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在近年中考数学试题中，常出现一些不给图形的几何问题，在解答此类问题时，由于受思维习惯的干扰，常常把题目中的图形画成自己平时所熟悉的图形，这样，问题的解答就可能不完整，导致漏解而失分。解决这类问题，我们要应用分类讨论的思想，下面结合具体实例加以说明.
一、 等腰三角形中的分类讨论
规律：在求解有关等腰三角形的问题时，如果题目不给图形，我们可根据顶角和底角的大小；底边和腰长的长短；高的位置画出不同的图形，进行分类讨论解决.
例1 已知等腰三角形的一个内角为50°，则其顶角为（ ）
A. 50° B. 80°
C. 130° D. 50°或80°
简析 50°角可能是顶角，也可能是底角.当50°是底角时，这个等腰三角形的顶角为80°，故选D.需注意的是：底角不能为直角或钝角.等腰三角形的一个内角为100°，这里的100°只能为顶角.
例2 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 .
简析 如图1，当5是腰长时，6就是底边长，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，5就是底边长，则此时周长等于17.故这个等腰三角形的周长等于16或17.
说明：应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.如等腰三角形的一边等于3，另一边等于6，则它的周长只能是15.
例3 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.
简析 如图2，已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是2xcm，底边长为ycm，可得2x+x=9,x+y=12.或2x+x=12,x+y=9.说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理.
例4 在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B= .
简析 如图3，当△ABC是锐角三角形时，交点在腰AC上，∠A=50°，∠B=65°；如图4，当△ABC为钝角三有形时，交点在腰CA的延长线上，∠BAC=130°，∠B=25°故这个等腰三角形的底角为65°或25°.
例5 为美化环境，计划在某小区内用30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
简析 如图5,在等腰△ABC中，设AB=AC,BC=10m，作AD⊥BC于D，由S=×BC•AD=30，可得AD=6m.所以AB=AC==（m）.如图6，当AB为腰且△ABC为锐角三角形时，AB=AC=10m，所以AD==8（m），BD=2m,BC==2（m）.如图7，当AB为腰且△ABC为钝角三角形时，BC=6（m）.
二、 相似三角形中的分类讨论
规律：相似三角形常常因为对应边、对应角或其他原因的不确定性而需要加以分类讨论，纵观近年中考试题，涉及相似三角形对应关系的试题屡见不鲜，解答此类问题，一定要注意保持思维的缜密性，画出各种相似的图形，谨防发生漏解错误.
例6 在△ABC中，AB=5，AC=4，P是AC的一点，AP=2，在AB上取一点D，若以A、P、D为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AD的长为（ ）
A. B.
C. D. 和
简析 本题应分两种情况讨论：如图8，过点P作PD∥BC，这样根据相似三角形的性质可得=，即=，解得AD=；如图9，过点P作∠APD=∠ABC，交边AB于点D，这时△APD ～△ABC，于是有=，即=，解得AD=. 所以AQ的长为或，故应选D.
三、 圆中的分类讨论
规律：由于点与圆、线与圆、圆与圆存在多种位置关系，经常会导致其答案不唯一.因此，求解圆的有关问题时，要注意画出符合条件的各种图形进行分类讨论.
?摇例7 若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（ ）
A. B.
C. 或 D. a+b或a-b
简析 本题点P可能在圆内，也可能在圆外.故应选C.
例9 已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数.
简析 如图12，当弦AC与弦AD在直径AB的同侧时,∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°; 如图13，当弦AC与弦AD在直径AB的异侧时. ∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°.
例10 圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）（下转第31页）
（上接第17页）
A. 30°或60° B. 60°
C. 150° D.30°或150°
简析 一条弦所对的圆周角有两种，且圆周角互补. 故选D.
例11 已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为 .
简析 当圆心在公共弦的异侧时，OO=OD+ OD=4+；当圆心在公共弦的同侧时，OO=OD-OD =4－.
总之，在解这类题目时，要用分类讨论的思想，根据题意画出满足条件的所有图形，求出相应的结果.
