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【关键词】计算教学；内隐性教学资源；过程性知识；数学文化资源
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）41-0058-04
《三位数乘两位数》是苏教版四年级下册第三单元的教学内容，这是小学阶段最后一次学习整数乘法。学生在此之前已经学过两位数乘两位数的笔算，大量的课前调查表明，几乎95%的学生能够独立完成三位数乘两位数的计算。基于学情的考察，本课的教学不能匍匐在计算技能的机械训练上，应当透过学生“会算”的技术表层，开发计算教学中的内隐性教学资源，让计算教学有厚度、有广度、有温度，在教学过程中促进学生数学素养的提升。“内隐性数学课程资源包括内隐素材性资源和内隐条件性资源。内隐素材性资源是指不以文本形式显性表述的，潜藏于显性知识深层的隐性知识。包括数学知识的文化元素、数学知识的过程元素、数学知识的逻辑元素、数学知识的背景元素等，它是被显性知识所包裹的知识内核。内隐条件性资源主要指教师结合外显条件性资源构建的一种适宜于学生学习的课堂环境，包括构建能够使学生智力和非智力因素共同参与学习的情境，采用灵活多样的教学组织形式，对课堂节奏的准确把握，营造平等的课堂对话氛围等。”[1]
本课打破了传统的计算教学模式，重点开发内隐性的过程性知识。例如，儿童在自主尝试中自然迁移算法，在质疑与验证中通透算理等。开发内隐性的数学文化资源。例如创生儿童的“数学表示”，渗透模型思想；观照笔算与时代文化背景的发展，涵育数学价值观。开发内隐性的条件性资源。例如“游戏大比拼”的教学环节，完全由学生即兴生成试题并且灵活多变，赋予计算以生成性、创造性和人文性。
【教学过程】
一、复习引入
师：今天我们上一节关于乘法的计算课，（板书23×12）23×12会笔算吗？（学生板演后讲计算过程，略）
师：两位数乘两位数的笔算，先分别算出两个部分积，再把它们合并，先分后合。（板书：先分后合）
二、学习新课
1.尝试计算，主动迁移。
师：老师加大难度哦，（板书123×12）你能笔算123×12吗？
生：能！太简单了！
生：动笔试试看，哪位同学愿意来板演？（学生兴致勃勃，纷纷动笔试算123×12）
师：你能讲一讲是怎么算的吗？
生：先用2去乘123，等于246，再用“12”的“1”去乘123，写123，不过这里有一个0，没写出来，其实是123个十，最后加起来等于1476。
2.引发质疑，通透算理。
师：同学们这么快算出了123×12，这道题是三位数乘两位数，我们没有学过，你们是怎么算出来的？
生：根据两位数乘两位数的方法算的。
生：它的方法和两位数乘两位数是一样的，只是多了百位。
师：哦，你们是根据以前的方法大胆迁移过来的。（板书：大胆迁移）可是，迁移分正迁移和负迁移，正迁移的意思是用原来的方法来解决现在的新问题，完全正确。负迁移的意思是原来的方法阻碍了新问题的解决。那你们今天的迁移是正迁移吗？
生：应该是的。
生：可能是吧？
生：好像……
师：你能想办法验证吗？先独立思考，然后在小组内交流。
学生自主活动后开始交流。
生：先求2个123是多少，再求10个123，最后加起来，确实是1476。
生：我把12拆成2乘6，123乘2等于246，246乘6等于1476。
生：可以用除法验算，我们列了除法竖式，答案是对的。
生：123和左边的23比一下，只不过多了一百，12个100是1200，所以276加1200就是1476。
师：同学们的方法各不相同，都非常棒！我们还可以借助板条图来验证。（出示板条图，对照竖式，学生解释每一步的道理）
3.数学表示，建构模型。
师：今天我们一起研究了三位数乘两位数（板书课题），你能用自己喜欢的方式表示计算方法吗？（展示部分学生的想法）
师：你们不仅能从现象中看到本质，而且還能用这么数学化的形式表示自己的思考与创造。太了不起了！
三、巩固练习
1.夯实基础。
师：独立完成4道题，谁有话提醒大家的？
生：同学们要看清数字，还有口算要细心。数位要对齐，做完了要检查。
（教师选取一份作业核对答案，以强化计算技能。）
