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苏科版七(下)第七章30页习题7.5第4题:
如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD. 射线BE与CE交于点E.求证:BE⊥CE.
【分析一】由角平分线的定义,易得∠1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系,再利用“两直线平行,同旁内角互补”的结论进行整体代换,即可解决问题.
解法1 (整体转化法)
解:∵BE平分∠ABC,∴∠2=∠ABC,
同理∠1=∠BCD,
∴∠1 ∠2=(∠BCD ∠ABC),
又AB∥CD,∴∠BCD ∠ABC=180°,
∴∠1 ∠2=×180°=90°,
∴∠E=180°-(∠1 ∠2)=180°-90°=90°,即BE⊥CE.
【分析二】作平行线,把∠E分成两个角,并将这两个角与∠1、∠2联系起来,进行有效转化.
解法2 (分解转化法)
解:如图2,过点E作EF∥AB,交BC于F,
又AB∥CD, ∴AB∥EF∥CD.
∴∠BEF=∠ABE=∠2=∠ABC,
∴∠FEC=∠ECD=∠1=∠BCD,
∴∠BEC=∠BEF ∠FEC
= (∠ABC ∠BCD),
又由AB∥CD,知∠ABC ∠BCD=180°,
∴∠BEC=×180°=90°,
即BE⊥CE.
【分析三】要求∠E,只需求出∠E的邻补角,延长BE后,出现新的△CEM(如图3), △CEM的三个内角分别与△BEC的三个内角相等,用对应思想便可解决问题.
解法3 (对应转换法)
解:延长BE交CD于点M.
∵AB∥CD,∴∠CME=∠ABE=∠2,
又∠1 ∠2 ∠BEC=∠ECM ∠CME ∠CEM=180,
而∠1=∠ECM, ∠2=∠CME,
∴∠BEC=∠CEM.
又∠BEC ∠CEM=180°,
∴∠BEC=×180°=90°,
即BE⊥CE.
【总结】把此习题概括成一句话就是:两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的角平分线互相垂直.
通过对此习题的多种解法的深入探讨,可以加强知识间的联系,实现方法和技能的融会贯通,从而培养思维的深刻性和灵活性.
【变式一】探求原习题的逆命题
例1 参照图1,两条直线AB、CD被第三条直线BC所截,所成的同旁内角的平分线BE和CE互相垂直,探求AB与CD的位置关系.
解:∵BE⊥CE,∴∠1 ∠2=90°.
又BE、CE平分∠ABC、∠BCD,
∴∠1=∠BCD,∠2=∠ABC,
∴∠1 ∠2= (∠BCD ∠ABC)=90°,
∴∠ABC ∠BCD=180°,
∴AB∥CD.
【说明】进一步可把原习题的条件与结论进行梳理,总结如下:在图1中,直线AB、CD被BC所截,①AB∥CD, ②BE平分∠ABC, ③CE平分∠BCD, ④BE⊥CE,以上任三个作为条件都可以推出第四个.
【变式二】在原图基础上,增加另一组同旁内角平分线
例2 如图4,已知AB∥CD,BE、CE、BF、CF分别是∠ABC、∠BCD、∠MBC、∠NCB的角平分线,BC不与ND垂直,则图中与∠FBE相等的角共有多少个?
解:由原题可知∠E=90°,
同理可得∠F=90°.
∠FBE=∠FBC ∠CBE=(∠MBC ∠CBA)=×180°=90°,
同理可得∠FCE=90°.
∴∠FBE=∠E=∠F=∠FCE=90°,
即与∠FBE相等的角共有3个.
【说明】本题可表述为:两条平行线被第三条直线所截,两对同旁内角的平分线组成的四边形是矩形.
【变式三】在原图基础上,增加两个相等的角或一组平行线
例3 如图5,∠GEF与∠DFE的平分线交于点H,AB∥CD,∠B=∠D,求证:EH⊥HF.
证明:∵AB∥CD, ∴∠A=∠C,
由已知∠B=∠D,∴∠AEB=∠DFC,
又∠AEB=∠GEF, ∠DFC=∠MFE,
∴∠GEF=∠MFE, ∴EG∥FD,
则∠GEF ∠EFD=180°,
又EH、FH为角平分线,
∴∠HEF ∠EFH=(∠GEF ∠EFD)=×180°=90°,∴∠EHF=90°,
即EH⊥HF.
【说明】在原习题的基础上添加平行线后,得到一对内错角相等,并结合其他条件进一步得出BG∥MD,这样就将看似复杂的问题逐步转化成已经解决过的问题(即原习题).
由上可见,试题一般都是从经典习题变化而来的,在平时的学习中,我们应该高度重视一些典型例题和它们的解法,充分挖掘其蕴含的数学本质,实现知识和技能的融会贯通,从而提高解题能力,做到举一反三.
(作者单位:江苏省丹阳市华南实验学校)
如图1,已知AB∥CD,BE平分∠ABC,CE平分∠BCD. 射线BE与CE交于点E.求证:BE⊥CE.