一、 等腰三角形中的分类讨论
规律：在求解有关等腰三角形的问题时，如果题目不给图形，我们可根据顶角和底角的大小；底边和腰长的长短；高的位置画出不同的图形，进行分类讨论解决.
例1 已知等腰三角形的一个内角为50°，则其顶角为（ ）
A. 50° B. 80°
C. 130° D. 50°或80°
简析 50°角可能是顶角，也可能是底角.当50°是底角时，这个等腰三角形的顶角为80°，故选D.需注意的是：底角不能为直角或钝角.等腰三角形的一个内角为100°，这里的100°只能为顶角.
例2 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于 .
简析 如图1，当5是腰长时，6就是底边长，则此时等腰三角形的周长等于16；当6是腰长时，5就是底边长，则此时周长等于17.故这个等腰三角形的周长等于16或17.
说明：应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论.如等腰三角形的一边等于3，另一边等于6，则它的周长只能是15.
例3 若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长.
简析 如图2，已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形.若设这个等腰三角形的腰长是2xcm，底边长为ycm，可得2x+x=9,x+y=12.或2x+x=12,x+y=9.说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理.
例4 在△ABC中，AB=AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B= .
简析 如图3，当△ABC是锐角三角形时，交点在腰AC上，∠A=50°，∠B=65°；如图4，当△ABC为钝角三有形时，交点在腰CA的延长线上，∠BAC=130°，∠B=25°故这个等腰三角形的底角为65°或25°.
例5 为美化环境，计划在某小区内用30m的草皮铺设一块一边长为10m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长.
简析 如图5,在等腰△ABC中，设AB=AC,BC=10m，作AD⊥BC于D，由S=×BC•AD=30，可得AD=6m.所以AB=AC==（m）.如图6，当AB为腰且△ABC为锐角三角形时，AB=AC=10m，所以AD==8（m），BD=2m,BC==2（m）.如图7，当AB为腰且△ABC为钝角三角形时，BC=6（m）.
二、 相似三角形中的分类讨论
规律：相似三角形常常因为对应边、对应角或其他原因的不确定性而需要加以分类讨论，纵观近年中考试题，涉及相似三角形对应关系的试题屡见不鲜，解答此类问题，一定要注意保持思维的缜密性，画出各种相似的图形，谨防发生漏解错误.
例6 在△ABC中，AB=5，AC=4，P是AC的一点，AP=2，在AB上取一点D，若以A、P、D为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AD的长为（ ）
A. B.
C. D. 和
简析 本题应分两种情况讨论：如图8，过点P作PD∥BC，这样根据相似三角形的性质可得=，即=，解得AD=；如图9，过点P作∠APD=∠ABC，交边AB于点D，这时△APD ～△ABC，于是有=，即=，解得AD=. 所以AQ的长为或，故应选D.
三、 圆中的分类讨论
规律：由于点与圆、线与圆、圆与圆存在多种位置关系，经常会导致其答案不唯一.因此，求解圆的有关问题时，要注意画出符合条件的各种图形进行分类讨论.
?摇例7 若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（ ）
A. B.
C. 或 D. a+b或a-b
简析 本题点P可能在圆内，也可能在圆外.故应选C.
例9 已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数.
简析 如图12，当弦AC与弦AD在直径AB的同侧时,∠DAC=∠DAO－∠CAO=15°; 如图13，当弦AC与弦AD在直径AB的异侧时. ∠DAC=∠DAO+∠CAO=115°.
例10 圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）（下转第31页）
（上接第17页）
A. 30°或60° B. 60°
C. 150° D.30°或150°
简析 一条弦所对的圆周角有两种，且圆周角互补. 故选D.
例11 已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为 .
简析 当圆心在公共弦的异侧时，OO=OD+ OD=4+；当圆心在公共弦的同侧时，OO=OD-OD =4－.
总之，在解这类题目时，要用分类讨论的思想，根据题意画出满足条件的所有图形，求出相应的结果.