2.游戏大比拼。
师：接下来我们玩一个游戏，全班按座位分成红队和蓝队，这里有红蓝两袋数字卡片，分别是0～9。请看比赛规则（PPT显示）。
两位代表到前面摸卡片，组成下列算式：
蓝队：608×7□ 红队：937×8□
师采访蓝队：你们会输吗？
生：不会输，还有个位呢，如果我摸到9，我有可能赢。
师采访红队：你们一个个乐呵呵的，胜券在握？
生：我们肯定赢。蓝队600乘七十几，就算乘80，也只有四万多。我们八九七十二，七万多呢。
师：现在继续摸卡片。揭示蓝队608×79，红队937×82。赶紧算，分别得多少？算对加分。（核对答案，略）
师：确实红队得数大。蓝队别泄气，还有机会哦！第二局游戏现在开始，各队可以调整数字的位置。各队好好商量一下，怎样调整积最大？（学生热烈地讨论）
蓝队：我们调整为860×97，这是最大的了！
红队：我们调整为872×93！
师：赶紧动笔算！（学生迫不及待，认真笔算） 蓝队一名学生：不对不对！我们还要改一下，870×96！
师：为什么要改呀？97不是大于96嘛？
生（笑）：我列竖式的，870×96大！
生：0不要了，86×97和87×96比，还是后面的大！
师：好的，红队你们需要改吗？
红队：不要！
师：现在比赛的格局是蓝队870×96，红队872×93。两个得数越来越逼近了！动笔算过了，积到底是多少？
蓝队：我们等于83520！
红队：我们等于81096。
师：这一局蓝队齐心协力反败为胜了，三位数乘两位数真有意思，同学们不仅会算、算得对，还会排兵布阵用策略，真棒！
四、总结升华
师：同学们，老师翻了五六年级的数学书，发现今天学习的三位数乘两位数是小学阶段最后一节整数乘法课，像四位数乘两位数、三位数乘三位数这类的教学内容，书上都没有了。丁老师小时候学过，你们现在怎么不学了呢？
生：因为方法是一样的。
师：是啊，只要把握住了根本的方法，把这个“先分后合”的根留住，无论是两位数乘两位数，还是三位数乘两位数，甚至更多数位的整数乘法，都只是伸出来的枝蔓了。（教师画出大树写意图）
师：其实呀，现在不再学多位数乘多位数，还有一个原因。（出示人机大战图）
生：计算机算得比人快！
生：以后都是智能化了，不需要列竖式算。
师：是啊，信息化时代的计算机技术迅猛发展，科技的进步已经使人类摆脱了烦琐复杂的纸笔计算。话说回来，既然计算机那么厉害，那我们今天为什么还要学习三位数乘两位数呢？
生：计算机是人发明的！
生：人有感情，机器没有。
生：像今天这种简单的计算我们还是要学会的，特别复杂的就用计算机。
师：说得真好！人类的智慧是无穷的。同学们课后可以查阅关于计算的资料，下次我们再好好交流，好期待哦！下课！
【评析】
有教师认为，“三位数乘两位数”太简单了，算法与两位数乘两位数完全相同，便机械地开展教学：尝试例题—交流、概括算法—基础练习、纠错练习。这样的教学使计算教学止于外显的数学知识技能训练，忽视了计算教学的内容和意义。
法与理的共存、过程与结果的和谐、数学文化与儿童立场的相融、计算教学与时代背景的映照……计算教学并不简单，隐含着丰富的内隐性数学教学资源。丁老师巧妙设计，有效开发计算教学的内隐性资源，现撷取以下三个方面略作点评。
1.展现“过程性知识”：让计算真正发生。
过程性知识是一种内隐性数学课程资源。如果以动态数学观审视课程资源，就会发现许多内隐性资源依附在过程之中，有过程就有体验，有体验就会形成经验，体验过程而形成经验的知识称为过程性知识。三位数乘两位数的算法是结果性知识，如果快速揭示结果性知识，然后施加大量的训练，表面上看学生一直在算，但这不是完整意义上的计算，触发认知的计算并没有真正发生。教师不仅要使学生掌握结果性知识，更要将关于三位数乘两位数的问题、语言、方法、命题这一条逻辑链清晰地展示出来，让学生经历知识的产生过程。
丁老师高度重视过程性知识的生成过程，让学生独立尝试计算，即便几乎全班学生都会算，也没有即刻总结算法，而是停下来，抛出“今天的迁移是正迁移吗？”打破了学生潜意识中对正迁移的默认。学生的思维瞬间被打开，他们用各种方法进行验证，充分经历计算体验，逐渐沉淀为丰富的学习经验。再比如“红队蓝队游戏大比拼”的游戏，输赢的结果不是根本目的，生成数学思考、灵活运用多种策略解决问题、积累计算经验等过程性知识才是它的核心目标。
