本篇硕士论文研究了一些具有临界指数的椭圆型偏微分方程. 在第二章我们首先考虑下面的具Sobolev临界指数的拟线性方程-△pu=αk(x)|u|p-2u+βh(x)|u|p*-2u，u∈D1,p(RN)，(1)其中α，β为正参数，k(x)＞Oa.e.于RN，k(x)∈Lp*/(p*-p)(RN)∩L∞(RN)，h(x)∈L∞(RN)且h(x)≥h0＞0.我们证明了在一定条件下，方程(1)具有任意多解. 在第三章我们研究下面的具Hardy-Sobolev临界指数的奇异椭圆方程{-△pu=μ|μ|p*(s)-2u/|x|s+f(x,u),xε∈Ω，(2)u=0，x∈(e)Ω，其中f(x，τ)：Ω×R→R是Carathéodry函数，它是次临界增长的，且关于τ是奇函数.结合Lions集中紧性原则，我们证明了问题(2)对应的能量泛函满足局部(PS)条件，从而利用Ambrosetti-Rabinowitz的对称山路引理证明了方程(2)多解的存在性. 在第四章我们讨论的是奇异摄动问题{-εp△pu+V(x)up-1=λuq+up*-11，在RN中，(3)u∈C1,aloc(RN)∩W1,p(RN),u＞0,在RN中,其中V(x)∈C1(RN，R)满足0＜infx∈RNV(x)＜lim|x|→∞infV(x)=V∞.我们研究了问题(3)最小能量解的存在性，当ε→0时解的集中性质，以及在一定条件下(3)相对应的Schrodinger方程iε(e)ψ/(e)t=-ε2△Ψ+(V(x)+E)ψ-|ψ|-1h(|ψ|)ψ，在RN中，(Sε)存在以任意正数T为周期的解.