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回顾由Hilbert，Hardy和其他数学家们发现的经典的不等式的同时，本文探讨了分析、数论和算子理论间的多种值得关注的联系。我们将首先应用Hilbert不等式计算各种多重的Zeta值，再利用算子理论探讨Hilbert不等式在数论中的应用，最后在用古典数学体现的数值与符号计算的相互关系的过程中，得到经典的Hilbert矩阵的范数。