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李文富，1975年3月出生，男，江苏扬州人，中共党员，中学高级教师，扬州市学科带头人，国家二级心理咨询师，中国少先队工作学会会员，扬州市维扬实验小学北区校校长。他多年致力于小学数学、综合实践活动课程和“新劳动教育”的研究和实践，倡导“做中学”，主张“幸福教育”，曾获“长三角影响力校长”称号。
陶行知的“创造教育”思想一直是教育界重点研究的主题之一。陶行知先生曾说：“教育是要在儿童自身的基础上，过滤并适用环境的影响，以培养、加强这种创造力，使他们成长得有力量，以贡献民族与人类。”教师践行陶行知先生的“创造教育”思想，要针对学生的错误资源进行深入讲解，让学生从错误中汲取经验，发展创造力，进而促进学生的全面发展。基于此，笔者针对学生的错误资源进行深入探究，通过“容错”，指导学生进行深度辨析;通过“化错”，让学生将知识融会贯通;通过“理错”，培养学生的反思意识;通过“用错”，建构学生的数学知识体系。
一、容错，指导深度辨析
容错是指教师要容忍学生在学习过程中出现的错误，这种错误可以是记忆性问题，也可以是理解性问题。学生在学习的过程中出错是在所难免的，教师不应批评学生，而是要引导学生对错误进行深度辨析，以实现学生对知识的创造性理解，进而培养学生的创造能力。
例如，在教学“三位数乘两位数”这一节时，为了让学生习得多位数相乘的数学知识，教师可以针对学生的错误进行深度辨析，让学生实现对知识的创造性理解。在学习“三位数乘两位数”的计算方法时，学生经常会因为竖式中数字位置的错误出错。教师就可以针对这一问题让学生进行多位数乘法竖式的乘法概念辨析。首先，教师问：“两位数乘两位数，如何列竖式进行计算？”学生思考后回答：“先用第二个数的个位和第一个数的两位相乘，所得积从个位起写在横线下方的第一行，接着用第二个数的十位数分别与第一个数的两位数相乘，所得积从十位起写在横线下第二行，最后将两行数字相加就得到了答案。”教师继续引导：“三位数乘两位数，多出了一位数，因此只需要再列一横行，将与百位数相乘的数字写在横线下第三行，但是所写的位置要再向左移动一位，这样就能够实现三位数乘两位数的计算。大家现在尝试着计算16×128这一题目。”学生开始计算：先将8、2分别与1、6相乘，写在竖式下方第一、二行，接着用1与1、6相乘，写在竖式下方第三行，再进行相加，就实现了对这一竖式的计算。这样辨析完成后，学生就更高效地理解了多位数乘法计算的相关知识。
这样引导学生对数学知识进行深度辨析，不仅让学生了解到自己认知中存在的错误，形成了对数学知识的正确认識，还让学生养成了正视自身数学错误的习惯，为进一步的错误资源拓展打下了良好的基础。
二、化错，务求融会贯通
化错是指教师把学生出现的错误化为教学资源，并相机融入后续的教学中，利用错误资源强化学生解题能力，实现学生对数学知识的融会贯通。“正确”是从对“错”的辨析、筛选中逐步形成的，教师引导学生进行化错，就是要让学生理解自己是如何出错的，从而在以后避免出现这种问题。这样就有效培养了学生的错误反思能力，对学生的创造能力发展也具有促进作用。
例如，在教学“运算律”这一节时，为了让学生习得与运算律相关的数学知识，教师可以引导学生化用错误，以实现学生对数学知识的融会贯通。教师带领学生阅读课本，复习之前学过的（a+b）+c=a+（b+c）加法结合律，接着让学生对自己曾经做错的题展开分析，并提问：“29+46+54应如何计算？”学生首次做题时往往不能正确分析和组合其中的条件，导致计算过程并不简便，这属于学生不能将数学公式套用在实际题目中的问题。教师要针对这一问题引导学生进行化错，首先让学生思考：“大家观察这一算式，从个位数看起，哪两个数相加可以实现简便运算？”有的学生发现46和54相加，个位数字得0。而有的学生认为应先将29与46相加，个位数字得5，这样也可以实现简便运算。教师继续引导学生：“我们来看46和54的十位数相加是不是得到9，再加上个位数，是不是直接可以得出100的答案？”由此，学生理解了如何利用加法结合律进行多项式简便运算。之后，教师接着设计其他题目让学生进一步巩固。
教师在进行化错时要注重其与容错之间的区别，容错一般是对概念性知识进行辨析，让学生了解数学概念的正确定义，形成正确理解，而化错则是让学生实现对知识的融会贯通。
三、理错，培养反思意识
理错是指教师带领学生对在学习中出现的典型错误进行相关题目的整理，让学生的视野不再局限于一个题目，而是通过对某一类别题目的梳理，形成自己解决问题的通用方法。在这一过程中，学生不仅培养了反思意识，还形成了理错反思的习惯与能力。
