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[摘要]问题链侧重情境的完整性、结构的逻辑性和衔接的关联性。知识的学术形态需要转化成教育形态的问题链，以演绎知识解构到重构的关键环节和智慧路径，驱动学生理解知识的本质，并最终超越具体知识，内化关键能力，丰盈理性精神。
[关键词]问题链;问题驱动;知识解构;模型重构;数学化
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0007-04
数学知识存在两种形态，即学术形态和教育形态。教材呈现的数学知识追求“准确的定义、逻辑的演绎和严密的推理”，这是知识的学术形态，偏重线性编排和形式化。教学中引导学生经历知识的“再创造”过程，激发学生用“火热的思考”去理解数学知识“冰冷的美丽”，这是知识的教育形态，注重个性建构和数学化。教师的任务就是把知识的学术形态转化为教育形态。那么，转化的路径是什么？转化过程要遵循哪些原则？转化的效果又该如何评估？接下来，以苏教版六年级下册第5单元“用方向和距离确定位置”磨课为例，谈谈这方面的收获和体会。
一、第一次执教：解读静态知识
1.教学设想
从联系的角度看，学生已经学习了四面八方、数对确定位置、角的认识和比例尺的意义及其应用。作为小学阶段最后一次确定位置的主题学习，需要学生有效调用、合理支撑和适当对比已有概念，进而渗透极坐标的思想模型，适时发展学生的空间观念。基于这样的分析，笔者决定充分用好主题图，根据教材提供的问题链，引领学生有效经历确定位置的具体过程，进而把握规律和建构模型。
2.教学设计
首先，以确定灯塔1和灯塔2相对于轮船的位置问题引入，驱动学生对问题进行简单表征，并激发学生对具体表征进行反思;其次，介绍方向重新约定的基准对象和表达方式，并适时出示相关角度，驱动学生合理、完整和具体地表示灯塔的位置;接着，用问题驱动学生比较所确定位置的异同，侧面凸显用方向和距离确定位置的特点;最后，通过针对性的练习，理解内化确定位置的方法模型。以下是四个主要教学环节：
（1）创设情境，激趣导入
师（出示主题图）：一艘轮船向正北方向行驶，你能说出灯塔1和灯塔2分别在轮船的什么方向吗？
生1：灯塔1在轮船的东北方向。
生2：燈塔2在轮船的西北方向。
师：你觉得这样表达具体吗？今天这节课我们就来研究确定位置的新方法。
（2）介绍规则，约定表达
师（出示指南针）：人们常用指南针测定方向，指南针指向正北和正南，如果物体不在南北线上，就要看它的位置相对于北或南是偏东还是偏西。因此，东北方向也叫作北偏东，西北方向也叫作北偏西。以此类推，你会说东南方向和西南方向吗？
师：现在，你能说说灯塔1和灯塔2各在轮船的什么方向吗？
（3）完整表达，建构模型
师（出示平面图）：如果把物体抽象成点，用点的位置表示物体的位置，你能理解图中标出的30。吗？现在你能完整表达灯塔1的位置并填空吗？
师：你是怎样确定距离30千米的？
师：像这样确定位置，我们称之为用方向和距离确定位置。我们以前学过哪些确定位置的方法？现在又有了哪些新的认识？（课件配合演示）
（4）实践运用，理解内化（略）
3.教学反思
纵观全课，教学使用了教材给定的情境，但是这些情境远离学生实际，激发不了学生确定位置的内在需求;教学紧扣“调用经验模糊确定、整合新知精准确定和对比反思内化模型”的问题链，但是精当的讲解未能引发学生知识的自然生长，缺少过程的搬运难以激发学生对知识存在价值的正向体验;教学中的练习题来自教材，但是机械的解决未能催生学生关键能力的形成。怎么办？首先，需要寻找与灯塔相关的图片或视频，弥补静态情境呈现的留白和不足，变“要我确定位置”为“我要确定位置”;其次，需要再次确认教学的重心，引导学生经历知识生长的关键环节，使“平均用力”变为“难点突破”;最后，需要对练习进行有机整合和梯度呈现，帮助学生消化知识和建构模型，从“举三反一”到“举一反三”。这样处理有助于教师“有生长”地教，帮助学生“有过程”地学。
