本文主要探讨了Hilbert空间上保持高维数值域的映射,套代数上的Jordan同态,套代数的Lie理想中有限秩算子的分解以及一类满足二次交换定理的非自伴算子代数.全文共分四章,具体内容如下.第一章,主要介绍了本文的研究背景,回顾了国内外学者在此之前的研究进展和所取得的一些重要成果.同时,介绍了本文所涉及的基本概念和一些常用结论,并且给出了本文的主要结论.第二章,我们研究了保持高维数值域的映射.主要结果如下：定理A设日和K是Hilbert空间,k是小于日和K的维数的正整数.若φ:B（H）→B（K）是满映射,则φ满足对所有A,B∈B（H）,Wk（AB-BA*）= Wk（φ（A）φ（B）-φ（B）φ（A）*）成立当且仅当存在实数η∈{—1,1}和酉算子U∈ B（H,K）使得对所有A∈B（H）有φ（A）=ηUAU*.定理B设日和K是Hilbert空间,k是小于H和K的维数的正整数.若φ:B（H）→B（K）是满映射,则φ满足对所有A,B∈B（H）,Wk（AB+BA）= Wk（φ（A）φ（B）+φ（B）φ（A））成立当且仅当下列之一成立：（1）存在酉算子U∈B（H,K）和常数η∈{1,-1},使得对所有A∈B（H）有φ（A）=ηUAU*;（2）存在共轭酉算子U∈B（H,K）和常数η∈{1,-1},使得对所有A∈B（H）有φ（A）=ηUA*U*.定理C设日和K是Hilbert空间,k是小于日和K的维数的正整数.若φ: B（H）→B（K）是满映射,则φ满足对所有A,B∈B（H）,Wk（AB+BA*）=wk（φ（A）φ（B）+φ（B）φ（A）*）成立当且仅当存在酉算子U∈B（H,K）和常数η∈{1,—1}使得对所有A∈B（H）有φ（A）=ηUAU*定理D设日是复可分Hilbert空间,k是大于2且小于H的维数的正整数.若φ:B（H）→B（H）是可乘映射,则φ满足对所有A∈B（H）,Wk（φ（A））=Wk（A）成立当且仅当存在酉算子U∈B（H）使得φ（A）=U,AU*.第三章,我们主要研究了套代数上的Jordan同态及套代数的Lie理想中有限秩算子的分解.证明了套代数上满的Jordan同态都是同态或者反同态.并且给出了套代数中闭的Lie理想可分解的充分必要条件.具体结果如下.定理E设H是复Hilbert空间,N1和N2是日上的套,AlgN1和AlgN2是相对应的套代数.若φ:AlgN1→AlgN2是满的Jordan同态,且存在P∈N1使得φ（P）≠0,I,则φ是同态或者反同态.定理F设N是复可分的Hilbert空间日上的套,则AlgN中每个闭的Lie理想是可分解的当且仅当N满足下列条件之一：（1）N没有有限维的原子；（2）N只有一个有限维的原子且这个原子是一维的.第四章,首先介绍了B（日）中极大交换自伴子代数的双模的连通性.在此基础上,把极大交换自伴子代数的双模写成了一些连通子空间的直和.然后,研究了B（日）中一类满足二次交换性质的非自伴算子代数.主要结果如下.定理G设M∈B（H）是masa,R=（?）iREi,Fi,i∈Ω是块闭的M-双模.若S=CI+R,则S=S"当且仅当下列条件之一成立：（1）∑iEi=I且R=（?）iREi,Ei;（2）∑iEi≠I≠∑iFi.定理H设M∈B（H）是masa,D是M的子空间,R=（?）REi,Fi,i∈Ω是块闭的M-双模.若S=D+R满足S=S",则下列条件等价.（1）∑iEi=I;（2）∑iFi=I.