【分析一】由角平分线的定义,易得∠1、∠2与∠BCD、∠ABC之间的倍分关系,再利用“两直线平行,同旁内角互补”的结论进行整体代换,即可解决问题.
解法1 (整体转化法)
解:∵BE平分∠ABC,∴∠2=∠ABC,
同理∠1=∠BCD,
∴∠1 ∠2=(∠BCD ∠ABC),
又AB∥CD,∴∠BCD ∠ABC=180°,
∴∠1 ∠2=×180°=90°,
∴∠E=180°-(∠1 ∠2)=180°-90°=90°,即BE⊥CE.
【分析二】作平行线,把∠E分成两个角,并将这两个角与∠1、∠2联系起来,进行有效转化.
解法2 (分解转化法)
解:如图2,过点E作EF∥AB,交BC于F,
又AB∥CD, ∴AB∥EF∥CD.
∴∠BEF=∠ABE=∠2=∠ABC,
∴∠FEC=∠ECD=∠1=∠BCD,
∴∠BEC=∠BEF ∠FEC
= (∠ABC ∠BCD),
又由AB∥CD,知∠ABC ∠BCD=180°,
∴∠BEC=×180°=90°,
即BE⊥CE.
【分析三】要求∠E,只需求出∠E的邻补角,延长BE后,出现新的△CEM(如图3), △CEM的三个内角分别与△BEC的三个内角相等,用对应思想便可解决问题.
解法3 (对应转换法)
解:延长BE交CD于点M.
∵AB∥CD,∴∠CME=∠ABE=∠2,
又∠1 ∠2 ∠BEC=∠ECM ∠CME ∠CEM=180,
而∠1=∠ECM, ∠2=∠CME,
∴∠BEC=∠CEM.
又∠BEC ∠CEM=180°,
∴∠BEC=×180°=90°,
即BE⊥CE.
【总结】把此习题概括成一句话就是:两条平行线被第三条直线所截,一对同旁内角的角平分线互相垂直.
通过对此习题的多种解法的深入探讨,可以加强知识间的联系,实现方法和技能的融会贯通,从而培养思维的深刻性和灵活性.
【变式一】探求原习题的逆命题
例1 参照图1,两条直线AB、CD被第三条直线BC所截,所成的同旁内角的平分线BE和CE互相垂直,探求AB与CD的位置关系.
解:∵BE⊥CE,∴∠1 ∠2=90°.
又BE、CE平分∠ABC、∠BCD,
∴∠1=∠BCD,∠2=∠ABC,
∴∠1 ∠2= (∠BCD ∠ABC)=90°,
∴∠ABC ∠BCD=180°,
∴AB∥CD.
【说明】进一步可把原习题的条件与结论进行梳理,总结如下:在图1中,直线AB、CD被BC所截,①AB∥CD, ②BE平分∠ABC, ③CE平分∠BCD, ④BE⊥CE,以上任三个作为条件都可以推出第四个.
【变式二】在原图基础上,增加另一组同旁内角平分线
例2 如图4,已知AB∥CD,BE、CE、BF、CF分别是∠ABC、∠BCD、∠MBC、∠NCB的角平分线,BC不与ND垂直,则图中与∠FBE相等的角共有多少个?
解:由原题可知∠E=90°,
同理可得∠F=90°.
∠FBE=∠FBC ∠CBE=(∠MBC ∠CBA)=×180°=90°,
同理可得∠FCE=90°.
∴∠FBE=∠E=∠F=∠FCE=90°,
即与∠FBE相等的角共有3个.
【说明】本题可表述为:两条平行线被第三条直线所截,两对同旁内角的平分线组成的四边形是矩形.
【变式三】在原图基础上,增加两个相等的角或一组平行线
例3 如图5,∠GEF与∠DFE的平分线交于点H,AB∥CD,∠B=∠D,求证:EH⊥HF.
证明:∵AB∥CD, ∴∠A=∠C,
由已知∠B=∠D,∴∠AEB=∠DFC,
又∠AEB=∠GEF, ∠DFC=∠MFE,
∴∠GEF=∠MFE, ∴EG∥FD,
则∠GEF ∠EFD=180°,
又EH、FH为角平分线,
∴∠HEF ∠EFH=(∠GEF ∠EFD)=×180°=90°,∴∠EHF=90°,
即EH⊥HF.
【说明】在原习题的基础上添加平行线后,得到一对内错角相等,并结合其他条件进一步得出BG∥MD,这样就将看似复杂的问题逐步转化成已经解决过的问题(即原习题).
由上可见,试题一般都是从经典习题变化而来的,在平时的学习中,我们应该高度重视一些典型例题和它们的解法,充分挖掘其蕴含的数学本质,实现知识和技能的融会贯通,从而提高解题能力,做到举一反三.
(作者单位:江苏省丹阳市华南实验学校)