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将抽象的数学语言与直观的动手操作联结起来，能帮助学生实现从具体运算阶段到形式运算阶段的思维过渡。在教学中充分借助直观操作，能使学生深度理解并系统建构有余数除法的相关知识。
一、抱一抱，实践体验知概念
《有余数的除法》单元主题图呈现了学生分别用11根小棒摆出正方形、三角形、五边形的活动情境。在用小棒摆图形的操作过程中会出现“摆了几个图形后，还剩几根”的现象，从而引出余数概念。
为了激发学生的学习兴趣，更清晰、直观地引出余数的概念。教学时，笔者将摆图形的情境换成了“抱一抱”游戏活动。上课伊始，笔者就请6名学生到讲台前面，要求每2人抱成一组。在欢快的音乐声中，学生两两抱成3组。笔者适时提问：“一共有6个小朋友，每2人抱在一起，抱了几组？能用除法表示吗？”学生列出除法算式6÷2=3。笔者接着问：“谁能说一说这里的6、2、3分别表示什么？”学生回答：“一共有6个人，每2人抱一组，可以抱3组。”笔者乘机引导“平均分可以用除法表示”。随后，笔者又邀请1名学生继续玩2人抱一抱游戏。学生抱好后，笔者提问：“上一轮游戏刚好抱完了，这次呢？”学生说没有抱完，还剩下1人。笔者追问：“7个小朋友，每2人抱一抱，抱了3组，还剩1人，这也是平均分，这次和刚才的6个人抱3组的平均分有什么不同？”学生回答：“刚才6个人抱完了，这次还剩1个人，平均分有时正好分完，有时会有剩余。”笔者补充：“剩余1个人的这个1在除法算式里也有自己的名字，它叫余数。”
为了进一步理解余数概念，笔者把总人数分别增加到8和9，继续引导学生玩2人抱一抱游戏。8个人抱成4组，说除法算式，并说一说各部分表示什么。9个人抱成4组后，还剩1人，说一说余数是几。后续，笔者又分别组织9人、10人，玩3人抱一抱游戏，引导学生说除法算式，并说一说有没有余数，如果有，余数是几。最后，10人玩4人抱一抱游戏。学生发现抱成2组后，剩余2人，也就是余数是2。学生在一系列“抱一抱”游戏中，体验有剩余、没有剩余两种情况，通过直观对比去理解分完后有剩余的情况就是有余数，剩余的那个数就是余数。
二、分一分，对比分析识含义
教材中的例1借助平均分草莓的操作活动，通过与表内除法对比，使学生理解有余数除法的含义。为了便于全体学生动手操作，促进学生的思维从直观形象向半抽象化过渡，笔者将分草莓改为分铅笔，引导学生在分实物、圈图形、写算式的过程中，对比“两种平均分”的情况，直观地理解有余数除法的含义。
课上，笔者出示问题：“把10支铅笔分给小朋友，每人分2支，可以分给几人？”让学生用除法算式表示并填写表格。接着笔者提问：“这是平均分，正好分完，结果没有剩余，也就是没有余数的情况。除了每人分2支，想一想还可以每人分几支？想出一种分的方法，就用小棒分一分，并在表格中填一填。”随后，笔者根据学生的反馈板书下表，并请学生在黑板上的小棒图中用“圈一圈”的方法表示平均分的过程。
观察表格，笔者引导学生把这几种平均分的情况分成有余数和没有余数两类。学生对比平均分的结果以及相应分法的除法横式，并结合小棒图说出有余数除法算式中每个数的含义，沟通了实物表征、语言表征、符号表征之间的关系，深化了对有余数除法概念的理解，突破了确定商与余数的单位名称的学习难点。
三、摆一摆，直观操作理关系
余数与除数的关系是教材例2的内容。教材借助用不同根数的小棒摆正方形的活动，巩固学生对有余数除法的含义的理解，引导学生发现余数和除数的关系。教学时，笔者对操作活动进行了结构化处理，变单一的摆正方形为摆三角形、正方形、五边形三种图形;小棒的总根数从例题中的8～12根分别调整为6～10根、8～12根、10～16根。这样做可以使学习材料更具结构性，使学生的操作活动更自主、开放，有利于学生发现余数比除数小的结论，体验归纳推理的過程。
学生两人一组自主选择用小棒拼摆三角形、正方形、五边形中的任意一种图形，边摆边说，并填写记录单。摆正方形的小组记录单如下：
