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【摘要】在數学教学中，教师根据学生已有经验，借助数学模型，帮助学生真正实现概念的理解：数学结合完成“因数和倍数”意义的建构，有序思考形成找“因数和倍数”的技能与方法，借助素材引导学生在比较观察中寻找特征。
【关键词】数形结合 有序思考 观察比较
在教学中，我们不仅要让学生在已有经验上有量的提升，更应当让学生有从“经验”走向“理解”的这样一个质的飞跃。郑毓信曾指出：数学的发展主要表现为以已有的知识为基础去建构新的理论。从“学生的现实”去寻找教学的素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地提示相关数学知识之间的内在关联。结合苏教版数学五年级下册“因数和倍数”的教学，谈谈如何引导学生从“经验”走向“理解”，让学生根据已有经验，借助数学模型，真正实现概念的理解。
一、数形结合，在经验中完成“因数和倍数”意义的建构
片段1：因数和倍数的认识
师：同学们，用12个同样大的正方形拼成一个长方形，想想看可以有哪些不同的拼法？谁来说说看，每排几个？摆几排？乘法算式是什么？
生1：每排6个，摆2排。乘法算式6×2=12。
生2：每排4个，摆3排。乘法算式4×3=12。
生3：每排12个，摆1排。乘法算式12×1=12。
生4：每排3个，摆4排。乘法算式3×4=12。
（根据学生的回答，师出示各种摆法）
师：同学们对比一下第四位同学和第二位同学的拼法，有什么想法？
生：只要把图形倒下来就是一样的。
师：只是摆放的位置不同，一个横着摆，一个竖着摆，其实是同一种拼法，只能算一种。那每排5个可以吗？为什么呢？
生：不可以。1排5个，两排10个，还多了2个。
师：是不是这样呢？
（根据学生的回答，师出示摆法）
师：看来，只有这3种不同的拼法。根据3种拼法，我们找到了对应的3个乘法算式。可别小看这3个算式，里面藏着我们今天要来学习的因数和倍数的知识。（板书：因数和倍数）
师：一起来看3×4=12这个算式，猜一猜谁是谁的倍数？
生：12是3的倍数，12也是4的倍数。
师：对，12是3的倍数，反过来我们就说3是12的因数。（板书：12是3的倍数，3是12的因数）
师：谁来完整地说一说4和12有什么关系？
生：12是4的倍数，4是12的因数。（板书：12是4的倍数，4是12的因数）
师：你能把这4句话完整地说一说吗？
生：12是3的倍数，3是12的因数；12是4的倍数，4是12的因数。
师：看，这儿还有两个乘法算式，你会说吗？同桌两人互相说一说。
师：12是12的倍数，感觉有点特别，不过，确实，12是12的因数，12也是12的倍数。
师：根据乘法算式同学们知道了谁是谁的因数，谁是谁的倍数，那你们能自己写一个乘法算式说一说吗？写在练习纸的反面。
师：我也来写一个3×0=0。谁来说一说？
（没有学生举手）
师：咦，怎么不说啦？结合刚才拼长方形的过程想想看……
生：每排3个，没有正方形，不能拼。
师：所以我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指的是不为0的自然数。（一般不考虑0）
评析：
华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。因数和倍数是两个非常抽象的数学概念，学生又是初次接触，根据学生已有经验以解决问题“12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法”为引子，借助乘法算式引出因数和倍数的意义，学生展开空间思维，方法多样。这样导入激活学生的形象思维，透过数学“形”与“数”的潜在关系，化解了抽象概念的难度，有效地实现了原有知识与新知识的链接。学生在认识了因数和倍数关系的基础上，教师通过“3×0=0”这个算式，引导学生再次结合拼图的过程，在具体情境中理解“在研究因数和倍数时一般不考虑0”，难度降低，效果较好。
二、有序思考，形成找“因数和倍数”的技能与方法
片段2：有序找因数
师：36的因数是不是只有一个4呢？
生：不是。还有其他的。
师：那你能把36所有的因数一个不落的全部都找出来吗？
（生尝试找36的因数）
生1：我找到了4个。
生2：我找到了6个。
师：还有找到更多的吗？
生3：我找到了9个。
师：哇，太厉害了。说一说你是怎样找到这么多的？
生：我是想（ ）×（ ）=36的，从1乘几开始想起。
师：这种想乘法算式的方法简直太妙了！你们觉得妙在何处？
生1：他是按顺序想下去的，不会遗漏。（板书：有序）
生2：一个乘法算式可以找到两个因数。（板书：一对一对找）
师：从几开始有序地往下想？又想到什么时候为止呢？
生：从1开始有序地往下想乘法算式，想到重复为止。
师：还有同学也找到了9个，但方法不一样的吗？
生：我是想36÷（ ）=（ ），36÷1=36，1和36是36的因数；36÷2=18，2和18是36的因数；36÷3=12，3和12是36的因数；36÷4=9，4和9是36的因数；36÷6=6，6是36的因数。
