本文主要介绍了有重叠的情况下线性迭代函数系统的性质，并将相关结论具体应用到正方形的例子中。全文围绕Sidorov2007年发表的有重叠的线性迭代函数系统展开，共分为两个部分。　　第一部分主要介绍了Sidorov论文中与有重叠的线性迭代函数系统的相关理论。首先介绍了一维情况下此处为公式的某些性质以及它们与参数a的关系，发现当a∈(0,1/2]时，吸引子此处为公式满足开集条件；当a∈(1/2,1)时a∈(1/2,1)，Sa(I)不满足开集条件。1990年Komornik等人证明了定理：若此处为公式则对任意此处为公式有连续统的势。Sidorov把上述定理推广到高维。令此处为公式中的自相似集此处为公式其中a∈(0，l)，故存在唯一的自相似集吸引子此处为公式Sidorov证明了这样的一个结论：对于任意Po,PI...,Pm-I，存在a0<1，使得对任意a∈(α0,I)，Sa=Ω且对任意的此处为公式个不同的关于α的展式。并将上述定理推广至Lebesgue测度。　　第二部分我们考虑了正方形的情况，并得到了相应的结论。令此处为公式是方程λ2+λ=1唯一的正根。当α<α0时，存在此处为公式使得x关于a的展式是唯一的；当a>a0时，任意的此处为公式关于a有个2N0不同的展式。