论文部分内容阅读
中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：（2020）-17-035
导数是高中人教版2—2教材中的重要内容，其中证明双变元不等式是高考中的常见题型。本文通过几个典型例题介绍利用构造法证明不等式问题的简单方法。构造法在导数的解题中非常的常见也非常的有效。
例1：已知函数f（x）=（x 1）ex32x2，
证明f（x1+x2） f（x1 x2）> 2x2
恒成立（其中x1∈R，x2>0）.
证明：依题意f（x1+x2） f（x1 x2）>（x1 x2） （x1+x2）
=f（x1 +x2）+（x1+x2）>f（x1 x2）+（x1x2）恒成立
设g（x）= f（x）+x
则上式等价于g（x1+x2）>g（x1 x2）
要证明g（x1+x2）>g（x1x2）对任意x∈R，x2∈（0，+∞）恒成立
即证明g（x）=（x1）ex32x2 + x在R上单调递增
又g′（x）=xex 3x+1
只需证明xex 3x+1>0即可
令h（x）=e x 1， 则h′（x）=ex 1
当x<0时，h′（x）<0，当x>0时， h′（x）>0
所以h（x）min = h（0） =0
即x∈R，ex ≥x+1
那么，当x>0时，xex≥x2+x
所以xex 3x+1≥x2-2x+1=（x-1）2≥0
当x<0时，ex<1，xex 3x+1=x（ex 3+1x）>0
所以xe 3x+1≥ 0恒成立，从而原不等式成立。
评注：当变元x1，x2无关时，不等式转化成两端关于x1，x2相同结构式，观察形式，构造相应函数，确定函数单调性，证明即可。强调当题中用到切线不等式ex≥x+1时，必须用构造函数的方法去证明。
例2：设函数f（x）=axln x-x+12，a>0，若f（x）恰有两个零点
x1，x2（x1<x2），证明：7x1+x2>ax1X2.
证明：因为当a>0时，函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0<x1<x2）
则 ax1ln x1-x1+12=0
ax2ln x2-x2+12=0
即alnx1=x1-12x1
alnx1=x1-12x1两式相减，得
alnx1x2=x1-12x1-
x2-12x2
=x1-x22x1x2，
因为0<x1<x2，所以0<x1x2<1，所以lnx1x2<0，所以ax1x2=x1-x22lnx1x2
所以要证7x1+x2>7ax1x2，即证7x1+x2>x1-x22lnx1x2
即证2lnx1x2<7（x1x2-1）7×x1x2+1，令x1x2=t（0<t+<1）.则即证2lnt<7（t-1）7t+1.
设g（t）=2lnt-7（t-1）7t+1
即证g（t）<0在t∈（0，1）上恒成立
g′（t）=2t-56（7t+1）2=98t2-28t+2t（7t+1）2=2（7t-1）2t（7t+1）2
因為g′（t）≥0在t∈（0.1）恒成立
所以g（t）在t∈（0.1）上单调递增
因为g（t）在t∈（0，1）是连续函数，
所以当t∈（0，1）时，g（t）< g（1）=0
所以当a>0时，有7x1+x2>7ax1x2，
评注：两个变元x1，x2无关，但是无法分离，由关于x1，x2齐次式或ln x1-ln x2，构造关于主元t=x2x1或t=x1x2或t=x1+x2或t=x1-x2的函数，从而转化成关于t的单变元函数问题，利用单变元函数的单调性，最值解决问题。
例3：已知函数f（x）=ax-In x.函数h（x）=x2-f（x）有两个极值点
x1，x2，且x1∈（0，12），求证：h（x1）-h（x2）>34-ln 2
证明：h（x）=x2-ax+In x
则h′（x）=2x-a+1x=2x2-ax+1x（x>0），
设y=2x2-ax+1（x>0），则
2x21-ax1+1=0
2x22-ax2+1=0
则x1+x2=a2 x1x2=12，所以x2=12x2
h（x1）-h（x2）=x21-x22-a（x1-x2）+Inx1-lhx2
=x21-x22-2（x1+x2）（x1-x2）+2lnx1+ln2
=-x21+x22+22lnx1+ln2
=ln2+2lnx1-x21+14x21
令g（x）=ln2+2lnx-x2+14x2 x∈（0，12）
g′（x）=2x-2x-12x3=-（2x2-1）22x3<0
所以g（x）在x∈（0，12）时单调递减
所以（x1）-h（x2）=g（x1）>g（12）=34-In 2
即h（x1）-h（x2）>34-In 2，证明完毕
评注：题中能找到两个变元x1，x2的关系以及参数之间的关系，消去其中一个变元及参数，构造一个一元函数，利用函数单调性及最值解决问题。
以上就是解决双变元不等式常用的三种解法。构造相同结构式，齐次式，以及找变元及参数关系分离，最后都是化为一元函数问题，从而利用函数的单调性及最值加以证明不等式。这几道题也包括了函数的零点和极值点问题。证明的方法用到了分析法和综合法。平时同学们要注重培养逻辑推理以及运算能力，多积累，多总结。
导数是高中人教版2—2教材中的重要内容，其中证明双变元不等式是高考中的常见题型。本文通过几个典型例题介绍利用构造法证明不等式问题的简单方法。构造法在导数的解题中非常的常见也非常的有效。
例1：已知函数f（x）=（x 1）ex32x2，
证明f（x1+x2） f（x1 x2）> 2x2
恒成立（其中x1∈R，x2>0）.
