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摘 要：在课堂教学中，常常有很多“节外生枝”的状况出现，教师对待这些状况不能一味地打压或放任自流，而是应该合理地引导，激发学生进一步去思考去探索，生成有价值的教学成果。
关键词：数学课堂；意外生成；反思
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）23-119-2
《三角恒等变换》是苏教版普通高中课程标准试验教科书必修4中的一章，是前面所学任意角三角函数、诱导公式的延伸和发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。“两角和与差的余弦”是本章的起始内容，是后续学习两角和与差的正弦、正切以及二倍角公式的知识基础和方法源泉。由于向量还没有学习，所以在教学过程中要引导学生采用单位圆利用两点间的距离公式推导两角差的余弦公式，由于教学的对象是三星级普通高中的学生，有一定的逻辑思维能力，对用一般到特殊、数形结合、化归与转化、方程思想已经有了一定基础，但远远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平，因此在课的设计上先利用几何法得出公式，在利用單位圆进行严格证明。
下面是笔者本节教学中的部分实录，藉此阐明课堂教学中尊重学生的发现，体现学生学习的主体性。
镜头一：新课引入部分
思考：鲁宾斯基曾经说过：“对于形成任何一种能力，都必须首先引起对某种类型活动的十分强烈的需要”。需要是产生动力的源泉，要激发学生的学习需要，调动学生学习的积极性，教学中就应该努力为学生创设积极的求知情境，把教师要教的变成学生要学的。教学中要多些采自身边的问题，学生感兴趣的问题，使他们倍感亲切，尤其是解直角三角形问题，学生可以有很大的思考和活动的空间，在小组活动的氛围当中，学生很容易得出正确的关系式，尝到了发现真理的快乐，自然而然地发现了特定条件下的两角差的余弦公式，为一般化证明奠定了目标基础。
镜头二：公式证明部分
师：同学们已经有了处理任意角三角函数问题的方法，诱导公式的证明，我们都利用了什么图形解决的？
生（全体）：利用单位圆。
师：要证明这个等式对任意角都成立，如果找不到其他办法，不妨我们就回到我们熟悉的单位圆中来解决问题。
师：请同学们根据下面问题进行小组交流。
问题1：如何在单位圆中做出角α，β，α-β的终边呢？
问题2：角α，β，α-β的终边与单位圆交点P1，P2，P3的坐标是什么？
问题3：如何将角α，β，α-β的终边与单位圆的交点P1，P2的坐标与cos（α-β）联系起来，怎样建立这种等量关系呢？
独白：现行的教学理念很崇尚学生探究，实际教学当中如果一味放手，很多时候会变成漫无目的的探索，常常是无疾而终。在数学教学当中要提升教学的有效性，应该注重数学教学的“四化”，即数学化的原则、适度形式化的原则、问题驱动化原则和渗透数学思想方法的原则。在此环节的处理上采用了“活动单”的方式，布置学生进行小组合作探究，逐步展开，降低公式推导理解难度，进而解决问题，请同学展示自己的研究成果。先与學生共同确定要探究的内容和目标，明确探究的方法再让学生进行探究，排除更多的无关因素的干扰，力求学生更多精力放在等式的寻找和证明当中。
独白：在自己备课的时候，我真没想过这种情况，学生2提出的问题是等量关系的选取不同出现的结果，实际上化简的结果也是两角差的余弦公式，只不过表示的形式不同而已，也正好体现出公式中角的任意性。我相信通过本节课的学习，学生2对本章所有的公式角的任意性都会有比别人更加深刻的认识，因为人性中最深切的心理动机是被人赏识的渴望，所以，后面是这样处理的。
师：这位同学的想法非常好，我们应该给勤于动脑的同学2掌声鼓励。这个式子实际上就是我们要证明的两角差的余弦公式（学生有些不安起来），同学们，我们在做角的时候虽然在一圈之内选取的α，β且满足α>β，实际上任意α，β利用周期性都可以化到0～2π进行解决，也就是说公式是对任意的两个角都是成立的。既然这样，如果我令α-β=θ，学生2得到的式子就可以写成cos（α-θ）=cosαcosθ sinαsinθ，这不就是两角差的余弦公式么！我们要感谢学生2用事实给我展示了公式中角的“任性”。
……
然后，我和同学们继续研究公式的特点以及公式的使用，整节课正是因为及时肯定了学生2的想法，让学生感受到了尊重，又用“任性”等流行词对公式角的特点进行形象的解释，刺激了学生的兴奋点，使得一节课在轻松活泼的气氛中很快过去了。
教后反思：学生2提出的问题在意料之外，可以说是意外生生枝。教师在把课堂的主动权给学生的时候要考虑这种节外生枝情况，探究之路偏离了原方向该怎么办？如果我们仅仅是硬生生的拉回，就失去了以学生为主导的课堂设计本意；如果我们放任不管，那种“放羊式”的探究也很难达成学习目标。如何解决这种矛盾，是数学教师进行教学设计要认真考虑的问题。我个人认为，教师在问题设计时要在关键的点处指明探求大概方向，而不是方位。若问题太细，指向性太强，像路标一样，那是“伪探究”，达不到培养学生能力的目的。
回顾小组讨论中，我提出的三个问题，应该说梯度恰当，但是指向性还是比较明显，这个也是数学教师需要探讨的地方，一方面要留给学生一些神秘感，有探究的欲望，又不能像我们现在的汽车导航一样，只要按照提示走，你一定会到达终点。当然教师在备课时要对课题有着充分的认识，全面的考虑，不能以我为中心，因为我们面对的是有着鲜活生命的四十几个不同的个体，它们有着不同的思想，我们要懂得尊重他们的想法，给学生展示自己思维的机会，当然在这整个过程中教师也得到一个极大的提升。