2.积淀“数学文化资源”：让计算意蕴深厚。
作为课程资源的重要组成部分，数学文化发挥着重要的作用，它的诸多要素都是内隐性课程资源。本课中，丁老师重点关注了以下两个重要元素。
数学思想方法。小学数学教学中的数学思想偏于内隐性且实用性不鲜明，但是它作为内隐性课程资源不应该被忽视。本课中的大树简笔画、板条图、学生的数学表示以及推荐阅读国外不同算法，旨在让学生感悟“类推思想”“数形结合思想”“模型思想”等数学思想方法。当然，这些数学思想方法的渗透不是生硬晦涩的，而是融化在基于兒童立场的童化表达中。
数学价值观。数学的工具价值和人文价值是一个硬币的正反两面，缺一不可。丁老师在课尾引发学生思辨为什么不再学整数乘法，学生一下子就抓住了学习的本质。紧接着，人机大战的图片把学生的目光投射到时代背景，古今贯通，辩证地看待笔算和人工智能，数学的工具性和人文性实现了完美的统一。有了数学思想方法、数学价值观的渗透，计算教学就走出了浅表化而具有深厚的文化意蕴。
3.活化“内隐条件性资源”：让儿童在计算课幸福沉醉。
数学教学的环境元素是内隐条件性资源，本课中内隐条件性资源的开发是多方位的。例如，创设富有挑战性的“红队蓝队游戏大比拼”游戏情境，让枯燥的计算练习变得智趣飞扬；营造师生平等的心理情境，丁老师像个长大的儿童和学生一起玩计算，放飞儿童的灵性，接纳儿童的错误；建立师生互动、生生互动的对话情境，组织学习共同体，营造知识建构的社会化情境……下课时，学生意犹未尽，嘟囔“还没过瘾呢”，听课教师也沉浸其间，慨叹“计算也疯狂，数学真好玩”。
总之，计算教学中内隐性教学资源的开发是一个关乎学生数学素养提升的重要命题，它好似大海上的一座冰山，这个成功的案例只是冰山的一角，我们的探索还在继续。
【参考文献】
[1]喻平.论内隐性数学课程资源[J].中国教育学刊，2013（07）：59-63.
[2]林娟娟.数学思维可视化教学浅谈[J].江苏教育，2017（17）：66-67.
（作者单位：南京市长江路小学）
【中图分类号】G623.5 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2018）41-0058-04
《三位数乘两位数》是苏教版四年级下册第三单元的教学内容，这是小学阶段最后一次学习整数乘法。学生在此之前已经学过两位数乘两位数的笔算，大量的课前调查表明，几乎95%的学生能够独立完成三位数乘两位数的计算。基于学情的考察，本课的教学不能匍匐在计算技能的机械训练上，应当透过学生“会算”的技术表层，开发计算教学中的内隐性教学资源，让计算教学有厚度、有广度、有温度，在教学过程中促进学生数学素养的提升。“内隐性数学课程资源包括内隐素材性资源和内隐条件性资源。内隐素材性资源是指不以文本形式显性表述的，潜藏于显性知识深层的隐性知识。包括数学知识的文化元素、数学知识的过程元素、数学知识的逻辑元素、数学知识的背景元素等，它是被显性知识所包裹的知识内核。内隐条件性资源主要指教师结合外显条件性资源构建的一种适宜于学生学习的课堂环境，包括构建能够使学生智力和非智力因素共同参与学习的情境，采用灵活多样的教学组织形式，对课堂节奏的准确把握，营造平等的课堂对话氛围等。”[1]
本课打破了传统的计算教学模式，重点开发内隐性的过程性知识。例如，儿童在自主尝试中自然迁移算法，在质疑与验证中通透算理等。开发内隐性的数学文化资源。例如创生儿童的“数学表示”，渗透模型思想；观照笔算与时代文化背景的发展，涵育数学价值观。开发内隐性的条件性资源。例如“游戏大比拼”的教学环节，完全由学生即兴生成试题并且灵活多变，赋予计算以生成性、创造性和人文性。
【教学过程】
一、复习引入
师：今天我们上一节关于乘法的计算课，（板书23×12）23×12会笔算吗？（学生板演后讲计算过程，略）
师：两位数乘两位数的笔算，先分别算出两个部分积，再把它们合并，先分后合。（板书：先分后合）
二、学习新课
1.尝试计算，主动迁移。
