测度链上微分方程边值问题正解的存在性引起了人们的重视。但大多数都是在非奇异的情况下研究正解的存在性。测度链上奇异微分方程边值问题正解的存在性，研究的人较少，相应的文献也要少的多.由于实际的需要，进一步研究测度链上奇异非线性微分方程边值问题就具有其内在价值. 二阶多点边值问题正解的存在性，已有许多人进行了研究。但大多数都要求非线性项满足次线性或超线性的条件。本文通过相应线性问题的第一特征值建立了其正解的存在性和多解性定理。 人们对带有凹凸性的算子作了深入研究，获得了不动点的存在性、唯一和迭代收敛性这样好的结果。但是这些结果大多都可以化为α凹算子和-α凸算子来处理。人们对α凸算子和-α凹算子研究的较少，究其原因α凸算子和-α凹算子刻划的是超线性问题。最近文[22,23,24]对这一类算子作了研究，但是仅限于齐次的情形.我们有必要进一步进行研究. 本文利用锥理论，不动点理论，Krasnoselskii不动点定理，上下解等方法研究了二阶微分方程边值问题解的存在性和多解性以及抽象空间方程问题解的存在性，得到了一些新成果.根据内容本文分为四章. 本文第一章中，利用Krasnonelskiis不动点定理，研究了测度链上奇异微分方程边值问题 u△△+m(t)f(u(σ(t)))=0，t∈[0，1](1.1.1)u(0)=0=u(σ(1))(1.1.2)u(0)=0=u△(σ(1))(1.1.3)正解的存在性. 主要结论：定理1.3.1假设(H1)-(H3)成立且满足下列条件，u→+0liminff(u)/u＞λ1(1.3.1)u→+∞limsupf(u)/u＜λ1(1.3.2)其中λ1为T的第一特征值，则边值问题(1.1.1)和(1.1.2)至少有一个正解. 定理1.3.2假设(H1)-(H3)成立且满足下列条件，u→+0limsupf(u)/u＜λ1(1.3.6)u→+∞liminff(u)/u＞λ1(1.3.7)其中λ1为T的第一特征值，则边值问题(1.1.1)和(1.1.2)至少有一个正解. 定理1.4.1假设(H1)-(H3)成立且满足下列条件，u→+0liminff(u)/u＞λ1u→+∞limsupf(u)/u＜λ1其中λ1为T的第一特征值，则边值问题(1.1.1)和(1.1.3)至少有一个正解. 定理1.4.2假设(H1)-(H3)成立且满足下列条件，u→+0limsupf(u)/u＜λ1u→+∞liminff(u)/u＞λ1其中λ1为T的第一特征值，则边值问题(1.1.1)和(1.1.3)至少有一个正解. 本文第二章中，利用Krasnonelskiis不动点定理，结合Leray-Schauder度，研究了二阶多点边值问题{u"(t)+f(t,u(t))=0t∈[0,]1u(0)=0u(1)=m-2∑i=1aiu(ξi)(2.1.1)其中ξi∈(0，1)满足0＜ξ1＜ξ2＜…＜ξm-2＜1αi∈[0，+∞)(i=1，2，…m-2)且0＜m-2∑i=1ai＜1；f∈c([0，1]×[0，+∞)，[0，+∞))正解的存在性 主要结论：定理2.3.1若下列条件之一满足，(Ⅰ)limu→+0supmaxt∈[0,1]f(t,u)/u＜λ1且limu→+∞infmint∈[0,1]f(t,u)/u＞λ1 (Ⅱ)ulimu→+∞supmaxt∈[0,1]f(t,u)/u＜λ1且limu→+0infmint∈[0,1]f(t,u)/u＞λ1则边值问题(2.1.1)至少有一个正解.推论2.3.1若下列条件之一满足， (Ⅰ)limu→+0supmaxt∈[0,1]f(t,u)/u=0且limu→+∞infmint∈[0,1]f(t,u)/u=+∞ (Ⅱ)limu→+∞supmaxt∈[0,1]f(t,u)/u=0且limu→+0infmint∈[0,1]f(t,u)/u=+∞ 则边值问题(2.1.1)至少有一个正解.如果记φ(l)=max{f(t，c)∶0≤t≤1，0≤c≤l}，ψ(l)=min{f(t，c)∶μ≤t≤v，γl≤c≤l}. 其中ξm-2≤μ＜v≤1为常数. A(1/m-21-∑i=1ai∫10(1-s)ds),B=(γ/m-21-∑i=1ai∫vμ(1-s)ds).显然，0＜A＜B.则有下面定理定理2.4.1如查limu→+0infmint∈[0,1]f(t,u)/u＞λ1，limu→+∞infmint∈[0,1]f(t,u)/u＞λ1且存在正数a，使得，φ(a)≤aA，则边值问题(2.1.1)至少有两个正解. 