二、第二次执教：指向生长需要
1.目标定位
基于以上实践和反思，通过研读教材、前测调查和持续学习，我们弄清楚了学生的学习起点是二年级的用“四面八方”模糊确定位置，而现在要精准定位两个物体之间的位置，即需要重新“改造”方位的描述，也就是适时引入角度（这是教学的重难点），需要确认两点之间的距离，借助比例尺加以计算，最后还需要比较不同确定位置模型的相同点和不同点，感悟知识的独特地位和价值魅力。也就是说，教学源自实际生活的需要、知识生长的需要和思维发展的需要。为此，教学的目标定位在情境要真实“可亲近”、过程要经历“再创造”，而比较则要紧扣“问题情境和数学本质”。
2.教学实践
首先，出示灯塔的图片，让学生调用生活经验猜猜“它是谁”，再播放一段介绍灯塔的视频，拉近学生与灯塔的距离，使学生了解灯塔具有的确定位置的功能。紧接着创设情境：“一艘轮船向正北方向行驶，天气突然变得恶劣，视线变得模糊，安全航行急需要确定位置，好在前方出现了——灯塔。”然后顺势抛出问题：“如果你是船长，以轮船作为观测点，你能确定灯塔1在轮船的什么位置吗？”并将物体抽象成数学的点，用点的位置表示物体的位置，设置一个完整的探究活动。
其次，锁定出现频率最多的“东北方向”和"30千米”。先引导学生反思“你是怎样确定距离30千米的？”，回顾运用比例尺和图上距离求解实际距离的方法;再引导学生思考“只说在东北方向，你觉得具体吗？”，激发学生对具体问题表征的探究，引出角度的表达;然后同时给出30°和60°，让学生尝试描述“北偏东30°”和“东偏北60°”，引发方向描述起点的讨论，促使学生调用生活经验和已有知识理解以“正北和正南”作基准的科学性、合理性和现实性，能够将“东北方向”换个角度重新描述成“北偏东”，并此类推到其他方位的重新约定;最后将关键信息“北偏东30°”和“30千米”一起出示，让学生组合信息，并追问组合的内在依据。 最后，完成“练一练”，明确只要确定轮船与两个灯塔的相对位置，就可以順利返航，创设完整情境;将“练习九”的第1题改成抢答题，激发学生的参与性和互动性;与数对的比较，不同点触及表达的方式和模式适用的情境，即数对是“用一对特殊的数表示整体中的一个点的位置”，而本课研究的是“用方向和距离确定点与点的位置”，相同点是都存在观测点，位置都能通过一定方式被确定，需引导学生体会“外在方法不同，内在目的一致”;出示地图设置开放式活动，要求以如皋市为观测点，确定周边城市的位置，让学生能够马上活学活用。
3.再次反思
纵观全课，情境的设置趋于立体，环境异常恶劣渲染了位置确定的迫切性，学生的角色被定位成船长，催生了学生确定位置的主动性，尤其是灯塔2的位置被确定后，轮船就能够安全返航，更情理交融地演绎了故事的完整性;关键信息的合情合理，承载知识“再创造”的生长过程，而对表示灯塔1位置的比较，则是位置模型建构的终点优化;加上模型的对比触及本质，对比的层次感、梯度和深度有所改变，等等。看得出来，知识从解构到重构初步取得成效。
“教无定法，贵在得法。”随着研讨的持续深入，笔者又有了一些新的设想。设想一：新授环节的问题链实质性内容明确，但是外显的板块比较含糊，还需要处理好内容与形式的关系，驱动问题链“结构化”变成“可视化”;设想二：角度的出现和方位表述的基准是难点，简单追问和浅层讨论不足以引发有效的思考，教学需要处理好主体和主导的关系，驱动思考“混沌无序”走向“层次分明”;巩固环节以知识的正向迁移为主，缺少变式题组的参与，教学需要处理好解决问题和思维训练的关系，驱动思维“正向迁移”携手“反向审视”。这样处理，有助于教师“为智慧”而教，能帮助学生“为未来”而学。
