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[摘 要]全面分析教学内容、学情及不同版本教材，深入挖掘周期现象规律背后的数学本质，以学生为主体，从生活环境出发，通过一系列趣味性、实践性、开放性的教学活动，让学生亲历解决问题的全过程。学生在学习中能够认识到周期现象背后是除法这一数学本质，习得思想方法，形成数学眼光。
[关键词]周期现象;建模;除法;学生视角
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0014-04
【教学内容】北京版教材二年级下册第6～7页“探索规律”。
【教材分析】
课程标准要求本节课能引导学生探索简单情境下的变化规律，希望学生感悟到“对于有规律性的事物，无论是用数字还是用字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同”。周期现象的教育价值在于让学生通过自主探究，形成发现规律、遵循规律、使用规律的习惯，并能通过眼前现象判断后续发展情况，通过局部规律把握整体结构，通过有限想象发展数感和符号感，进而在探索中获取解决简单周期现象问题的方法。
【学情分析】
学生的知识和技能基础是有余数的除法，以及一年级的“找规律”;学生的生活经验和情感基础是能够对生活中重复出现的一些周期现象进行调查、观察和记录，对规律的存在和应用的普遍性、广泛性已有初步的认知，产生了一定的好奇心和探究的内驱力。这节课的内容既是对有余数除法的巩固和应用，同时也是学生下一步研究较复杂的周期规律和进一步用数学表达规律的基础。
【教材对比】
人教版教材的“找规律”是“有余数除法”单元的最后一个内容，这一点与北京版教材一致，教材设计思路是让学生通过分析已知条件发现规律的存在，并明确问题;在解决问题时提供了接着画和除法两种解决方案，及余数在解决周期现象问题时的用法。
而北师大版教材的“找规律”是“数学好玩”板块的第二个探究问题，它的设计特色是呈现包含了多种规律现象的情境图，让学生发现周期现象的存在，并给予多元表征方案。
北京版教材的“找规律”是以棋子作为探索素材，外部特点比较鲜明，探究步骤明确，循序渐进，能够引发学生操作的欲望。该内容包括例题、1题“试一试”和3题“练一练”。例题由四幅情景图构成，第一幅图是让学生摆，在摆的过程中发现规律;第二幅图是在第一个图的基础上让学生圈一圈，每组都是三个，这里渗透了平均分，其中“最后一个是本组的第几个”这个问题已经与除法发生联系;紧跟着的两幅图与上面例题对应，得出两种分组方案。再往下面分，出现了“一白两黑”为一组的周期现象，补充了两种颜色的周期现象。通过这样的三道例题探索规律，基本符合完全归纳法的要求——通过三个实例概括出一个规律。
笔者对教材的改造：第一幅图和后面棋子的例子是雷同的，都是3个一组，除以3。对此，改成3个一组的例子、4个一组的例子和7个一组的例子，提供的素材更丰富。
对于练习题，“试一试”部分是第三个情境图的延伸，是让学生体会余2和没有余数情况下怎么判断;“练一练”部分，第一题是生活中的排队，第二题是图形的排列，第三题是操场旗子的排列，分别弥补了4个一组、5个一组的周期现象，都是对前面例题的巩固和加强。
【教学目标】
（1）通过观察、操作等方式，让学生初步感悟和认识到周期现象背后就是平均分，发现带有周期性规律实际问题里的除法关系（包括有余数和无余数两种情况），亲历解决问题的全过程。
（2）能用自己的发现解决生活中相应的、简单的实际问题，丰富学生对除法学习价值的认识，让学生初步认识到周期现象的一般特征“几个一组，重复出现，每组出现的因子顺序不变”，进一步培养学生的“数学眼光”。
（3）让学生认识到有余数的除法在周期现象中的使用价值，在自主解决问题的过程中，从多种解决问题的方法中寻求最佳方案，为未来的探索规律提供一些初步的活动经验，进一步地激发学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】
（1）认识周期现象的规律特征。
