2003年9月，芝加哥期权交易所(CBOE)推出了全新的波动率指数(VIX)计算公式，使其可以更加真实地反映标准普尔500指数期权交易的市场30天隐含波动率水平。2004年3月，CBOE专门成立了一家独立的期货交易所CFE开始交易VIX期货，在同年举行的“指数化超级碗会议”上，VIX期货合约获得“最具创新力的指数衍生品奖”，从而迅速被市场所接受。2006年2月，CBOE推出了VIX期权。VIX期权一经推出，就成为了CBOE历史上最为成功的衍生产品。许多专业投资者发现VIX期权的对冲效果在大多数时候超过了其他指数期权产品，因此，在CBOE推出VIX期权之后的几年里，其每日交易量迅速增加。特别是2008年美国金融危机之时，标普指数和VIX指数呈现出来的高度的负相关性，使得许多市场投资者认识到:投资基于VIX的衍生品，能够很好地对冲市场波动风险。当遇到大事件（例如金融危机）时，投资者面临的市场下行的风险可以利用VIX与标普指数的高负相关性进行对冲。正是如此，在次贷危机之后，VIX期货和期权受到了越来越多投资机构的关注，市场交易量增加十分显著。　　虽然VIX取得了很大的成功，为市场提供了有效的投资与对冲工具，但是诸如共同基金和养老基金的金融机构由于监管要求不能投资期货与期权类产品，VIX期货和期权仍然不能为他们所用。因此，巴克莱银行于2009年初创新性地推出了债券属性的波动率产品:VXX。VXX指数虽然跟踪了VIX期货的市场表现，但发行方的违约风险也同时存在。在2010年5月末，巴克莱银行又推出了基于VXX的期权产品，从而丰富了金融机构的投资与对冲工具。作为市场对冲和交易的工具，VXX期权迅速得到了共同基金等金融机构的认可，并成为芝加哥期权交易所交易非常活跃的期权之一。　　本文从随机波动率建模角度出发，一方面基于标准普尔500指数和波动率指数之间的内在关系，首先假设S&P500指数满足一定的随机波动率模型，并通过这种内在关系，刻画出VIX指数的随机波动率模型，从而对其衍生品进行定价。另一方面，本文为了保留VIX和VXX作为波动率指数的一些统计特征:均值回复性质（Mean-reversion）、跳(Jump)、随机波动率(Stochastic Volatility)、厚尾性(Fat Tail)和偏斜(Skewness)等，直接假设波动率指数满足一定的随机波动率模型，并通过对VIX和VXX衍生品的到期支付求条件期望，得到了一个比较简洁的定价公式，从而提高了定价精度和校准效率。　　本文提出了三个随机波动率模型。第一个模型是马氏调制的状态转换随机波动率模型。在Heston随机波动率模型的基础上，本文考虑了模型参数跟宏观经济状态有关，其状态方程满足连续时间的马尔科夫链过程。通过对VIX衍生品到期支付求条件期望，得到了VIX看涨期权的定价公式。与传统的随机波动率模型相比，本文的模型考虑了市场中存在的潜在的经济状态变换的风险暴露，并在期权模型价格中给予了其溢价补偿。　　第二个模型是3/2跳扩散随机波动率模型。波动率指数的建模需要考虑很多市场上的统计特征，包括均值回复以及厚尾性等等，而马氏调制的随机波动率模型不能完全将这些统计特征考虑进去。因此，本文提出了一个更为复杂的随机波动率模型:3/2跳扩散随机波动率模型。此模型不仅仅准确的描述了波动率指数的市场特征，更重要的是，本文推导出的VIX期权定价公式可以使得其深度虚值期权的定价误差大大减小，同时模型价格的隐含波动率曲线也很好的拟合了市场中存在的偏斜现象。另外，模型中的跳跃幅度满足双指数分布这一假设，非常好的刻画了VIX指数的双向跳跃特征。　　第三个模型是带违约风险的3/2跳扩散随机波动率模型。由于VXX是由巴克莱银行发行的ETN产品，本身包含了巴克莱银行的信用违约风险。在金融危机之后，随着雷曼兄弟和AIG这样的超级金融机构相继倒闭，传统的“大而不倒”的观念已完全被颠覆，任何债权人都有可能发生违约。因此，本文在对VXX建模过程中，特别考虑了巴克莱银行的违约风险。同时，为了使得违约因子能够与随机波动率因子很好的结合，本文提出了将Jump-to-Default违约模型与3/2跳扩散随机波动率模型结合起来对VXX进行建模，并通过特征函数法，得到了VXX期权的半显式定价公式。　　最后，本文还用数值方法比较分析了3个模型各自的优点。对于马氏调制的状态转换随机波动率模型，本文对得到的定价公式进行了蒙特卡洛试验，并把结果和传统的Heston随机波动率模型进行比较，发现在定价模型中加入了马尔科夫链这一控制过程后，模型得出的期权价格相对较高，以补偿模型假设中存在的状态变换的风险暴露。对于3/2跳扩散随机波动率模型，本文使用了VIX期权市场的数据进行参数校准和实证分析，发现模型不仅可以提高深度虚值的期权模型价格定价误差，同时还能产生VIX期权的正向隐含波动率偏斜。对于VXX的带违约风险的波动率建模，本文也使用了VXX期权市场的数据进行参数校准，并且发现模型具有良好的定价效果，也可以产生VXX期权市场中存在的正向波动率偏斜现象。