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在这篇论文中主要研究乘积流形(S)n×(S)和(H)n×(S)中具有常截面曲率的超曲面.全文分为四章.
在第一章中首先介绍超曲面的研究背景;其次,我们给出了乘积流形中的一些相关知识;最后,提出本文所要讨论的问题.
在第二章里着重讨论低维乘积空间(S)n×(S)和(H)2×(S)中完备旋转曲面.采用Codazzi对[22]的概念及与其相关的全纯二次形式的存在性的思想证明:给定常数K>1+ε/2,则除相差一个等距变换外,(Q)2ε×(S)中存在唯一的完备旋转曲面以常值K为高斯曲率.当ε=1时,曲面的参数方程由定理2.2.3给出;当ε=-1时,曲面的参数方程由定理2.2.1给出.又由曲面的完备性,我们得到:(Q)2×(S)中不存在以给定K<-1为高斯曲率的完备旋转曲面.
在第三章里重点讨论低维乘积空间(S)2×(S)和(H)2×(S)中的常角曲面,这类曲面的单位法向量场与(S)的切方向成定角.我们采用可积性理论,得到一个分类定理:
定理3.3.1设ψ:M2→(Q)2ε×(S)是一个浸入,那么ψ具有常角θ∈[0,π/2](<=>)存在M2上的一个局部坐标系(u,u)和(Q)2ε上的一条曲线,γ(||γ||=1)使得ψ(u,u)=(Cε(u cosθ)γ(u)+Sε(u cosθ)γ(ν)×γ(ν),cos(u sinθ),sin(u sinθ)),其中,
Cε(·)={cos(·)ε＝1 cosh(·)ε＝－1,Sε(·)={sin(·)ε=1 sinh(·)ε=-1
在第四章中主要讨论高维乘积空间(S)n×(S)和(H)n×(S)中具有常截面曲率的超曲面.我们得到如下定理:
定理4.4.1设ψ:MnK→(S)n×(S)和(n≥4)是具有常截面曲率K的等距浸入超曲面,那么K≥1.此时,
(ⅰ)若K=1,则ψ(Mn1)是(S)n×{s0}(s0∈(S))的一个开子集;(ⅱ)若K>1,则ψ(MnK)是旋转曲面的一部分,其参数方程由定理4.2.2给出.
定理4.4.2设ψ:MnK→(H)×(S)(n≥4)是具有常截面曲率K的等距浸入超曲面,那么K≥-1.此时,(ⅰ)若K=-1,则ψ(Mn-1)是(H)n×{s0}(s0∈(S))的一个开子集;
(ⅱ)若K∈(-1,0),则ψ(MnK)可以是旋转曲面的一部分,其方程由定理4.2.1之(ⅱ)给出;
(ⅲ)若K=0,则
(α)ψ(Mn0)是Mn-10×(S)的一个开子集,其中Mn-10是(H)n的超曲面;
(b)ψ(Mn0)是旋转曲面的一部分,其参数方程由定理4.2.1之(ⅲ)-a给出;
(ⅳ)若K>0,则ψ(MnK)是球型旋转曲面的开子集,其参数方程有定理4.2.1之(ⅳ)给出.