（2）认识到周期现象背后是除法这一数学本质。
【设计理念】
（1）以学生为主体，捕捉学生提出的有价值信息，并提升和增强学生学习的信心;
（2）让学生在自主活动中发现规律;
（3）注重学生对于思想和方法的学习;
（4）设置一系列操作性活动，让学生通过体验获得更深刻的感悟。
【重难点突破的策略】
（1）大量调查和研究能让学生得到充分的课前感知，熟悉规律;
（2）适当布置学习环境，让学生耳濡目染，长期浸润;
（3）让学生动手操作，画一画、圈一圈，在这个过程中感悟到周期现象和平均分有关，继而感受到周期和除法有关;
（4）采取指果索因的办法，让学生看一道题的结果想如何用除法证明答案是对的。
【教学过程】
1.游戏导入，发现周期现象
师：看到我的卡片盒了吗？对于会思考、会倾听的学生，我会毫不吝啬地发放手里的卡片。今天干什么呢？第一個环节，教你用电脑打字，打什么字？打一个学生名字。那打谁的名字？为了公平起见，抽签决定。谁来抽签？挑一个今天早上进步最大的学生——孙焱淳！
（打出“孙焱淳”后，由孙焱淳抽签，她抽到“范婧瑄”，于是用拼音打出“范婧瑄”。）
师：我非常喜欢范婧瑄，所以我想做一个长长的纸条，上面写满“范婧瑄”，然后绕地球一圈，让全世界都知道她的名字。为了简便，我就要选中前面的，先复制，再粘贴。这样一组一组地粘贴，是不是快了很多啊，后面写不下的，我用省略号表示。
【设计意图：以游戏的形式吸引学生快速进入学习状态，并给予学生正面鼓励;任务中的不断重复，向学生传输简便做事的方法和思想。】 师：这一行字有什么特点？
生1：永远3个字一组，“范婧瑄”三个字重复出现，而且3个字永远都是“范”第一、“婧”第二、“瑄”第三，每组字的顺序不变。
师（在课件上一组一组地圈出来）：这种3个一组、顺序不变、重复出现的现象就是周期现象。
师：世界那么大，只有这一种周期现象吗？在生活中、数学中、自然中，你见过这种几个一组、重复出现、顺序不变的现象吗？
生2：一周有7天，不断重复;春夏秋冬，四季轮回，不断重复。
2.层层深入，探寻“规律”本质
（1）第一次找规律
师：我们在这些周期现象中找一找规律。2个花字和1个福字是一组，如果这样子一直排列下去，第19个是什么呢？你能确定吗？把你的想法写在本子上。
（教师巡视，引导学生回忆一年级找规律时学到的“万物皆数”思想——以简洁的字母、符号、数字等来表示同一种规律。）
师：有同学想把花画下来，这样有必要吗？怎么做更简便？
生3：数学是追求简洁的，我们可以用符号来研究——□□△□□△□□△……
师（展示学生的方法：掰手指数数，画图一个一个地数，三个三个地数）：总不能遇见这种找规律的问题就画出来吧，如果找第1000个是什么，也是画和掰手指数吗？有没有别的办法？
生4：列算式。
师：我这样三个三个地圈，其实就是把19个字怎么分，随便分还是平均分？
生5：平均分。
师：平均分的话，你能想到哪个算式？
生6：19÷3=6……1。
師：怎么解释呢？这个算式没写第19个字是什么字啊？你怎么让这个算式会说话？
生7：19代表这一行有19个字，3代表一组有3个字，6代表三个三个地圈，可以圈出6组，余数1代表这样圈完6组还剩1个字没圈。
师：三个一组，所以我一组一组圈的话，一个圈里圈几个？
（学生继续圈，圈出5组，最后剩余1个字，与上面解释的除法算式中的每一个数字的含义相吻合。）
师：余数是1是什么意思，对解决问题有什么帮助？
生8：余数1就是代表最后一个字是这一组的第一个，每一组三个字的排列都是“花，花，福”，这一组的第一个是“花”，所以第19个字就是“花”。这是二年级的学习方法。
（2）第二次找规律
师：第20个字是什么？
生9：列算式，20÷3=6……2，所以第20个字是福字。
师：把20个符号三个三个地分，可以分成6组，剩余2个，也就是这一组字的第二个，即“福”字。
师（PPT展示提示语“（ ）个挂饰，（ ）个（ ）个地分，可以分成（ ）组，最后剩（ ）个，所以它是一组“花，花，福”字的第二个字，猜“花”。）：请根据提示语完整地表达出来。
师：三个三个地圈，在第20个字上做标记，以验证猜测。
师：余数是几，就是第几个。
