有限元方法是一种求解偏微分方程的数值方法，它在飞机结构特性分析中的成功应用使得其一经提出就受到人们的热捧，随后很快被应用于土木、桥梁、机械等几乎所有的科学研究领域和工程技术领域。但是用CAD设计的几何模型需要进行网格化才能用于有限元分析，网格化在整个有限元分析中占据了大量时间，成为制约有限元分析发展的重要因素。针对这个问题，T.J.R.Hughes等人于2005年提出了基于NURBS的等几何分析的概念，即将模型设计的基函数直接用于CAE分析，成功地避免了网格化的过程，做到了CAD和CAE的无缝融合。随着3D技术的日臻成熟，几何模型也变得越来越复杂，等几何分析面临着两大挑战:一是NURBS的张量积结构使得控制顶点必须位于张量积网格上，导致大量冗余的控制点出现，这就迫使人们着手寻找能够进行局部加细的网格及其上的样条空间的定义;二是等几何分析中几何区域的参数化质量一定程度上影响着数值计算的精度和效率，寻找好的参数化或者无需参数化的方法成为等几何分析研究的一个热点。本文就是针对等几何分析面临的这两大挑战进行相关的研究。　　在众多的具有局部操作能力的样条（T样条、层次B样条、LR样条，PHT样条等）中，T样条、层次B样条、LR样条定义的思路都是先寻找网格上的一组函数，然后再研究这组函数是否能满足一些好的性质，比如线性无关性和一些逼近性质。而PHT样条是从样条空间的角度出发，先研究该样条空间的维数，再构造其上的基函数，因此PHT样条自然地满足线性无关性和完备性。但是PHT样条也存在一些问题，比如维数增长过快（特别是在三维空间中），这是由于PHT样条的光滑度相对于样条次数较小的缘故，因此研究较高光滑度的样条成为T网格上多项式样条研究的一个方向。在本文第3章中我们给出了层次T网格上双二次一阶光滑的样条空间的一组基函数，该组基函数中的每个函数都是张量积B样条。为了构造更适合于几何造型的基函数，我们将这组基函数进行简单的线性变换得到了一组新的具有单位剖分性的基函数，并将这组新的基函数用于曲面拟合和偏微分方程求解中，得到了较好的结果。　　等几何分析避免了有限元分析中网格化的过程，为此付出的代价就是需要进行几何区域的参数化。参数化在等几何分析中的地位如同网格化在有限元中的地位一样重要。通常所用的参数化方法是用调和映射或者最优化算法将几何区域映射到一个规则的四边形区域上。但是上述方法都是全局的参数化方法，对于复杂的区域，全局的参数化方法很容易产生奇异点。于是有学者提出了基于骨架的区域剖分构造局部的参数化方法，但是此方法一方面需要人为地设定区域剖分的片数，另一方面每个子区域的参数化还是定义在规则的四边形区域上的，并不能避免参数化中的奇异点的存在。本文的第4章，我们尝试将几何区域参数化到一个多边形区域上，而非通常的四边形区域上。多边形参数区域的选择依赖于几何区域边界NURBS段的个数，针对NURBS段的个数大于等于三的几何区域，我们给出了一种参数化方法，实验结果表明我们所给的参数化方法确实不存在奇异点。但是第4章给出的参数化方法对特别复杂的例子是否有效还有待进一步验证。　　在等几何分析中，诸如圆盘、球体等一些最常见的模型的参数化是很复杂的，但它们的隐式表示却是很简单的，因此我们就考虑能否用隐式表示代替参数表示来描述等几何分析中的计算区域。这一想法与另一种无网格化的PDE求解方法（WEB方法）不谋而合，WEB方法就是用隐式方程来表示的几何，只是它所用的隐式函数通常是R函数或者距离函数。本文的第5章，我们就将隐式表示引入到等几何分析中，用隐式样条表示代替参数表示来描述几何区域，并借助WEB样条的思想构造具有局部细分能力的带权的拓展PHT样条作为基函数进行偏微分方程求解，成功地避免了等几何分析中参数化的过程，并且初步的实验结果表明我们的方法是可行的。