在半群理论中，研究半群的扩张是一类非常重要的问题，而平移壳和共轭壳是研究这类问题的非常重要和有效的工具．Petrich在1980年的文章[9]中首先研究了逆半群的共轭壳，从而获得了逆半群的极大的本质的共轭和正规扩张．而后，Petrich又在1982年的文章[10]中继续系统地研究了逆半群的正规壳，并具体给出了双单ω-半群的正规壳的结构．1983年，Petrich和Reilly又研究了完全单半群的正规壳，并获得了完全单半群的极大的本质的正规扩张．之后，又有其他学者对某些特殊的逆半群的共轭壳进行了研究．例如，张谋成等刻画了Brandt半群和Clifford半群的共轭壳的结构． 本文的第一部分的工作是，先根据逆半群的共轭壳的定义，利用两个E-酉逆半群之间的同构定理刻画了E-酉逆半群的共轭壳的结构，然后部分地解决了Petrich在其名著<<逆半群>>中提出的一个公开问题．因为E-酉逆半群是一类非常重要的逆半群，即所有的逆半群都是某一E-酉逆半群的同态象，所以我们在很大程度上回答了Petrich的问题．本文的第二部分的工作是，探讨了逆半群的基本矩形带的共轭壳，刻画了若干共轭壳，正规壳与逆半群的基本矩形带的内在联系，最后得到逆半群的基本矩形带的极大的本质的正规扩张，从而推广了Petrich和Reilly关于完全单半群的正规壳的结果．