师：这种方法也非常不错。同学们看，这两种方法有什么不同吗？
生：一种是乘法算式，另一种是除法算式。
师：这两种方法在找的时候有什么共同的地方？ 生1：不管是乘法还是除法我们都能找到36所有的因数。
生2：都是从1开始有序地往下想。（有序）
生3：都想到重复为止不再往下想了。（不重复）
生4：都是一个算式找到两个因数。（一对因数）
评析：
通过比较两种方法的不同点，体会到找一个数的因数可以用“（ ）×（ ）=36”，也可以用“36÷（ ）=（ ）”的方法来思考，再通过找两种方法的相同点，进一步体会“一对一对”和“有序”找一个数的因数的优势，避免遗漏或重复，突出了有序思考的重要性，有效地突破了教学的难点。数学的性质决定了数学教学既要以学生思考的有序性为基础，又要培养学生思想方法的有序性。只要做到有序思考，我觉得这两种方法可以并进，学生可以根据自己的喜好选择解决问题的方法。下面就安排了这样一个环节，用喜欢的方法找一找18的因数，进一步巩固了找因数的方法。
三、借助素材，引导学生在比较观察中寻找特征
片段3：因数和倍数的特征
师：用自己喜歡的方法找一找18的因数。
师：同桌互相说一说24和16的因数。
师：现在一个数的因数都会找了，那a的因数你会找吗？
（学生疑惑，出现困难）
师：有点难，但是它的因数中一定会出现几呢？
生：a的因数中一定会出现1和a。
师：为什么？
生1：一个数最小的因数都是1。
（课件竖着圈出所有数中的因数1）
生2：一个数最大的因数是它自己。
（课件竖着圈出所有因数中的本身那个数）
生3：最大的因数是自己，所以因数的个数是有限的。
评析：
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习和理解数学。如果只是通过比较几个数的因数的共同特点，对于学生来说思考的力度不够大，没有挑战性而且抽象。于是在这里笔者就安排了找一个字母a的因数，学生起初是一愣，“但它的因数中一定会出现什么”这个问题一出，学生的眼睛就亮了，大脑快速运转进行知识的梳理和整合，有的学生就像发现新大陆一样找到了1和a这两个因数，获得了极大的成功感和满足感。通过找字母a的因数，学生其实已经初步感受到了一个数因数的特征：最大因数是本身、最小因数是1、个数是有限的，由此避免了学生找特征时无序的现象。可见，在数学教学中，借助好的素材，可以有效地激发学生学习的兴趣，可以增强学生的思维宽度，可以有利于学生将已有知识进行整合，可以有利于学生知识的动态生成，更有利于学生对抽象概念的理解。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.
【关键词】数形结合 有序思考 观察比较
在教学中，我们不仅要让学生在已有经验上有量的提升，更应当让学生有从“经验”走向“理解”的这样一个质的飞跃。郑毓信曾指出：数学的发展主要表现为以已有的知识为基础去建构新的理论。从“学生的现实”去寻找教学的素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地提示相关数学知识之间的内在关联。结合苏教版数学五年级下册“因数和倍数”的教学，谈谈如何引导学生从“经验”走向“理解”，让学生根据已有经验，借助数学模型，真正实现概念的理解。
一、数形结合，在经验中完成“因数和倍数”意义的建构
片段1：因数和倍数的认识
师：同学们，用12个同样大的正方形拼成一个长方形，想想看可以有哪些不同的拼法？谁来说说看，每排几个？摆几排？乘法算式是什么？
生1：每排6个，摆2排。乘法算式6×2=12。
生2：每排4个，摆3排。乘法算式4×3=12。
生3：每排12个，摆1排。乘法算式12×1=12。
生4：每排3个，摆4排。乘法算式3×4=12。
（根据学生的回答，师出示各种摆法）
师：同学们对比一下第四位同学和第二位同学的拼法，有什么想法？
生：只要把图形倒下来就是一样的。
师：只是摆放的位置不同，一个横着摆，一个竖着摆，其实是同一种拼法，只能算一种。那每排5个可以吗？为什么呢？
生：不可以。1排5个，两排10个，还多了2个。
师：是不是这样呢？
（根据学生的回答，师出示摆法）
师：看来，只有这3种不同的拼法。根据3种拼法，我们找到了对应的3个乘法算式。可别小看这3个算式，里面藏着我们今天要来学习的因数和倍数的知识。（板书：因数和倍数）
师：一起来看3×4=12这个算式，猜一猜谁是谁的倍数？
生：12是3的倍数，12也是4的倍数。
师：对，12是3的倍数，反过来我们就说3是12的因数。（板书：12是3的倍数，3是12的因数）
师：谁来完整地说一说4和12有什么关系？
生：12是4的倍数，4是12的因数。（板书：12是4的倍数，4是12的因数）
师：你能把这4句话完整地说一说吗？
生：12是3的倍数，3是12的因数；12是4的倍数，4是12的因数。
师：看，这儿还有两个乘法算式，你会说吗？同桌两人互相说一说。
师：12是12的倍数，感觉有点特别，不过，确实，12是12的因数，12也是12的倍数。
师：根据乘法算式同学们知道了谁是谁的因数，谁是谁的倍数，那你们能自己写一个乘法算式说一说吗？写在练习纸的反面。
