【摘 要】
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众所周知,共轭梯度法由于其结构简单、存储量小等特点,在工程问题、金融模型等许多实际领域中得到了广泛的应用.然而,对共轭梯度法的研究仍存在一些具有挑战的问题,如所有共轭梯度方法的下降性、非凸函数的全局收敛性、Dai-Liao型共轭参数的最优选取等.因此研究共轭梯度法的理论性质和数值结果具有重要的理论意义和实际应用价值.共轭梯度法的共轭条件、充分下降性和极小化条件数是加速实际计算的三个重要因素.因此,
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众所周知,共轭梯度法由于其结构简单、存储量小等特点,在工程问题、金融模型等许多实际领域中得到了广泛的应用.然而,对共轭梯度法的研究仍存在一些具有挑战的问题,如所有共轭梯度方法的下降性、非凸函数的全局收敛性、Dai-Liao型共轭参数的最优选取等.因此研究共轭梯度法的理论性质和数值结果具有重要的理论意义和实际应用价值.共轭梯度法的共轭条件、充分下降性和极小化条件数是加速实际计算的三个重要因素.因此,为了得到高效、鲁棒的共轭梯度法,本文从方法的充分下降性、全局收敛性和计算效率等几个角度来考虑.在已有的非线性共轭梯度法的基础上,提出了两类满足充分下降性且计算效果较好的共轭梯度法.第一章介绍了非线性共轭梯度法的研究背景和一些预备知识,包括共轭梯度法的两个重要假设和一个重要引理,最后介绍了本文的主要工作.第二章阐述非线性共轭梯度法的一些相关研究现状,主要包括经典共轭梯度法和谱共轭梯度法的相关研究.第三章基于Andrei对自调比无记忆BFGS方法中调比参数的研究,本章提出了一种确定DK族共轭梯度法中调比参数的自适应方法.首先将DK方法的搜索方向矩阵对称化,然后最小化搜索方向矩阵特征值之间的距离,再根据行列式与特征值的关系得到一个自适应选取的调比参数,推导出了DDK方法及截断形式的DDK+方法.理论证明了这两种方法是充分下降的,在强Wolfe线搜索下DDK方法对一致凸函数强收敛,DDK+方法对一般函数是全局收敛的.数值实验采用比值法和性能曲线图进行比较,从中可以直观看出DDK+方法是有效的.第四章基于用谱参数使共轭梯度法满足充分下降性的思想启发,用谱参数对第三章的DDK方法做出修正得到MDDK方法.证明了MDDK方法不依赖线搜索具有充分下降性,并且在强Wolfe线搜索下对一致凸函数强收敛.数值实验结果表明MDDK方法明显优于其他几类方法.
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