三、第三次执教：演绎智慧路径
基于以上实践和思考，笔者深刻体会到“教材无非就是个例子”，现实的教学不但要关注教材提供的例题，还要能跳出具体的特例，抽象出数学知识的一般特征和数学学习的智慧路径，以驱动学生重启思维之旅、重构知识体系和重塑精神世界。
【教学片段1】反思创造，建构模型
（1）不具体，怎么办？
师：通过刚才的活动，我们已经知道了灯塔1在轮船的东北方向，并且距离轮船刚好30千米。
师（出示课件）：仔细观察，你发现了什么？
生1：图中的点距离轮船都是30千米，都在轮船的东北方向。
生2：我发现灯塔1在东北这块区域内（用手势比画），它的位置并不具体。
师：是啊，不具体，怎么办？
生3：我觉得灯塔1在1点钟方向，其他的点分别在不同的几点钟方向。
生4：可以用量角器测量度数，这样每一个点都有自己的角度。
师：几点钟方向和量角器测量都与角度有关，用角度来区分的想法与数学家不谋而合。
（2）不统一，怎么办？
师（出示课件）：现在给你角度，你会记录灯塔1的方向吗？
生1：灯塔1在轮船的北偏东30°。
生2：灯塔1在轮船的东偏北60°。
师：都能记录灯塔的位置，但是不统一，怎么办？是选择“南北”作为起点，还是“东西”呢？说说选择的理由。
生3：我觉得是南北，因为30°要小于60°，轮船偏北的角度小一点。
师：角度小，表达方便，有生活感觉。
生4：我也觉得是南北，因为指南针一般都是指向南方，南北一条线。
师：用指南针来说服我们，挺好！
生5：我也选择南北，因为在古代的晚上，航行是借助北极星来指引方向的。
师（出示课件）：是的，还有草原上的花朵朝南向阳，建造房屋注意南北通风，等等，到处都隐藏着“南北”作基准的影子。
师：有了标准，东北方向现在可以怎样描述？
生6：东北方向还可以记录为北偏东。
师：从四面到八方，再到今天这样记录。你觉得对于确定位置，这样的改变有必要吗？
生7：有必要，因为结果能从模糊变得具体。
（3）不合理，怎么办？
师（出示课件）：接下来，怎样组合“灯塔1在轮船的北偏东30°方向”和“灯塔1距离轮船30千米”这两个关键信息？先说哪个才合理？
生1：我觉得先说方向，再说距离。
生2：我来补充，如果先确定距离，再考虑方向，那样的话就要走很多路。因为距离轮船30千米的点正好组成一个圆。
师：绕一大圈后，再考虑方向，你愿意这样吗？
生（笑）：不愿意。
师：其实，做任何事情，都要先确定方向，再通过努力，缩短与成功的距离。像确定位置，先方向后距离，数学上称之为用方向和距离确定位置。
【思考：问题链一般具有真、善、美的特质。首先，问题链中“不具体”、“不统一”和“不合理”的问题点，是学生学习中遇到困难的真实感受，只有简洁易懂的表达方式，才能唤醒学生的主体意识，驱动学生“愿学”;其次，问题链要善于搭建思维的“脚手架”，如角度引入中出现的“对比的点”、方位基准中出现的“东偏北60°”等，要善待学生的朴素表达，以激发学生的主观能动性，驱动学生“能学”;最后，问题链要完美地解决问题，如在信息组合的辨析环节，引导学生将确定物体的位置与确定人生的位置联结，以贯通知识学习与人文积淀，驱动学生“乐学”。】
【教学片段2】题组变式，理解模型
师（出示课件）：灯塔2在轮船的什么位置？
生1：灯塔2在轮船的北偏西55°方向40千米处。
师：这样，两个灯塔的具体位置都已确认，在它们的指引下，轮船安全航行变得有保障。你能说出复活岛在轮船的什么位置吗？ 生2：复活岛在轮船的南偏西20°方向60千米处。
生3：我来纠错，应该是南偏西70°。
师：你能说服他吗？
