八类三维约当代数及其推广

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二十世纪三十年代P.Jordan最早给出了约当代数的概念.约当代数是一类十分重要的非结合代数,在很多领域都有广泛的应用.本文主要研究三维约当代数上的Rota-Baxter算子和Hom-预约当代数、Hom-J-dendriform代数与Hom-J-quadri代数的定义以及这些代数之间的关系.  第一部分主要介绍与本文相关的基本概念,包括约当代数的定义、约当代数的表示、J-dendriform代数和J-quadri代数的定义、Rota-Baxter算子的定义以及一些基本结论.  第二部分计算八类三维约当代数上的Rota-Baxter算子.首先找到复数域上二维和三维约当代数的分类,对于其中的八类三维约当代数,分别计算出上面的Rota-Baxter算子,从而得到它们上面的Rota-Baxter算子的完全分类.  第三部分主要研究六维约当代数J∝rg*J*上的约当杨-巴克斯特方程的解.首先确定六维约当代数J∝rg*J*中的代数运算,然后利用约当代数及其表示空间直和上的约当杨-巴克斯特方程的解的对应关系,利用第二部分计算出的Rota-Baxter算子,找到对应的六维约当代数J∝rg*J*上的约当杨-巴克斯特方程的张量形式的解.  第四部分利用三维约当代数上的Rota-Baxter算子,在约当代数上构造预约当代数结构,并逐个确定了每个预约当代数所对应的三维约当代数.  第五部分研究约当代数的推广.首先引入Hom-预约当代数、Hom-J-dendriform代数和Hom-J-quadri代数的定义,然后讨论预约当代数与 Hom-预约当代数、J-dendriform代数与Hom-J-dendriform代数、J-quadri代数与Hom-J-quadri代数的关系,最后给出Hom-约当代数、Hom-预约当代数、Hom-J-dendriform代数和Hom-J-quadri代数之间的关系.
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