【摘 要】
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图的结构刻画和相关不变量问题是图论和代数组合的重要研究课题,在图的染色、图的谱刻画、极值图论等方面起着重要的作用.相关问题在计算机科学、理论物理、化学图论以及量子计算等许多科学领域中也有着广泛的应用.本论文主要涉及两个方面的问题.一方面是直径为2的极大平面图（简记为MP2-图）的结构刻画及其性质研究,包括MP2-图的顶点数和泛圈性的研究;另一方面是图的一些相关不变量研究,主要包括图的算术-几何指标
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图的结构刻画和相关不变量问题是图论和代数组合的重要研究课题,在图的染色、图的谱刻画、极值图论等方面起着重要的作用.相关问题在计算机科学、理论物理、化学图论以及量子计算等许多科学领域中也有着广泛的应用.本论文主要涉及两个方面的问题.一方面是直径为2的极大平面图（简记为MP2-图）的结构刻画及其性质研究,包括MP2-图的顶点数和泛圈性的研究;另一方面是图的一些相关不变量研究,主要包括图的算术-几何指标（AG指标）、图的拟拉普拉斯能量LEL和关联能量IE、图的Q-生成函数等.全文共分为四章.第一章是绪论.主要介绍本文涉及的一些基本概念和符号,以及相关问题的课题背景和研究现状.同时,也简要概述本文的主要结果.第二章研究直径为2平面图的结构与性质.首先,刻画了 non-universal MP2-图的结构.其次,在结构刻画的基础上,研究了所有的MP2-图的泛圈性并给出了所有的MP2-图的顶点个数与最大度之间的关系式,改进了 Seyffarth[73]的结果.第三章研究图的算术-几何指标问题.首先,研究MP2-图的AG指标的极值问题.在最小度为4的MP2-图中,得到了其AG指标达到最大和最小的极值图类.其次,在MP2-图的AG指标研究的基础上,给出了一般图的AG指标的一些上下界及其达到界的极值图,也研究了这类指标与图的其它拓扑指标之间的关系.最后,讨论边的删除对图的几何-算术指标（GA指标）和AG指标的影响,得到了这两类指标的Bollobas-Erdos-型定理的新形式,改进了文[10]中的相关结果.第四章研究与图的谱密切相关的不变量.包括图的拟拉普拉斯能量,关联能量,图的Q-生成函数WQ（t）及一个新不变量Q-corocal等.主要给出了正则图的R-图和Q-图的拟拉普拉斯能量LEL和关联能量IE的新上下界估计式,改进了 Pirzada等人在[67]中得到的几个结果.同时,给出了半正则图的线图的LEL和IE的新下界.证明了图的Q-生成函数WQ（t）可以由图及其补图的Q-多项式来表示.得到了图的Q-corocal的组合表达式,并给出了文[11]中有关冠图和边冠图的Q-多项式的新表示形式.也讨论了联图和完全多部图的Q-corocal和Q-生成函数.
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