（3）第三次找规律
师：继续猜，第21个字是什么？
生10：列算式：21÷3=7。
师：余数是0，代表什么？
生11：代表刚好够分成7组，没有剩余，最后一个挂饰就是这一组字“花，花，福”字的最后一个。
师：最后余数是几就是第几个，没有余数就是最后一个。
师：再用列算式的方法直接判断第26个、第27个分别是什么，不用画图验证。
【设计意图：用一组素材研究透三个一组的所有可能，创新点是第一次找规律是看图列算式，并讲解含义，习得新的找规律的方法，后两次是反过来，先根据问题列算式，再以图验证用算式找到的答案。两种解决问题的思路给予学生更深刻的解决问题体验，学生能够获取解决问题的成就感。】
（4）第四次找规律
师：上面是3个一组的，谁可以举一个4个一组的例子？
师（出示“春夏秋冬”四个字）：这是几个几个地分？
师：首先，第17个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第17个字，用箭头标识出来。
师：第18个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第18个字，用箭头标识出来。
师：第19个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第19个字，用箭头标识出来。
师：第20个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第20个字，用箭头标识出来。
【设计意图：区别3个一组的模式，用前面研究出来的方法探索4个一组的周期现象，巩固方法。】
（5）第五次找规律
师（出示2018年4月份的日历）：这个日历是按什么编排的？
生12：按周，一周7天，不断重复。
师：这个日历还有一个特点，认真观察一下。
生13：1号是周一，以此类推，7号是周日。
师：如果我把上面的周几擦掉，你能不能直接判断是周几？
师（盖住最上面的“周几”）：列算式计算30号、21号、19号分别是周几。
【设计意图：补充了与学生联系紧密的“一周7天”的例子，涵盖了有余数和没有余数两种情况。学生用前面研究出来的方法继续探索，解决生活中的问题，课程好玩又有趣。】
3.课堂小结
师：利用表格对前面的规律进行总结：
[3个一组
重复出现 除以3 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 4个一组
重复出现 除以4 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 7个一组
重复出现 除以7 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 17个一组
重复出现 除以17 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 …… …… …… …… ]
师：从前有座山，山上有座庙，庙里有个小和尚……如果问你第50个字是什么，该除以几呢？怎么判断呢？
生14：现在我不会算，但是我知道方法。除以17，余数是几就是第几个。
师：也就是说几个一组，就是除以几。判断方法都是余数是几就是第几个，没有余数就是最后一个。
【设计意图：表格的引入更有利于学生发现规律的共同之处和不同之处，学生能够进行横向和纵向的对比，体会到规律背后的数学本质。】
4.阅读教材
师：自学教材第6页，分析教材上的三道例题是几个一组出现的，应该除以几，讲清楚每一个数字和符号的含义。
【教学反思】
学生前期已经对周期性现象有一个多样的、整体性的、丰富的、生活化的感知，能够体会到研究周期的价值。要在不同素材的基础上探寻共同的规律，用不完全归纳法来推出数学知识的话，必须有一定数量的样本。本课至少用了四五种样本，不像教材只提供一种素材，那是不符合不完全归纳法找规律的方法的。
这节课紧扣数学本质，致力于研究周期现象与除法之间的关系，从而促使学生认识到周期现象的背后是数学上的除法。这节课从传统的注重猜的设计中跳出来，让学生用可见的事实探索规律，寻找结果背后的原因，更加直接、高效。综上，这节课设计了大量的动手操作和练习，是朴实无华，且深刻、高效、扎实的一节课。
