本学位论文提出并分析了一种求解界面问题的一致网格方法。首先，本文以泊松界面问题为例给出了该算法的基本思想。通过在界面附近构造一个新的分片多项式函数，得到一个界面与网格的边界一致的扩展界面问题。然后，采用杂交间断伽略金有限元方法(HDG)来求解该扩展问题，通过合理地选择数值通量，解在单元边界上的跳跃被自然地引入到了数值格式当中。与现有的方法相比，该方法构造的分片多项式函数是通过一个巧妙的二次Hermite多项式插值，外加一个标准的拉格朗日多项式插值的后处理得到。上述显式构造的多项式能够准确地捕捉到界面上的跳跃信息，而且存在唯一，并以3阶精度逼近原问题精确解的间断部分，更重要的是它与界面的形状及位置无关。另外，它使得扩展界面问题的解具有较高的正则性，从而保证了我们得以用HDG方法高精度求解。最后证明了该方法在L2范数意义下，其精确解及梯度均具有二阶收敛精度。文中涉及各种复杂界面椭圆问题的数值例子也验证了该算法的稳定性及收敛性。　　基于求解泊松界面问题的成功经验，本文随后研究了抛物界面问题，并重点考虑了移动界面情形。由于界面的位置和形状随着时间不断变化，因此需要在每一个时刻构造逼近解的间断部分的高精度分片多项式，在此基础上，它将原问题转化成界面与网格的边界重合的扩展界面问题。之后，利用HDG方法对扩展界面问题进行空间离散。通过合理设计数值通量，解在单元边界上的跳跃被自然地引入到了数值格式当中，从而保证了离散格式的二阶收敛精度。在时间方向，本文采用经典的向后欧拉格式进行离散，以保证全离散格式的数值稳定性。值得指出的是，每一时刻构造解的间断部分的分片多项式逼近的方法是不变的，只是界面的位置以及界面上的跳跃条件发生了变化，而这种变化只会对每一步要求解的线性方程组的右端产生影响，并不会改变线性方程组的系数矩阵。因此，在计算时只需要在第一个时间步完成对线性方程组系数矩阵的计算和组装，在后面所有时间步，只需要反复使用已经组装好的系数矩阵，从而大幅度提高了算法的计算效率。大量数值实验表明，在笛卡尔网格下，随着界面的移动，该方法不仅稳定，而且能够保证解及其梯度在L2范数意义下具有二阶收敛精度。　　在对泊松界面问题的研究中，出于理论分析的考虑，只讨论了带有形如[▽u·n]仿射跳跃条件的界面问题。为了处理更一般的带间断系数的界面问题，本文引进一种迭代技巧。通过该迭代技巧，一般的带有间断系数的界面问题的解，可以被一系列带有简单仿射跳跃条件的界面问题的解逼近，并且只要选取适当的收敛因子即可保证这种迭代法的收敛性。因此我们只需对这一系列逼近问题采用本文所提出的数值方法就可以实现对一般界面问题的高精度求解。与移动界面问题的求解类似，每一个逼近的界面问题，需要根据其解所满足的跳跃条件构造相应的解的间断部分的分片多项式逼近。为了验证算法的有效性，我们考察了圆环区域上带有一阶吸收边界条件的Helmholtz界面问题。数值实验表明，在拟一致网格下，该数值方法不仅稳定，而且解及其梯度在L2范数的意义下皆具有二阶收敛精度。