在自动机理论中,因为许多证明从数学的角度看仍然不充分,所以传统的阐述往往不能令人满意。一个典型的例子就是在传统的自动机理论中,自动机的状态转换仅仅是通过转移函数来定义的,然而从数学运算角度看并不够严密。本文中自动机理论是建立在半环和线性代数的基础上的。这种方法使得相关证明更加严密且富有连续性。建立在代数理论上的证明比传统证明更令人信服,而且许多证明更加简洁。本文主要内容;1.介绍了与线性代数相关的基本知识。首先,由半环出发相继介绍了半模,序列,星,准逆和形式幂级数等概念及相关性质与等式。然后引入矩阵的概念,将半环上的性质扩展到矩阵半环上,并得到了形式幂级数矩阵半环。最后,建立形式幂级数矩阵半环中矩阵和有限自动机之间的联系。2.重点介绍了形式幂级数半环上的有限自动机。先从有限字母表上的有限自动机扩展到形式幂级数半环上的有限自动机,并且证明了半环上的有限自动机与不确定的有限自动机在识别语言上的等价性。3.列举了半环上的有限自动机在图像表示和图像压缩方面的应用。首先介绍了如何将语言和图像像素地址之间建立联系,并加入权值,从而可以表示灰度图像。然后描述加权有限自动机与多分辨率灰度图像之间的关系。最后提出一些编码算法,探讨自动机压缩图像的有效性。本文的创新之处在于:用数学的方法定义图像。它实际上是一个映射:f : [0,1]×[0,1]→R,如果R ={0,1},此时该映射描述的是黑白图像;如果R为全体实数,或者某个区间(例如[ 0,1]),此时该映射表示的是灰度图像,颜色深浅因灰度值不同而改变。