【本文系北京市大兴区教育科学“十三五”规划课题“小学数学长线融合项目的实践研究”阶段性成果（课题批准文号：19GHX002）。】
（责编 金 铃）
[关键词]周期现象;建模;除法;学生视角
[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2021）23-0014-04
【教学内容】北京版教材二年级下册第6～7页“探索规律”。
【教材分析】
课程标准要求本节课能引导学生探索简单情境下的变化规律，希望学生感悟到“对于有规律性的事物，无论是用数字还是用字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同”。周期现象的教育价值在于让学生通过自主探究，形成发现规律、遵循规律、使用规律的习惯，并能通过眼前现象判断后续发展情况，通过局部规律把握整体结构，通过有限想象发展数感和符号感，进而在探索中获取解决简单周期现象问题的方法。
【学情分析】
学生的知识和技能基础是有余数的除法，以及一年级的“找规律”;学生的生活经验和情感基础是能够对生活中重复出现的一些周期现象进行调查、观察和记录，对规律的存在和应用的普遍性、广泛性已有初步的认知，产生了一定的好奇心和探究的内驱力。这节课的内容既是对有余数除法的巩固和应用，同时也是学生下一步研究较复杂的周期规律和进一步用数学表达规律的基础。
【教材对比】
人教版教材的“找规律”是“有余数除法”单元的最后一个内容，这一点与北京版教材一致，教材设计思路是让学生通过分析已知条件发现规律的存在，并明确问题;在解决问题时提供了接着画和除法两种解决方案，及余数在解决周期现象问题时的用法。
而北师大版教材的“找规律”是“数学好玩”板块的第二个探究问题，它的设计特色是呈现包含了多种规律现象的情境图，让学生发现周期现象的存在，并给予多元表征方案。
北京版教材的“找规律”是以棋子作为探索素材，外部特点比较鲜明，探究步骤明确，循序渐进，能够引发学生操作的欲望。该内容包括例题、1题“试一试”和3题“练一练”。例题由四幅情景图构成，第一幅图是让学生摆，在摆的过程中发现规律;第二幅图是在第一个图的基础上让学生圈一圈，每组都是三个，这里渗透了平均分，其中“最后一个是本组的第几个”这个问题已经与除法发生联系;紧跟着的两幅图与上面例题对应，得出两种分组方案。再往下面分，出现了“一白两黑”为一组的周期现象，补充了两种颜色的周期现象。通过这样的三道例题探索规律，基本符合完全归纳法的要求——通过三个实例概括出一个规律。
笔者对教材的改造：第一幅图和后面棋子的例子是雷同的，都是3个一组，除以3。对此，改成3个一组的例子、4个一组的例子和7个一组的例子，提供的素材更丰富。
对于练习题，“试一试”部分是第三个情境图的延伸，是让学生体会余2和没有余数情况下怎么判断;“练一练”部分，第一题是生活中的排队，第二题是图形的排列，第三题是操场旗子的排列，分别弥补了4个一组、5个一组的周期现象，都是对前面例题的巩固和加强。
【教学目标】
（1）通过观察、操作等方式，让学生初步感悟和认识到周期现象背后就是平均分，发现带有周期性规律实际问题里的除法关系（包括有余数和无余数两种情况），亲历解决问题的全过程。
（2）能用自己的发现解决生活中相应的、简单的实际问题，丰富学生对除法学习价值的认识，让学生初步认识到周期现象的一般特征“几个一组，重复出现，每组出现的因子顺序不变”，进一步培养学生的“数学眼光”。
（3）让学生认识到有余数的除法在周期现象中的使用价值，在自主解决问题的过程中，从多种解决问题的方法中寻求最佳方案，为未来的探索规律提供一些初步的活动经验，进一步地激发学生学习数学的兴趣。
【教学重难点】
（1）认识周期现象的规律特征。
（2）认识到周期现象背后是除法这一数学本质。
【设计理念】
（1）以学生为主体，捕捉学生提出的有价值信息，并提升和增强学生学习的信心;
（2）让学生在自主活动中发现规律;