关键词：数学课堂；意外生成；反思
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）23-119-2
《三角恒等变换》是苏教版普通高中课程标准试验教科书必修4中的一章，是前面所学任意角三角函数、诱导公式的延伸和发展，是培养学生推理能力和运算能力的重要素材。“两角和与差的余弦”是本章的起始内容，是后续学习两角和与差的正弦、正切以及二倍角公式的知识基础和方法源泉。由于向量还没有学习，所以在教学过程中要引导学生采用单位圆利用两点间的距离公式推导两角差的余弦公式，由于教学的对象是三星级普通高中的学生，有一定的逻辑思维能力，对用一般到特殊、数形结合、化归与转化、方程思想已经有了一定基础，但远远未达到综合运用这些方法自主探究和证明两角差余弦公式的水平，因此在课的设计上先利用几何法得出公式，在利用單位圆进行严格证明。
下面是笔者本节教学中的部分实录，藉此阐明课堂教学中尊重学生的发现，体现学生学习的主体性。
镜头一：新课引入部分
思考：鲁宾斯基曾经说过：“对于形成任何一种能力，都必须首先引起对某种类型活动的十分强烈的需要”。需要是产生动力的源泉，要激发学生的学习需要，调动学生学习的积极性，教学中就应该努力为学生创设积极的求知情境，把教师要教的变成学生要学的。教学中要多些采自身边的问题，学生感兴趣的问题，使他们倍感亲切，尤其是解直角三角形问题，学生可以有很大的思考和活动的空间，在小组活动的氛围当中，学生很容易得出正确的关系式，尝到了发现真理的快乐，自然而然地发现了特定条件下的两角差的余弦公式，为一般化证明奠定了目标基础。
镜头二：公式证明部分
师：同学们已经有了处理任意角三角函数问题的方法，诱导公式的证明，我们都利用了什么图形解决的？
生（全体）：利用单位圆。
师：要证明这个等式对任意角都成立，如果找不到其他办法，不妨我们就回到我们熟悉的单位圆中来解决问题。
师：请同学们根据下面问题进行小组交流。
问题1：如何在单位圆中做出角α，β，α-β的终边呢？
问题2：角α，β，α-β的终边与单位圆交点P1，P2，P3的坐标是什么？
问题3：如何将角α，β，α-β的终边与单位圆的交点P1，P2的坐标与cos（α-β）联系起来，怎样建立这种等量关系呢？
独白：现行的教学理念很崇尚学生探究，实际教学当中如果一味放手，很多时候会变成漫无目的的探索，常常是无疾而终。在数学教学当中要提升教学的有效性，应该注重数学教学的“四化”，即数学化的原则、适度形式化的原则、问题驱动化原则和渗透数学思想方法的原则。在此环节的处理上采用了“活动单”的方式，布置学生进行小组合作探究，逐步展开，降低公式推导理解难度，进而解决问题，请同学展示自己的研究成果。先与學生共同确定要探究的内容和目标，明确探究的方法再让学生进行探究，排除更多的无关因素的干扰，力求学生更多精力放在等式的寻找和证明当中。
独白：在自己备课的时候，我真没想过这种情况，学生2提出的问题是等量关系的选取不同出现的结果，实际上化简的结果也是两角差的余弦公式，只不过表示的形式不同而已，也正好体现出公式中角的任意性。我相信通过本节课的学习，学生2对本章所有的公式角的任意性都会有比别人更加深刻的认识，因为人性中最深切的心理动机是被人赏识的渴望，所以，后面是这样处理的。
师：这位同学的想法非常好，我们应该给勤于动脑的同学2掌声鼓励。这个式子实际上就是我们要证明的两角差的余弦公式（学生有些不安起来），同学们，我们在做角的时候虽然在一圈之内选取的α，β且满足α>β，实际上任意α，β利用周期性都可以化到0～2π进行解决，也就是说公式是对任意的两个角都是成立的。既然这样，如果我令α-β=θ，学生2得到的式子就可以写成cos（α-θ）=cosαcosθ sinαsinθ，这不就是两角差的余弦公式么！我们要感谢学生2用事实给我展示了公式中角的“任性”。
……
然后，我和同学们继续研究公式的特点以及公式的使用，整节课正是因为及时肯定了学生2的想法，让学生感受到了尊重，又用“任性”等流行词对公式角的特点进行形象的解释，刺激了学生的兴奋点，使得一节课在轻松活泼的气氛中很快过去了。
教后反思：学生2提出的问题在意料之外，可以说是意外生生枝。教师在把课堂的主动权给学生的时候要考虑这种节外生枝情况，探究之路偏离了原方向该怎么办？如果我们仅仅是硬生生的拉回，就失去了以学生为主导的课堂设计本意；如果我们放任不管，那种“放羊式”的探究也很难达成学习目标。如何解决这种矛盾，是数学教师进行教学设计要认真考虑的问题。我个人认为，教师在问题设计时要在关键的点处指明探求大概方向，而不是方位。若问题太细，指向性太强，像路标一样，那是“伪探究”，达不到培养学生能力的目的。
回顾小组讨论中，我提出的三个问题，应该说梯度恰当，但是指向性还是比较明显，这个也是数学教师需要探讨的地方，一方面要留给学生一些神秘感，有探究的欲望，又不能像我们现在的汽车导航一样，只要按照提示走，你一定会到达终点。当然教师在备课时要对课题有着充分的认识，全面的考虑，不能以我为中心，因为我们面对的是有着鲜活生命的四十几个不同的个体，它们有着不同的思想，我们要懂得尊重他们的想法，给学生展示自己思维的机会，当然在这整个过程中教师也得到一个极大的提升。