生3：西偏南20°就是南偏西70°，要用90°-20°=70°。
师：心中有标准，做事有分寸。
【思考：问题链一般包含正向迁移和反向审视两种类型。教学中，灯塔2的位置确定是知识的正向迁移，而对复活岛的20°方向的辨析属于方法的反向审视。一般而言，反向审视练习主要针对关键环节和关键方法，因为其特殊的地位和意义，所以需要反复、多角度和立体化的锤炼。就教育的目的性而言，两者互为补充、共同作用，服务于“南北作基准”的方法建构。】
【教学片段3】对比概括，内化模型
（1）猜中概括确定位置的路径
师（出示“南偏东”）：这里是要猜神秘岛的位置，请看好提示。现在你能确定什么？
生1：能确定南偏东这一个区域。
师（出示“80°”）：现在你又能确定什么？
生1（边说边指）：能确定一条线，神秘岛应该在这条线上。
师：还有什么就能确定神秘岛的具体位置？
生1：距离。
师：给出距离“50千米”，你能确定吗？
生1：这里1厘米表示10千米，所以我比画了5次，神秘岛大约在这个点。（图略）
师：恭喜你！面一线一点，范围不断缩小，直到最后确定。
（2）调中感知位置关系的相对
师：轮船在灯塔1的什么位置？
生2：轮船在灯塔1南偏西30°方向30千米处。
师：改变观测点，通过观测灯塔1在轮船什么位置，你发现了什么？
生3：方向相反，但角度和距离都相等。
师：你能介绍一下小组长相对于你的位置吗？
生4：小组长在我前面大约2米的地方。
生5：某某同学在我后面大约2米的地方。
师：比较这两位同学的说法，你有什么发现？
生（齐）：方向相反，距离相同。
（3）比中突出不同方法的关联
师（出示课件）：这两个点都被确定位置了，两种确定位置的方法有什么相同点和不同点？
生6：左边用的是行和列，右边用的是方向和距离。
生7：左边确定的是教室里某个人的位置，而右边确定的是两个物体之间的位置。
师：如果顺着这个思路，左边凸显的是整体中的点的位置，而右边凸显的是点与点之间的位置，适用的环境不一样。你还能举一些例子吗？
生8：围棋中的棋子、汽车中的座位……这些与数对确定位置差不多。
生9：像如皋和海门，两个地方之间的位置确定更适合方向和距离。
师：真棒！其实，梳理不同点，也就间接回答了今天学习的重要性。接下来，说说相同点。
生10：都要考虑两个因素。
生11：还要约定先后顺序。
师：是的，以前需要锁定关键信息和约定表达方式，今天也是，将来还是。
【思考：問题链想要“链”出精彩，就必须借助对比，驱动学生的学习深入浅出。首先，一步一景式的猜测和概括，助推学生玩中不断思考，尤其是抽象出两点之间确定位置的路径时，使得学习从“特殊”走向“一般”;接着，对比因调整观测点带来的位置描述的变化，初步得到“方向相反，角度和距离不变”的结论，当进一步互动唤醒学生原有认知时，位置相对性的特征呼之欲出，使得一般结论贯通“已知”和“未知”;最后，横向比较两种典型的“确定位置”，在不同点中感知确定方法和适用情境的差异性，在相同点中触摸确定方法和内在本质的一致性，使得数学与生活的联系以及数学自身的发展从“模糊”走向“清晰”。】
【总评】至此，我们找到了学术形态转化成教育形态的数学化路径，即将零散的、模糊的和机械的问题点有机整合成相对系统的、清晰的和灵动的问题链，通过点的有效突破、层层递进和建构完善，驱动学生经历知识生长的全过程，这是从设计的层面为知识的重构做好了铺垫。对于转化过程遵循的原则，笔者认为不但要做到情境的完整性、结构的逻辑性和衔接的关联性，还要做到情境设置服务学习内容、结构编排遵循认知规律和衔接紧扣生长节奏，这些是从策略层面为知识的重构保驾护航。转化的效果又该如何评估呢？从学的角度看，主要观察学生是否经历心动想学、生动表征和灵动内化的过程。从教的角度看，主要考量教师所处的教学境界，第一种是简单地将教材中的知识搬运给学生，教出于传授的本能;第二种是针对知识本身，引入媒体手段、方法技巧和资料补充等，教展现解惑的本领;第三种是基于知识的本质理解，教学演绎知识解构到重构的关键环节和智慧路径，并最终超越具体知识，驱动学生内化关键能力和丰盈理性精神。