（3）注重学生对于思想和方法的学习;
（4）设置一系列操作性活动，让学生通过体验获得更深刻的感悟。
【重难点突破的策略】
（1）大量调查和研究能让学生得到充分的课前感知，熟悉规律;
（2）适当布置学习环境，让学生耳濡目染，长期浸润;
（3）让学生动手操作，画一画、圈一圈，在这个过程中感悟到周期现象和平均分有关，继而感受到周期和除法有关;
（4）采取指果索因的办法，让学生看一道题的结果想如何用除法证明答案是对的。
【教学过程】
1.游戏导入，发现周期现象
师：看到我的卡片盒了吗？对于会思考、会倾听的学生，我会毫不吝啬地发放手里的卡片。今天干什么呢？第一個环节，教你用电脑打字，打什么字？打一个学生名字。那打谁的名字？为了公平起见，抽签决定。谁来抽签？挑一个今天早上进步最大的学生——孙焱淳！
（打出“孙焱淳”后，由孙焱淳抽签，她抽到“范婧瑄”，于是用拼音打出“范婧瑄”。）
师：我非常喜欢范婧瑄，所以我想做一个长长的纸条，上面写满“范婧瑄”，然后绕地球一圈，让全世界都知道她的名字。为了简便，我就要选中前面的，先复制，再粘贴。这样一组一组地粘贴，是不是快了很多啊，后面写不下的，我用省略号表示。
【设计意图：以游戏的形式吸引学生快速进入学习状态，并给予学生正面鼓励;任务中的不断重复，向学生传输简便做事的方法和思想。】 师：这一行字有什么特点？
生1：永远3个字一组，“范婧瑄”三个字重复出现，而且3个字永远都是“范”第一、“婧”第二、“瑄”第三，每组字的顺序不变。
师（在课件上一组一组地圈出来）：这种3个一组、顺序不变、重复出现的现象就是周期现象。
师：世界那么大，只有这一种周期现象吗？在生活中、数学中、自然中，你见过这种几个一组、重复出现、顺序不变的现象吗？
生2：一周有7天，不断重复;春夏秋冬，四季轮回，不断重复。
2.层层深入，探寻“规律”本质
（1）第一次找规律
师：我们在这些周期现象中找一找规律。2个花字和1个福字是一组，如果这样子一直排列下去，第19个是什么呢？你能确定吗？把你的想法写在本子上。
（教师巡视，引导学生回忆一年级找规律时学到的“万物皆数”思想——以简洁的字母、符号、数字等来表示同一种规律。）
师：有同学想把花画下来，这样有必要吗？怎么做更简便？
生3：数学是追求简洁的，我们可以用符号来研究——□□△□□△□□△……
师（展示学生的方法：掰手指数数，画图一个一个地数，三个三个地数）：总不能遇见这种找规律的问题就画出来吧，如果找第1000个是什么，也是画和掰手指数吗？有没有别的办法？
生4：列算式。
师：我这样三个三个地圈，其实就是把19个字怎么分，随便分还是平均分？
生5：平均分。
师：平均分的话，你能想到哪个算式？
生6：19÷3=6……1。
師：怎么解释呢？这个算式没写第19个字是什么字啊？你怎么让这个算式会说话？
生7：19代表这一行有19个字，3代表一组有3个字，6代表三个三个地圈，可以圈出6组，余数1代表这样圈完6组还剩1个字没圈。
师：三个一组，所以我一组一组圈的话，一个圈里圈几个？
（学生继续圈，圈出5组，最后剩余1个字，与上面解释的除法算式中的每一个数字的含义相吻合。）
师：余数是1是什么意思，对解决问题有什么帮助？
生8：余数1就是代表最后一个字是这一组的第一个，每一组三个字的排列都是“花，花，福”，这一组的第一个是“花”，所以第19个字就是“花”。这是二年级的学习方法。
（2）第二次找规律
师：第20个字是什么？
生9：列算式，20÷3=6……2，所以第20个字是福字。
师：把20个符号三个三个地分，可以分成6组，剩余2个，也就是这一组字的第二个，即“福”字。
师（PPT展示提示语“（ ）个挂饰，（ ）个（ ）个地分，可以分成（ ）组，最后剩（ ）个，所以它是一组“花，花，福”字的第二个字，猜“花”。）：请根据提示语完整地表达出来。
师：三个三个地圈，在第20个字上做标记，以验证猜测。
师：余数是几，就是第几个。
（3）第三次找规律
师：继续猜，第21个字是什么？
生10：列算式：21÷3=7。
师：余数是0，代表什么？
