了对应,深化了认知。
综观全课,毕老师并没有设计纷繁复杂的情境,也没有使用华丽炫目的课件,而是将思想方法渗透在教学目标的关键之处,巧妙地利用学生计算长方形面积的经验设置悬念,引导学生经历了类推(负迁移)→试误→验证→寻求解决问题的正确方法→推广应用→拓展等过程,充分体现了学生是数学学习的主人的全新教学理念,成功而有效地引导他们探究了平行四边形面积公式的由来。全课层层推进,环环相扣,流畅而有特色。可以说,他是用数学本身的魅力和自身精湛的教学艺术吸引着学生走进了数学的殿堂。(作者单位:浙江省仙居县横溪镇中心小学)
□责任编辑 邓园生
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