我们摆的图形是正方形，每个图形用4根小棒。
[总根数 摆了几个 还剩几根 除法算式 8 2 — 8÷4=2（个） 9 2 1 9÷4=2（个）……1（根） 10 2 2 10÷4=2（个）……2（根） 11 2 3 11÷4=2（个）……3（根） 12 3 — 12÷4=3（个） ]
观察上面算式中的余数和除数，我们的发现是：余数比除数小。
在交流反馈环节，笔者引导学生通过观察表格中的除法算式，发现余数大于或等于除数时，就又可以摆一个图形了，从而感悟余数必须比除数小。笔者适时追问：“13根小棒摆正方形，可以摆几个，剩几根？14根、15根、16根呢”“摆正方形时，剩余的根数可能是4根或者比4根多吗，为什么”。学生有了拼摆图形的操作经验，就会理解“直到不能再摆一个图形后剩余的数才是余数，等于或大于4根时，都还可以继续摆正方形”的道理。追问的过程既是对结论的验证，又是对余数与除数关系的深化。然后，笔者组织学生反馈摆三角形、五边形的情况，在引导学生运用余数与除数的关系解决问题的同时，进一步验证余数比除数小的结论。整个操作活动渗透了不完全归纳推理的数学思想方法，学生在操作中感受到摆、说的过程与算式表示的意思是相同的。
四、圈一圈，数形结合明算理
“笔算是直观的算理，抽象的算法”。教师在教学时需要帮助学生沟通学具操作、口算与竖式之间的关系，将直观的学具操作转化为学生头脑中的表象操作，促进学生深入理解算理，掌握算法。
教学有余数的除法竖式时，笔者引导学生分13根小棒，要求每人分4根。学生边分边说分的过程和结果，写出除法横式。接着，笔者请学生在黑板上演示刚刚的操作过程，以此引出有余数除法的竖式，并介绍除法竖式中各部分的名称。然后，笔者让学生说出竖式中每个数的含义，并在黑板上圈出相应的小棒图。这样做将除法竖式中的每个数与操作过程及横式建立联系，运用数形结合使学生理解竖式的含义，直观地理解有余数除法竖式的计算算理，初步感知竖式计算的优势（在竖式中能直观地看到分完了多少支铅笔，横式中则不能）。
（作者单位：宜昌市夷陵区教研中心）
责任编辑
一、抱一抱，实践体验知概念
《有余数的除法》单元主题图呈现了学生分别用11根小棒摆出正方形、三角形、五边形的活动情境。在用小棒摆图形的操作过程中会出现“摆了几个图形后，还剩几根”的现象，从而引出余数概念。
为了激发学生的学习兴趣，更清晰、直观地引出余数的概念。教学时，笔者将摆图形的情境换成了“抱一抱”游戏活动。上课伊始，笔者就请6名学生到讲台前面，要求每2人抱成一组。在欢快的音乐声中，学生两两抱成3组。笔者适时提问：“一共有6个小朋友，每2人抱在一起，抱了几组？能用除法表示吗？”学生列出除法算式6÷2=3。笔者接着问：“谁能说一说这里的6、2、3分别表示什么？”学生回答：“一共有6个人，每2人抱一组，可以抱3组。”笔者乘机引导“平均分可以用除法表示”。随后，笔者又邀请1名学生继续玩2人抱一抱游戏。学生抱好后，笔者提问：“上一轮游戏刚好抱完了，这次呢？”学生说没有抱完，还剩下1人。笔者追问：“7个小朋友，每2人抱一抱，抱了3组，还剩1人，这也是平均分，这次和刚才的6个人抱3组的平均分有什么不同？”学生回答：“刚才6个人抱完了，这次还剩1个人，平均分有时正好分完，有时会有剩余。”笔者补充：“剩余1个人的这个1在除法算式里也有自己的名字，它叫余数。”
为了进一步理解余数概念，笔者把总人数分别增加到8和9，继续引导学生玩2人抱一抱游戏。8个人抱成4组，说除法算式，并说一说各部分表示什么。9个人抱成4组后，还剩1人，说一说余数是几。后续，笔者又分别组织9人、10人，玩3人抱一抱游戏，引导学生说除法算式，并说一说有没有余数，如果有，余数是几。最后，10人玩4人抱一抱游戏。学生发现抱成2组后，剩余2人，也就是余数是2。学生在一系列“抱一抱”游戏中，体验有剩余、没有剩余两种情况，通过直观对比去理解分完后有剩余的情况就是有余数，剩余的那个数就是余数。
二、分一分，对比分析识含义
