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本文分为两个部分.第一部分，利用Bismut-Lebeau解析局部化技巧，我们给出了紧致无边流形上的等变退化的Morse不等式.作为这个不等式的一个应用，我们得到了紧致带边流形上退化的Morse不等式.第二部分，我们考虑与非退化线丛的多重张量积相关联的Hodge-Dolbeault算子.利用Ma-Marinescu发展起来的形式级数的办法，我们计算出了这个Hodge-Dolbeault算子的Bergman核的渐近展开式的第二项系数.