师：老师加大难度哦，（板书123×12）你能笔算123×12吗？
生：能！太简单了！
生：动笔试试看，哪位同学愿意来板演？（学生兴致勃勃，纷纷动笔试算123×12）
师：你能讲一讲是怎么算的吗？
生：先用2去乘123，等于246，再用“12”的“1”去乘123，写123，不过这里有一个0，没写出来，其实是123个十，最后加起来等于1476。
2.引发质疑，通透算理。
师：同学们这么快算出了123×12，这道题是三位数乘两位数，我们没有学过，你们是怎么算出来的？
生：根据两位数乘两位数的方法算的。
生：它的方法和两位数乘两位数是一样的，只是多了百位。
师：哦，你们是根据以前的方法大胆迁移过来的。（板书：大胆迁移）可是，迁移分正迁移和负迁移，正迁移的意思是用原来的方法来解决现在的新问题，完全正确。负迁移的意思是原来的方法阻碍了新问题的解决。那你们今天的迁移是正迁移吗？
生：应该是的。
生：可能是吧？
生：好像……
师：你能想办法验证吗？先独立思考，然后在小组内交流。
学生自主活动后开始交流。
生：先求2个123是多少，再求10个123，最后加起来，确实是1476。
生：我把12拆成2乘6，123乘2等于246，246乘6等于1476。
生：可以用除法验算，我们列了除法竖式，答案是对的。
生：123和左边的23比一下，只不过多了一百，12个100是1200，所以276加1200就是1476。
师：同学们的方法各不相同，都非常棒！我们还可以借助板条图来验证。（出示板条图，对照竖式，学生解释每一步的道理）
3.数学表示，建构模型。
师：今天我们一起研究了三位数乘两位数（板书课题），你能用自己喜欢的方式表示计算方法吗？（展示部分学生的想法）
师：你们不仅能从现象中看到本质，而且還能用这么数学化的形式表示自己的思考与创造。太了不起了！
三、巩固练习
1.夯实基础。
师：独立完成4道题，谁有话提醒大家的？
生：同学们要看清数字，还有口算要细心。数位要对齐，做完了要检查。
（教师选取一份作业核对答案，以强化计算技能。）
2.游戏大比拼。
师：接下来我们玩一个游戏，全班按座位分成红队和蓝队，这里有红蓝两袋数字卡片，分别是0～9。请看比赛规则（PPT显示）。
两位代表到前面摸卡片，组成下列算式：
蓝队：608×7□ 红队：937×8□
师采访蓝队：你们会输吗？
生：不会输，还有个位呢，如果我摸到9，我有可能赢。
师采访红队：你们一个个乐呵呵的，胜券在握？
生：我们肯定赢。蓝队600乘七十几，就算乘80，也只有四万多。我们八九七十二，七万多呢。
师：现在继续摸卡片。揭示蓝队608×79，红队937×82。赶紧算，分别得多少？算对加分。（核对答案，略）
师：确实红队得数大。蓝队别泄气，还有机会哦！第二局游戏现在开始，各队可以调整数字的位置。各队好好商量一下，怎样调整积最大？（学生热烈地讨论）
蓝队：我们调整为860×97，这是最大的了！
红队：我们调整为872×93！
师：赶紧动笔算！（学生迫不及待，认真笔算） 蓝队一名学生：不对不对！我们还要改一下，870×96！
师：为什么要改呀？97不是大于96嘛？
生（笑）：我列竖式的，870×96大！
生：0不要了，86×97和87×96比，还是后面的大！
师：好的，红队你们需要改吗？
红队：不要！
师：现在比赛的格局是蓝队870×96，红队872×93。两个得数越来越逼近了！动笔算过了，积到底是多少？
蓝队：我们等于83520！
红队：我们等于81096。
师：这一局蓝队齐心协力反败为胜了，三位数乘两位数真有意思，同学们不仅会算、算得对，还会排兵布阵用策略，真棒！
四、总结升华
师：同学们，老师翻了五六年级的数学书，发现今天学习的三位数乘两位数是小学阶段最后一节整数乘法课，像四位数乘两位数、三位数乘三位数这类的教学内容，书上都没有了。丁老师小时候学过，你们现在怎么不学了呢？
生：因为方法是一样的。
师：是啊，只要把握住了根本的方法，把这个“先分后合”的根留住，无论是两位数乘两位数，还是三位数乘两位数，甚至更多数位的整数乘法，都只是伸出来的枝蔓了。（教师画出大树写意图）
师：其实呀，现在不再学多位数乘多位数，还有一个原因。（出示人机大战图）