师：我也来写一个3×0=0。谁来说一说？
（没有学生举手）
师：咦，怎么不说啦？结合刚才拼长方形的过程想想看……
生：每排3个，没有正方形，不能拼。
师：所以我们在研究因数和倍数时，所说的数一般指的是不为0的自然数。（一般不考虑0）
评析：
华罗庚曾说过：数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休。因数和倍数是两个非常抽象的数学概念，学生又是初次接触，根据学生已有经验以解决问题“12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法”为引子，借助乘法算式引出因数和倍数的意义，学生展开空间思维，方法多样。这样导入激活学生的形象思维，透过数学“形”与“数”的潜在关系，化解了抽象概念的难度，有效地实现了原有知识与新知识的链接。学生在认识了因数和倍数关系的基础上，教师通过“3×0=0”这个算式，引导学生再次结合拼图的过程，在具体情境中理解“在研究因数和倍数时一般不考虑0”，难度降低，效果较好。
二、有序思考，形成找“因数和倍数”的技能与方法
片段2：有序找因数
师：36的因数是不是只有一个4呢？
生：不是。还有其他的。
师：那你能把36所有的因数一个不落的全部都找出来吗？
（生尝试找36的因数）
生1：我找到了4个。
生2：我找到了6个。
师：还有找到更多的吗？
生3：我找到了9个。
师：哇，太厉害了。说一说你是怎样找到这么多的？
生：我是想（ ）×（ ）=36的，从1乘几开始想起。
师：这种想乘法算式的方法简直太妙了！你们觉得妙在何处？
生1：他是按顺序想下去的，不会遗漏。（板书：有序）
生2：一个乘法算式可以找到两个因数。（板书：一对一对找）
师：从几开始有序地往下想？又想到什么时候为止呢？
生：从1开始有序地往下想乘法算式，想到重复为止。
师：还有同学也找到了9个，但方法不一样的吗？
生：我是想36÷（ ）=（ ），36÷1=36，1和36是36的因数；36÷2=18，2和18是36的因数；36÷3=12，3和12是36的因数；36÷4=9，4和9是36的因数；36÷6=6，6是36的因数。
师：这种方法也非常不错。同学们看，这两种方法有什么不同吗？
生：一种是乘法算式，另一种是除法算式。
师：这两种方法在找的时候有什么共同的地方？ 生1：不管是乘法还是除法我们都能找到36所有的因数。
生2：都是从1开始有序地往下想。（有序）
生3：都想到重复为止不再往下想了。（不重复）
生4：都是一个算式找到两个因数。（一对因数）
评析：
通过比较两种方法的不同点，体会到找一个数的因数可以用“（ ）×（ ）=36”，也可以用“36÷（ ）=（ ）”的方法来思考，再通过找两种方法的相同点，进一步体会“一对一对”和“有序”找一个数的因数的优势，避免遗漏或重复，突出了有序思考的重要性，有效地突破了教学的难点。数学的性质决定了数学教学既要以学生思考的有序性为基础，又要培养学生思想方法的有序性。只要做到有序思考，我觉得这两种方法可以并进，学生可以根据自己的喜好选择解决问题的方法。下面就安排了这样一个环节，用喜欢的方法找一找18的因数，进一步巩固了找因数的方法。
三、借助素材，引导学生在比较观察中寻找特征
片段3：因数和倍数的特征
师：用自己喜歡的方法找一找18的因数。
师：同桌互相说一说24和16的因数。
师：现在一个数的因数都会找了，那a的因数你会找吗？
（学生疑惑，出现困难）
师：有点难，但是它的因数中一定会出现几呢？
生：a的因数中一定会出现1和a。
师：为什么？
生1：一个数最小的因数都是1。
（课件竖着圈出所有数中的因数1）
生2：一个数最大的因数是它自己。
（课件竖着圈出所有因数中的本身那个数）
生3：最大的因数是自己，所以因数的个数是有限的。
评析：
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中指出：要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习和理解数学。如果只是通过比较几个数的因数的共同特点，对于学生来说思考的力度不够大，没有挑战性而且抽象。于是在这里笔者就安排了找一个字母a的因数，学生起初是一愣，“但它的因数中一定会出现什么”这个问题一出，学生的眼睛就亮了，大脑快速运转进行知识的梳理和整合，有的学生就像发现新大陆一样找到了1和a这两个因数，获得了极大的成功感和满足感。通过找字母a的因数，学生其实已经初步感受到了一个数因数的特征：最大因数是本身、最小因数是1、个数是有限的，由此避免了学生找特征时无序的现象。可见，在数学教学中，借助好的素材，可以有效地激发学生学习的兴趣，可以增强学生的思维宽度，可以有利于学生将已有知识进行整合，可以有利于学生知识的动态生成，更有利于学生对抽象概念的理解。
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[2]郑毓信.小学数学概念与思维教学[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2014.