【摘 要】
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整数的表示是数论和组合数学的核心问题之一,theta函数恒等式是研究整数表示的重要手段。本文主要利用theta函数恒等式研究了整数表示中的两个热点问题:整数分拆理论与整数表示成平方数与三角数之和的表示方法数。在本文中,我们利用theta函数恒等式和模形式理论证明了 Lin和Wang提出的关于分拆同余式的猜想和Sun提出的关于正整数表示成平方数与三角数之和的关系的猜想。分拆函数的同余性质是整数分拆理
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整数的表示是数论和组合数学的核心问题之一,theta函数恒等式是研究整数表示的重要手段。本文主要利用theta函数恒等式研究了整数表示中的两个热点问题:整数分拆理论与整数表示成平方数与三角数之和的表示方法数。在本文中,我们利用theta函数恒等式和模形式理论证明了 Lin和Wang提出的关于分拆同余式的猜想和Sun提出的关于正整数表示成平方数与三角数之和的关系的猜想。分拆函数的同余性质是整数分拆理论的重要研究内容之一。最近,Lin和Wang提出了两类分拆函数RG1（n）和RG2（n）,它们的生成函数是Ramanujan-Gordon恒等式的倒数。在他们的文章中,Lin和Wang建立了RG1（n）和RG2（n）模5和7的几个同余式。在其文章结尾,Lin和Wang提出四个关于RG1（n）和RG2（n）模25的同余式的猜想。在第二章中,我们将利用theta函数恒等式和Ramanujan的5阶模方程来证明这四个猜想,并且利用Newman恒等式建立了新的RG1（n）和RG2（n）模25的同余式。长期以来,整数表示成平方数和三角数之和的表示方法数受到广泛的关注。Lagrange,Gauss等人在这方面作出了杰出的贡献。令T（a1,a2,,ak;n）和N（a1,a2,,ak;n）分别表示正整数n表示成a1x1（x1+1）/2+a2x2（x2+1）/2…+akxk（xk+1）/2和a1y12+a2y22+…+akyk2的表示方法数,其中 a1,a2,,ak是正整数,n,x1,x2,,xk是非负整数,y1,y2,,yk是整数。最近,Sun发现了许多T（a1,a2,,ak;n）和N（a1,a2,,ak;n）之间的关系,并且提出大量的猜想。在第三章和第四章中,我们将分别利用theta函数恒等式以及Frye和Garvan编写的基于模形式理论的Maple软件包thetaids来证明这些猜想。
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