【摘 要】
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本文主要研究了两个方面的问题:一是Bihari不等式(参看[7])在多参数情形的推广;二是关于由多参数Brown运动驱动的非Lipschitz随机微分方程解的存在唯一性,同时我们研究了两种
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本文主要研究了两个方面的问题:一是Bihari不等式(参看[7])在多参数情形的推广;二是关于由多参数Brown运动驱动的非Lipschitz随机微分方程解的存在唯一性,同时我们研究了两种离散化模型,得到了它们的L2收敛速度.
首先,我们介绍了关于平面上随机积分的一些结果,这是后续部分主要结果的预备知识.接下来,我们考虑如下由W2驱动的随机微分方程:
dXz=ó(Xz)dWz+b(Xz)dz, (1)当z∈@Rd+时,Xz=x ∈ Rn,,其中W是m维d参数Brown运动.ó(x):Rn→RnxRm和b(x):Rn→Rn是连续函数.
在本文中我们要证明方程(1)在某种非Lipschitz条件下解的存在唯一性,对单参数或两参数的非Lipschitz条件下的随机微分方程都基于Itǒ公式.当d≥3时, Itǒ公式的形式相当复杂,为了避免使用Itǒ公式,我们先将Bihari不等式推广到多参数情形.
有了这个推广,方程(1)的解的存在唯一性很容易由逐次逼近得到.我们将证明:定理1令t:R+→R+是连续非降凹函数,满足t(0)=0,且∫01/р(x)dx=+∞.
假设:∣ó(x)- ó(y)∣2+∣b(x)-b(y)∣2≤p(∣x-y∣2).
则方程(1)存在唯一连续F2适应解,记为{Xzz=T}.其中F2:=ó{Wz,z=z}.
另一方面,为了作数值计算,我们通常对方程(1)离散化.这里我们讨论两种离散模型,一种类似于单参数情形的欧拉模型,另一种我们离散多参数Brown运动.分别得到了它们的L2收敛速度.
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