椭圆方程对自然科学的发展,特别是对物理学中流体力学、弹性力学、电磁学及其它科学领域的发展起着越来越大的促进作用,在数学领域也得到越来越高的重视.基于此,本文利用变分法和临界点理论研究了几类椭圆方程,得到一系列有关变号解、无穷多个高能量解存在性和唯一性的结果,推广并改进了现有文献的相关存在性结论.所得主要结果概括如下:在第1章,介绍了变分法的发展历史和研究现状以及其众多专家学者的应用成果.与此同时我们给出了本文的结构框架、相关的理论基础以及我们常用的约定成俗的符号.在第2章,我们研究了下面一类非局部基尔霍夫型方程变号解的存在性#12其中a和b是正常数.借助于约束变分法和直接法,我们证明了变号解的存在性,并得到了变号解具有两个精确的节点域.这项工作可以看作是对某些已有文献结果的补充.在第3章,研究了下面一类带有Choquard项的非局部基尔霍夫方程#12其中a和b是正常数.借助Hardy-Littlewood-Sobolev不等式,我们证明了有界收敛（PS）c序列的存在性.联立山路定理,证明了这类非局部基尔霍夫方程的非平凡解的存在性.进一步,我们还通过Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和Brouwer拓扑度得到了至少一个能量最小的变号解.在第4章,研究了一类负系数基尔霍夫型问题非平凡解的存在性.利用狄利克雷原理和对称山路定理,得到了至少一个非平凡解、一个局部负能非平凡解和一个全局正能非平凡解的存在性.在第5章,我们研究了下面一类分数阶薛定谔-泊松系统#12其中s∈（3/4,1）,p ∈（3,5）,λ是一个正的参数.借助变分理论法,我们说明了存在δ（λ）>0,对于所有的μ∈[μ1,μ1+（δ（λ））,使得上面的分数阶薛定谔-泊松系统具有正能量的非负束缚解.这里μ1是（-△）s+V（x）的特征值.在第6章,我们考虑了一类非线性分数阶薛定谔耦合系统#12这里s∈（0,1）,N>2.在关于V（x）和F（x,u,v）的某些宽松假设条件下,利用变形喷泉定理证明了上述分数薛定谔耦合系统存在无穷多个高能量解.