自数论发展以来，各国数学家一直非常关注素数相关性质的研究，许多学者对此进行了深入的研究与探索，得到了很多具有重要意义的结论.法国数学家费马曾猜想所有形如Fn=22n+1的数都是素数，我们称这些数为费马数，由此引发了数论学者们对费马数相关性质的研究.另外关于各种数论函数的性质的研究也一直是数论研究的核心内容.　　 基于以上原因，本文针对费马数和Smarandache函数的相关问题，利用初等和解析方法对Smarandache函数和费马数复合后的函数S(Fn)进行研究，给出了它的下界估计；并对三个关于Gauss函数的不定方程分别进行了可解性分析；最后，研究了一个包含Smarandache函数和伪Smarandache函数的方程的可解性问题.具体来说，本文的主要成果有以下几方面：　　 1.给出了一个新的函数S(Fn)，利用对Fn进行分类讨论的方法研究它的性质，给出了对任意正整数n≥3，函数S(Fn)的下界为8·2n+1.　　 2.利用Gauss函数的性质分别研究了方程(1)xy-[x]y=x；(2)xy-[x]y=y；(3)x[y]-y[x]=|x-y|的可解性.　　 3.探讨了一个关于伪Smarandache函数Z(n)的方程S(Z(n)=Z(S(n))的可解性问题，分别给出了n=p，n=2p，n=3p和n=p1p2…pk，2＜p1＜p2＜…＜pk四种情况时方程的解.