例如，在教学“三角形、平行四边形和梯形”这一节时，为了让学生习得与平面几何图形相关的数学知识，教师可以引导学生对错误题目进行梳理，让他们对某一类别的题目形成正确认知。在这一节中，学生最常出错的就是判断三条线段是否能围成三角形的题目。对此，教师可以提问：“我们判断三条线段能否围成三角形，是凭借什么条件？”学生找到课本中的相关定义“三角形任意两边长度的和大于第三边”进行证明。教师追问：“在2、4、6和2、2、5和2、5、6这三组边中，如何快速应用这一定理判断一组中的三条线段是否能围成三角形？”学生反思，因为是寻找两边长度和大于第三边，只需要让最小的两边相加就可以判断任意两边相加是否大于第三边。2、4、6这一组中，只需要将2、4相加，发现结果不大于6，就可以判断其不能构成三角形;而2、2、5这一组边中也可以很明显地发现2+2=4，小于5，所以无法形成三角形;2、5、6这一组中，2+5=7，大于6，因此可以组成三角形。这样，学生就通过反思形成了对错题的梳理。
教师指导学生记录个人梳理错误的方法，可以使其养成整理错题和善于反思的习惯。
四、用错，建构知识体系
错题资源不仅仅是学生的反思对象，更是学生形成新知识、提升数学能力的突破点。教师要引导学生提取错题中的精华，建构与错题相关的知识体系，进而促进其创新能力、创造能力的提高。
例如，在教学“确定位置”这一节时，为了让学生习得与坐标系相关的数学知识，教师可以引导学生利用自己的错误建构知识体系。教师可以根据学生在读坐标时出现的错误向学生讲解：“大家在确定某一地点的位置时，首先要确定的是横坐标，也就是横轴中表示的数字。当确定横坐标后，我们再确定纵轴上的数字，也就是纵坐标。大家一定要记住（3，5）这样的点，所表示的是以坐标原点为中心，向上方、右方进行延伸的坐标轴内的某一位置。这样，我们在查找坐标时，通过横纵坐标移动的位置，就可以确定不同的点，这就是平面坐标系的强大之处。”针对坐标系的知识进行系统讲解后，教师可以再通过一些练习题让学生进行强化训练，使其能够活学活用所学知识。
错误是宝贵的资源，出错的地方就是学生最薄弱的学习环节。教师合理引导学生运用错题，能够让学生自觉运用自己建构的知识体系解决问题。
以上拓展错误资源的方法，有效践行了陶行知的“创造教育”思想，培养了学生的创造能力，促进了学生数学学习能力的提升。笔者期待有更多同人对这一领域展开更深层的研究，探索出更多有效的方法促进学生的数学知识学习，进而提升学生的数学能力。
陶行知的“创造教育”思想一直是教育界重点研究的主题之一。陶行知先生曾说：“教育是要在儿童自身的基础上，过滤并适用环境的影响，以培养、加强这种创造力，使他们成长得有力量，以贡献民族与人类。”教师践行陶行知先生的“创造教育”思想，要针对学生的错误资源进行深入讲解，让学生从错误中汲取经验，发展创造力，进而促进学生的全面发展。基于此，笔者针对学生的错误资源进行深入探究，通过“容错”，指导学生进行深度辨析;通过“化错”，让学生将知识融会贯通;通过“理错”，培养学生的反思意识;通过“用错”，建构学生的数学知识体系。
一、容错，指导深度辨析
容错是指教师要容忍学生在学习过程中出现的错误，这种错误可以是记忆性问题，也可以是理解性问题。学生在学习的过程中出错是在所难免的，教师不应批评学生，而是要引导学生对错误进行深度辨析，以实现学生对知识的创造性理解，进而培养学生的创造能力。
例如，在教学“三位数乘两位数”这一节时，为了让学生习得多位数相乘的数学知识，教师可以针对学生的错误进行深度辨析，让学生实现对知识的创造性理解。在学习“三位数乘两位数”的计算方法时，学生经常会因为竖式中数字位置的错误出错。教师就可以针对这一问题让学生进行多位数乘法竖式的乘法概念辨析。首先，教师问：“两位数乘两位数，如何列竖式进行计算？”学生思考后回答：“先用第二个数的个位和第一个数的两位相乘，所得积从个位起写在横线下方的第一行，接着用第二个数的十位数分别与第一个数的两位数相乘，所得积从十位起写在横线下第二行，最后将两行数字相加就得到了答案。”教师继续引导：“三位数乘两位数，多出了一位数，因此只需要再列一横行，将与百位数相乘的数字写在横线下第三行，但是所写的位置要再向左移动一位，这样就能够实现三位数乘两位数的计算。大家现在尝试着计算16×128这一题目。”学生开始计算：先将8、2分别与1、6相乘，写在竖式下方第一、二行，接着用1与1、6相乘，写在竖式下方第三行，再进行相加，就实现了对这一竖式的计算。这样辨析完成后，学生就更高效地理解了多位数乘法计算的相关知识。