生11：代表刚好够分成7组，没有剩余，最后一个挂饰就是这一组字“花，花，福”字的最后一个。
师：最后余数是几就是第几个，没有余数就是最后一个。
师：再用列算式的方法直接判断第26个、第27个分别是什么，不用画图验证。
【设计意图：用一组素材研究透三个一组的所有可能，创新点是第一次找规律是看图列算式，并讲解含义，习得新的找规律的方法，后两次是反过来，先根据问题列算式，再以图验证用算式找到的答案。两种解决问题的思路给予学生更深刻的解决问题体验，学生能够获取解决问题的成就感。】
（4）第四次找规律
师：上面是3个一组的，谁可以举一个4个一组的例子？
师（出示“春夏秋冬”四个字）：这是几个几个地分？
师：首先，第17个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第17个字，用箭头标识出来。
师：第18个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第18个字，用箭头标识出来。
师：第19个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第19个字，用箭头标识出来。
师：第20个字是什么？列算式判断。圈一圈，找到第20个字，用箭头标识出来。
【设计意图：区别3个一组的模式，用前面研究出来的方法探索4个一组的周期现象，巩固方法。】
（5）第五次找规律
师（出示2018年4月份的日历）：这个日历是按什么编排的？
生12：按周，一周7天，不断重复。
师：这个日历还有一个特点，认真观察一下。
生13：1号是周一，以此类推，7号是周日。
师：如果我把上面的周几擦掉，你能不能直接判断是周几？
师（盖住最上面的“周几”）：列算式计算30号、21号、19号分别是周几。
【设计意图：补充了与学生联系紧密的“一周7天”的例子，涵盖了有余数和没有余数两种情况。学生用前面研究出来的方法继续探索，解决生活中的问题，课程好玩又有趣。】
3.课堂小结
师：利用表格对前面的规律进行总结：
[3个一组
重复出现 除以3 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 4个一组
重复出现 除以4 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 7个一组
重复出现 除以7 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 17个一组
重复出现 除以17 余数是几就是
第几个 没有余数就是
最后一个 …… …… …… …… ]
师：从前有座山，山上有座庙，庙里有个小和尚……如果问你第50个字是什么，该除以几呢？怎么判断呢？
生14：现在我不会算，但是我知道方法。除以17，余数是几就是第几个。
师：也就是说几个一组，就是除以几。判断方法都是余数是几就是第几个，没有余数就是最后一个。
【设计意图：表格的引入更有利于学生发现规律的共同之处和不同之处，学生能够进行横向和纵向的对比，体会到规律背后的数学本质。】
4.阅读教材
师：自学教材第6页，分析教材上的三道例题是几个一组出现的，应该除以几，讲清楚每一个数字和符号的含义。
【教学反思】
学生前期已经对周期性现象有一个多样的、整体性的、丰富的、生活化的感知，能够体会到研究周期的价值。要在不同素材的基础上探寻共同的规律，用不完全归纳法来推出数学知识的话，必须有一定数量的样本。本课至少用了四五种样本，不像教材只提供一种素材，那是不符合不完全归纳法找规律的方法的。
这节课紧扣数学本质，致力于研究周期现象与除法之间的关系，从而促使学生认识到周期现象的背后是数学上的除法。这节课从传统的注重猜的设计中跳出来，让学生用可见的事实探索规律，寻找结果背后的原因，更加直接、高效。综上，这节课设计了大量的动手操作和练习，是朴实无华，且深刻、高效、扎实的一节课。
【本文系北京市大兴区教育科学“十三五”规划课题“小学数学长线融合项目的实践研究”阶段性成果（课题批准文号：19GHX002）。】
（责编 金 铃）