生：计算机算得比人快！
生：以后都是智能化了，不需要列竖式算。
师：是啊，信息化时代的计算机技术迅猛发展，科技的进步已经使人类摆脱了烦琐复杂的纸笔计算。话说回来，既然计算机那么厉害，那我们今天为什么还要学习三位数乘两位数呢？
生：计算机是人发明的！
生：人有感情，机器没有。
生：像今天这种简单的计算我们还是要学会的，特别复杂的就用计算机。
师：说得真好！人类的智慧是无穷的。同学们课后可以查阅关于计算的资料，下次我们再好好交流，好期待哦！下课！
【评析】
有教师认为，“三位数乘两位数”太简单了，算法与两位数乘两位数完全相同，便机械地开展教学：尝试例题—交流、概括算法—基础练习、纠错练习。这样的教学使计算教学止于外显的数学知识技能训练，忽视了计算教学的内容和意义。
法与理的共存、过程与结果的和谐、数学文化与儿童立场的相融、计算教学与时代背景的映照……计算教学并不简单，隐含着丰富的内隐性数学教学资源。丁老师巧妙设计，有效开发计算教学的内隐性资源，现撷取以下三个方面略作点评。
1.展现“过程性知识”：让计算真正发生。
过程性知识是一种内隐性数学课程资源。如果以动态数学观审视课程资源，就会发现许多内隐性资源依附在过程之中，有过程就有体验，有体验就会形成经验，体验过程而形成经验的知识称为过程性知识。三位数乘两位数的算法是结果性知识，如果快速揭示结果性知识，然后施加大量的训练，表面上看学生一直在算，但这不是完整意义上的计算，触发认知的计算并没有真正发生。教师不仅要使学生掌握结果性知识，更要将关于三位数乘两位数的问题、语言、方法、命题这一条逻辑链清晰地展示出来，让学生经历知识的产生过程。
丁老师高度重视过程性知识的生成过程，让学生独立尝试计算，即便几乎全班学生都会算，也没有即刻总结算法，而是停下来，抛出“今天的迁移是正迁移吗？”打破了学生潜意识中对正迁移的默认。学生的思维瞬间被打开，他们用各种方法进行验证，充分经历计算体验，逐渐沉淀为丰富的学习经验。再比如“红队蓝队游戏大比拼”的游戏，输赢的结果不是根本目的，生成数学思考、灵活运用多种策略解决问题、积累计算经验等过程性知识才是它的核心目标。
2.积淀“数学文化资源”：让计算意蕴深厚。
作为课程资源的重要组成部分，数学文化发挥着重要的作用，它的诸多要素都是内隐性课程资源。本课中，丁老师重点关注了以下两个重要元素。
数学思想方法。小学数学教学中的数学思想偏于内隐性且实用性不鲜明，但是它作为内隐性课程资源不应该被忽视。本课中的大树简笔画、板条图、学生的数学表示以及推荐阅读国外不同算法，旨在让学生感悟“类推思想”“数形结合思想”“模型思想”等数学思想方法。当然，这些数学思想方法的渗透不是生硬晦涩的，而是融化在基于兒童立场的童化表达中。
数学价值观。数学的工具价值和人文价值是一个硬币的正反两面，缺一不可。丁老师在课尾引发学生思辨为什么不再学整数乘法，学生一下子就抓住了学习的本质。紧接着，人机大战的图片把学生的目光投射到时代背景，古今贯通，辩证地看待笔算和人工智能，数学的工具性和人文性实现了完美的统一。有了数学思想方法、数学价值观的渗透，计算教学就走出了浅表化而具有深厚的文化意蕴。
3.活化“内隐条件性资源”：让儿童在计算课幸福沉醉。
数学教学的环境元素是内隐条件性资源，本课中内隐条件性资源的开发是多方位的。例如，创设富有挑战性的“红队蓝队游戏大比拼”游戏情境，让枯燥的计算练习变得智趣飞扬；营造师生平等的心理情境，丁老师像个长大的儿童和学生一起玩计算，放飞儿童的灵性，接纳儿童的错误；建立师生互动、生生互动的对话情境，组织学习共同体，营造知识建构的社会化情境……下课时，学生意犹未尽，嘟囔“还没过瘾呢”，听课教师也沉浸其间，慨叹“计算也疯狂，数学真好玩”。
总之，计算教学中内隐性教学资源的开发是一个关乎学生数学素养提升的重要命题，它好似大海上的一座冰山，这个成功的案例只是冰山的一角，我们的探索还在继续。
【参考文献】
[1]喻平.论内隐性数学课程资源[J].中国教育学刊，2013（07）：59-63.
[2]林娟娟.数学思维可视化教学浅谈[J].江苏教育，2017（17）：66-67.
（作者单位：南京市长江路小学）