定理2.4.2如果limu→+0supmaxt∈[0,1]f(t,u)/u＜λ1,limu→+∞supmaxt∈[0,1]f(t,u)/u＜λ1且存在正数b，使得，ψ(b)≥bB，则边值问题(2.1.1)至少有两个正解. 本文第三章中通过构造一个特殊的锥，利用锥拉伸与压缩不动点定理，对-α凹算子(α＞0)正不动点的存在性做了研究，并将结果应用到超线性Hammerstein积分方程. 设E是实Banach空间，θ表示E中零元素，P是E中的锥，P+=P/θ. 由P在E中引入半序”≤”. 主要结论：定理3.2.1设(H1)Ei(i=1，2)为序Banach空间，Pi是Ei中的锥.P1是正规的，E1中的单位球有最大元 (H2)算子F∶P1→P2是单调减少的-α凹算子(α＞0)，当x≠θ时有Fx＞θ. (H3)算子B∶P2→P1是线性的，当x≠θ时有Bx＞θ.存在e∈P1+和实数ε0＞0使Bx≥ε0‖x‖e，(V)x∈P2+(3.2.1) (H4)算子A=BF是全连续算子.则A存在正不动点.定理3.2.2设E是实Banach空间，P是E中的正规锥，A∶P→P是-α凹的全连续算子(α＞0)，且sup{||Ax‖∶||x|=1}＜∞，inf{||Ax‖∶||x=1}＞0则A在P中至少有一个正不动点. 推论3.3.1设(H1)Ei(i=1，2)为序Banach空间，Pi是Ei中的正规锥.P1还是体锥，E1中的单位球有最大元(H2)算子F∶P1→P2是单调减少的连续的-α凹算子(α＞0)，当x≠θ时有Fx＞θ. (Hs)算子B∶P2→P1是线性全连续的，当x≠θ时有Bx＞θ.且存在e∈P1+和实数∈0＞0使(3.2.1)式成立. 则算子A=BF存在正不动点.定理3.4.1设存在正数η和G上不恒为零的非负连续函数e(x)，使得ηe(x)e(y)≤K(x，y)≤e(x)，(V)x，y∈G(3.4.2)ai(x)在G上非负可测，αi＞0，i=1，2…n，本性下确界essinfx∈G∑ni=1ai(t)＞0∫Ge(x)n∑i=1ai(x)dx＜+∞则积分方程(3.4.1)有连续的正解. 本文第四章中利用迭代求解的方法，得到了一类非线性算子方程的不动点定理，并把它应用到抽象空间积分方程求解过程中. 主要结论：定理4.2.1设E是实Banach空间，P是E中的正规锥，u0∈E，D={u∈E|u≥u0}，A∶D→E，设存在有界线性正算子T，L∶E→E使得-T(x2-x1)≤Ax2-Ax1≤L(x2-x1)，(4.2.1)任意x1，x2∈D且x1≤x2，若下列条件满足(i)u0≤Au0(ii)(I+T)x≥θ=>x∈P(iii)TL=LT且线性算子T，L的谱半径满足r(T)＜1，r(L)+r(T)＜inf{|λ|∶λ∈σ(I+T)}则A在D中具有唯一不动点u*，并且对任何x0∈D有xn→u*(n→∞)，这里xn=(I+T)-1(Axn-1+Txn-1)，(n=1，2…)，且对任给的δ，inf{|λ|∶λ∈σ(I+T)}＜δ＜1存在n0，当n≥n0时，有下面的误差估计‖xn-u*‖≤Nδn‖x0-u0‖+1Nδnδ‖u1-u0‖定理4.2.2设E是实Banach空间，P是E中的正规锥，v0∈E,D={u∈E|u≤u0}，A∶D→E，设存在有界线性正算子T，L∶E→E使得-T(x2-x1)≤Ax2-Ax1≤L(x2-x1)，任意x1，x2∈D且x1≤x2，若下列条件满足(i)Av0≤v0(ii)(I+T)x≥θ=>x∈P(iii)TL=LT且线性算子T，L的谱半径满足r(T)＜1，r(L)+r(T)＜inf{|λ|∶λ∈σ(I+T)}则A在D中具有唯一不动点v*，并且对任何x0∈D有xn→v*(n→∞)，这里xn=(I+T)-1(Axn-1+Txn-1)，(n=1，2…)，且对任给的δ，r(L)+r(T)/inf{|λ|:λ∈σ(I+T)＜δ＜1存在n0，当n≥n0时，有下面的误差估计‖xn-v*‖≤Nδn‖x0-v0‖+1Nδnδ‖v1-v0‖推论4.2.1若将条件(4.2.1)改为-M(x2-x1)≤Ax2-Ax1≤L(x2-x1)，任意x1，x2∈D且x1≤x2，其中M≥0为常数，L∶E→E有界线性正算子，且r(T)＜1则定理4.2.1，定理4.2.2的结论仍然成立。 注：容易验证定理4.2.1和定理4.2.2中条件(iii)满足推论4.2.2若将推论1中的条件r(T)＜1该为‖L‖＜1其它条件不变则，结论仍然成立