这样引导学生对数学知识进行深度辨析，不仅让学生了解到自己认知中存在的错误，形成了对数学知识的正确认識，还让学生养成了正视自身数学错误的习惯，为进一步的错误资源拓展打下了良好的基础。
二、化错，务求融会贯通
化错是指教师把学生出现的错误化为教学资源，并相机融入后续的教学中，利用错误资源强化学生解题能力，实现学生对数学知识的融会贯通。“正确”是从对“错”的辨析、筛选中逐步形成的，教师引导学生进行化错，就是要让学生理解自己是如何出错的，从而在以后避免出现这种问题。这样就有效培养了学生的错误反思能力，对学生的创造能力发展也具有促进作用。
例如，在教学“运算律”这一节时，为了让学生习得与运算律相关的数学知识，教师可以引导学生化用错误，以实现学生对数学知识的融会贯通。教师带领学生阅读课本，复习之前学过的（a+b）+c=a+（b+c）加法结合律，接着让学生对自己曾经做错的题展开分析，并提问：“29+46+54应如何计算？”学生首次做题时往往不能正确分析和组合其中的条件，导致计算过程并不简便，这属于学生不能将数学公式套用在实际题目中的问题。教师要针对这一问题引导学生进行化错，首先让学生思考：“大家观察这一算式，从个位数看起，哪两个数相加可以实现简便运算？”有的学生发现46和54相加，个位数字得0。而有的学生认为应先将29与46相加，个位数字得5，这样也可以实现简便运算。教师继续引导学生：“我们来看46和54的十位数相加是不是得到9，再加上个位数，是不是直接可以得出100的答案？”由此，学生理解了如何利用加法结合律进行多项式简便运算。之后，教师接着设计其他题目让学生进一步巩固。
教师在进行化错时要注重其与容错之间的区别，容错一般是对概念性知识进行辨析，让学生了解数学概念的正确定义，形成正确理解，而化错则是让学生实现对知识的融会贯通。
三、理错，培养反思意识
理错是指教师带领学生对在学习中出现的典型错误进行相关题目的整理，让学生的视野不再局限于一个题目，而是通过对某一类别题目的梳理，形成自己解决问题的通用方法。在这一过程中，学生不仅培养了反思意识，还形成了理错反思的习惯与能力。
例如，在教学“三角形、平行四边形和梯形”这一节时，为了让学生习得与平面几何图形相关的数学知识，教师可以引导学生对错误题目进行梳理，让他们对某一类别的题目形成正确认知。在这一节中，学生最常出错的就是判断三条线段是否能围成三角形的题目。对此，教师可以提问：“我们判断三条线段能否围成三角形，是凭借什么条件？”学生找到课本中的相关定义“三角形任意两边长度的和大于第三边”进行证明。教师追问：“在2、4、6和2、2、5和2、5、6这三组边中，如何快速应用这一定理判断一组中的三条线段是否能围成三角形？”学生反思，因为是寻找两边长度和大于第三边，只需要让最小的两边相加就可以判断任意两边相加是否大于第三边。2、4、6这一组中，只需要将2、4相加，发现结果不大于6，就可以判断其不能构成三角形;而2、2、5这一组边中也可以很明显地发现2+2=4，小于5，所以无法形成三角形;2、5、6这一组中，2+5=7，大于6，因此可以组成三角形。这样，学生就通过反思形成了对错题的梳理。
教师指导学生记录个人梳理错误的方法，可以使其养成整理错题和善于反思的习惯。
四、用错，建构知识体系
错题资源不仅仅是学生的反思对象，更是学生形成新知识、提升数学能力的突破点。教师要引导学生提取错题中的精华，建构与错题相关的知识体系，进而促进其创新能力、创造能力的提高。
例如，在教学“确定位置”这一节时，为了让学生习得与坐标系相关的数学知识，教师可以引导学生利用自己的错误建构知识体系。教师可以根据学生在读坐标时出现的错误向学生讲解：“大家在确定某一地点的位置时，首先要确定的是横坐标，也就是横轴中表示的数字。当确定横坐标后，我们再确定纵轴上的数字，也就是纵坐标。大家一定要记住（3，5）这样的点，所表示的是以坐标原点为中心，向上方、右方进行延伸的坐标轴内的某一位置。这样，我们在查找坐标时，通过横纵坐标移动的位置，就可以确定不同的点，这就是平面坐标系的强大之处。”针对坐标系的知识进行系统讲解后，教师可以再通过一些练习题让学生进行强化训练，使其能够活学活用所学知识。
错误是宝贵的资源，出错的地方就是学生最薄弱的学习环节。教师合理引导学生运用错题，能够让学生自觉运用自己建构的知识体系解决问题。
以上拓展错误资源的方法，有效践行了陶行知的“创造教育”思想，培养了学生的创造能力，促进了学生数学学习能力的提升。笔者期待有更多同人对这一领域展开更深层的研究，探索出更多有效的方法促进学生的数学知识学习，进而提升学生的数学能力。