教材中的例1借助平均分草莓的操作活动，通过与表内除法对比，使学生理解有余数除法的含义。为了便于全体学生动手操作，促进学生的思维从直观形象向半抽象化过渡，笔者将分草莓改为分铅笔，引导学生在分实物、圈图形、写算式的过程中，对比“两种平均分”的情况，直观地理解有余数除法的含义。
课上，笔者出示问题：“把10支铅笔分给小朋友，每人分2支，可以分给几人？”让学生用除法算式表示并填写表格。接着笔者提问：“这是平均分，正好分完，结果没有剩余，也就是没有余数的情况。除了每人分2支，想一想还可以每人分几支？想出一种分的方法，就用小棒分一分，并在表格中填一填。”随后，笔者根据学生的反馈板书下表，并请学生在黑板上的小棒图中用“圈一圈”的方法表示平均分的过程。
观察表格，笔者引导学生把这几种平均分的情况分成有余数和没有余数两类。学生对比平均分的结果以及相应分法的除法横式，并结合小棒图说出有余数除法算式中每个数的含义，沟通了实物表征、语言表征、符号表征之间的关系，深化了对有余数除法概念的理解，突破了确定商与余数的单位名称的学习难点。
三、摆一摆，直观操作理关系
余数与除数的关系是教材例2的内容。教材借助用不同根数的小棒摆正方形的活动，巩固学生对有余数除法的含义的理解，引导学生发现余数和除数的关系。教学时，笔者对操作活动进行了结构化处理，变单一的摆正方形为摆三角形、正方形、五边形三种图形;小棒的总根数从例题中的8～12根分别调整为6～10根、8～12根、10～16根。这样做可以使学习材料更具结构性，使学生的操作活动更自主、开放，有利于学生发现余数比除数小的结论，体验归纳推理的過程。
学生两人一组自主选择用小棒拼摆三角形、正方形、五边形中的任意一种图形，边摆边说，并填写记录单。摆正方形的小组记录单如下：
我们摆的图形是正方形，每个图形用4根小棒。
[总根数 摆了几个 还剩几根 除法算式 8 2 — 8÷4=2（个） 9 2 1 9÷4=2（个）……1（根） 10 2 2 10÷4=2（个）……2（根） 11 2 3 11÷4=2（个）……3（根） 12 3 — 12÷4=3（个） ]
观察上面算式中的余数和除数，我们的发现是：余数比除数小。
在交流反馈环节，笔者引导学生通过观察表格中的除法算式，发现余数大于或等于除数时，就又可以摆一个图形了，从而感悟余数必须比除数小。笔者适时追问：“13根小棒摆正方形，可以摆几个，剩几根？14根、15根、16根呢”“摆正方形时，剩余的根数可能是4根或者比4根多吗，为什么”。学生有了拼摆图形的操作经验，就会理解“直到不能再摆一个图形后剩余的数才是余数，等于或大于4根时，都还可以继续摆正方形”的道理。追问的过程既是对结论的验证，又是对余数与除数关系的深化。然后，笔者组织学生反馈摆三角形、五边形的情况，在引导学生运用余数与除数的关系解决问题的同时，进一步验证余数比除数小的结论。整个操作活动渗透了不完全归纳推理的数学思想方法，学生在操作中感受到摆、说的过程与算式表示的意思是相同的。
四、圈一圈，数形结合明算理
“笔算是直观的算理，抽象的算法”。教师在教学时需要帮助学生沟通学具操作、口算与竖式之间的关系，将直观的学具操作转化为学生头脑中的表象操作，促进学生深入理解算理，掌握算法。
教学有余数的除法竖式时，笔者引导学生分13根小棒，要求每人分4根。学生边分边说分的过程和结果，写出除法横式。接着，笔者请学生在黑板上演示刚刚的操作过程，以此引出有余数除法的竖式，并介绍除法竖式中各部分的名称。然后，笔者让学生说出竖式中每个数的含义，并在黑板上圈出相应的小棒图。这样做将除法竖式中的每个数与操作过程及横式建立联系，运用数形结合使学生理解竖式的含义，直观地理解有余数除法竖式的计算算理，初步感知竖式计算的优势（在竖式中能直观地看到分完了多少支铅笔，横式中则不能）。
（作者单位：宜昌市夷陵区教研中心）
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