证明：依题意f（x1+x2） f（x1 x2）>（x1 x2） （x1+x2）
=f（x1 +x2）+（x1+x2）>f（x1 x2）+（x1x2）恒成立
设g（x）= f（x）+x
则上式等价于g（x1+x2）>g（x1 x2）
要证明g（x1+x2）>g（x1x2）对任意x∈R，x2∈（0，+∞）恒成立
即证明g（x）=（x1）ex32x2 + x在R上单调递增
又g′（x）=xex 3x+1
只需证明xex 3x+1>0即可
令h（x）=e x 1， 则h′（x）=ex 1
当x<0时，h′（x）<0，当x>0时， h′（x）>0
所以h（x）min = h（0） =0
即x∈R，ex ≥x+1
那么，当x>0时，xex≥x2+x
所以xex 3x+1≥x2-2x+1=（x-1）2≥0
当x<0时，ex<1，xex 3x+1=x（ex 3+1x）>0
所以xe 3x+1≥ 0恒成立，从而原不等式成立。
评注：当变元x1，x2无关时，不等式转化成两端关于x1，x2相同结构式，观察形式，构造相应函数，确定函数单调性，证明即可。强调当题中用到切线不等式ex≥x+1时，必须用构造函数的方法去证明。
例2：设函数f（x）=axln x-x+12，a>0，若f（x）恰有两个零点
x1，x2（x1<x2），证明：7x1+x2>ax1X2.
证明：因为当a>0时，函数f（x）恰有两个零点x1，x2（0<x1<x2）
则 ax1ln x1-x1+12=0
ax2ln x2-x2+12=0
即alnx1=x1-12x1
alnx1=x1-12x1两式相减，得
alnx1x2=x1-12x1-
x2-12x2
=x1-x22x1x2，
因为0<x1<x2，所以0<x1x2<1，所以lnx1x2<0，所以ax1x2=x1-x22lnx1x2
所以要证7x1+x2>7ax1x2，即证7x1+x2>x1-x22lnx1x2
即证2lnx1x2<7（x1x2-1）7×x1x2+1，令x1x2=t（0<t+<1）.则即证2lnt<7（t-1）7t+1.
设g（t）=2lnt-7（t-1）7t+1
即证g（t）<0在t∈（0，1）上恒成立
g′（t）=2t-56（7t+1）2=98t2-28t+2t（7t+1）2=2（7t-1）2t（7t+1）2
因為g′（t）≥0在t∈（0.1）恒成立
所以g（t）在t∈（0.1）上单调递增
因为g（t）在t∈（0，1）是连续函数，
所以当t∈（0，1）时，g（t）< g（1）=0
所以当a>0时，有7x1+x2>7ax1x2，
评注：两个变元x1，x2无关，但是无法分离，由关于x1，x2齐次式或ln x1-ln x2，构造关于主元t=x2x1或t=x1x2或t=x1+x2或t=x1-x2的函数，从而转化成关于t的单变元函数问题，利用单变元函数的单调性，最值解决问题。
例3：已知函数f（x）=ax-In x.函数h（x）=x2-f（x）有两个极值点
x1，x2，且x1∈（0，12），求证：h（x1）-h（x2）>34-ln 2
证明：h（x）=x2-ax+In x
则h′（x）=2x-a+1x=2x2-ax+1x（x>0），
设y=2x2-ax+1（x>0），则
2x21-ax1+1=0
2x22-ax2+1=0
则x1+x2=a2 x1x2=12，所以x2=12x2
h（x1）-h（x2）=x21-x22-a（x1-x2）+Inx1-lhx2
=x21-x22-2（x1+x2）（x1-x2）+2lnx1+ln2
=-x21+x22+22lnx1+ln2
=ln2+2lnx1-x21+14x21
令g（x）=ln2+2lnx-x2+14x2 x∈（0，12）
g′（x）=2x-2x-12x3=-（2x2-1）22x3<0
所以g（x）在x∈（0，12）时单调递减
所以（x1）-h（x2）=g（x1）>g（12）=34-In 2
即h（x1）-h（x2）>34-In 2，证明完毕
评注：题中能找到两个变元x1，x2的关系以及参数之间的关系，消去其中一个变元及参数，构造一个一元函数，利用函数单调性及最值解决问题。
以上就是解决双变元不等式常用的三种解法。构造相同结构式，齐次式，以及找变元及参数关系分离，最后都是化为一元函数问题，从而利用函数的单调性及最值加以证明不等式。这几道题也包括了函数的零点和极值点问题。证明的方法用到了分析法和综合法。平时同学们要注重培养逻辑推理以及运算能力，多积累，多总结。