[关键词]问题链;问题驱动;知识解构;模型重构;数学化
[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0007-04
数学知识存在两种形态，即学术形态和教育形态。教材呈现的数学知识追求“准确的定义、逻辑的演绎和严密的推理”，这是知识的学术形态，偏重线性编排和形式化。教学中引导学生经历知识的“再创造”过程，激发学生用“火热的思考”去理解数学知识“冰冷的美丽”，这是知识的教育形态，注重个性建构和数学化。教师的任务就是把知识的学术形态转化为教育形态。那么，转化的路径是什么？转化过程要遵循哪些原则？转化的效果又该如何评估？接下来，以苏教版六年级下册第5单元“用方向和距离确定位置”磨课为例，谈谈这方面的收获和体会。
一、第一次执教：解读静态知识
1.教学设想
从联系的角度看，学生已经学习了四面八方、数对确定位置、角的认识和比例尺的意义及其应用。作为小学阶段最后一次确定位置的主题学习，需要学生有效调用、合理支撑和适当对比已有概念，进而渗透极坐标的思想模型，适时发展学生的空间观念。基于这样的分析，笔者决定充分用好主题图，根据教材提供的问题链，引领学生有效经历确定位置的具体过程，进而把握规律和建构模型。
2.教学设计
首先，以确定灯塔1和灯塔2相对于轮船的位置问题引入，驱动学生对问题进行简单表征，并激发学生对具体表征进行反思;其次，介绍方向重新约定的基准对象和表达方式，并适时出示相关角度，驱动学生合理、完整和具体地表示灯塔的位置;接着，用问题驱动学生比较所确定位置的异同，侧面凸显用方向和距离确定位置的特点;最后，通过针对性的练习，理解内化确定位置的方法模型。以下是四个主要教学环节：
（1）创设情境，激趣导入
师（出示主题图）：一艘轮船向正北方向行驶，你能说出灯塔1和灯塔2分别在轮船的什么方向吗？
生1：灯塔1在轮船的东北方向。
生2：燈塔2在轮船的西北方向。
师：你觉得这样表达具体吗？今天这节课我们就来研究确定位置的新方法。
（2）介绍规则，约定表达
师（出示指南针）：人们常用指南针测定方向，指南针指向正北和正南，如果物体不在南北线上，就要看它的位置相对于北或南是偏东还是偏西。因此，东北方向也叫作北偏东，西北方向也叫作北偏西。以此类推，你会说东南方向和西南方向吗？
师：现在，你能说说灯塔1和灯塔2各在轮船的什么方向吗？
（3）完整表达，建构模型
师（出示平面图）：如果把物体抽象成点，用点的位置表示物体的位置，你能理解图中标出的30。吗？现在你能完整表达灯塔1的位置并填空吗？
师：你是怎样确定距离30千米的？
师：像这样确定位置，我们称之为用方向和距离确定位置。我们以前学过哪些确定位置的方法？现在又有了哪些新的认识？（课件配合演示）
（4）实践运用，理解内化（略）
3.教学反思
纵观全课，教学使用了教材给定的情境，但是这些情境远离学生实际，激发不了学生确定位置的内在需求;教学紧扣“调用经验模糊确定、整合新知精准确定和对比反思内化模型”的问题链，但是精当的讲解未能引发学生知识的自然生长，缺少过程的搬运难以激发学生对知识存在价值的正向体验;教学中的练习题来自教材，但是机械的解决未能催生学生关键能力的形成。怎么办？首先，需要寻找与灯塔相关的图片或视频，弥补静态情境呈现的留白和不足，变“要我确定位置”为“我要确定位置”;其次，需要再次确认教学的重心，引导学生经历知识生长的关键环节，使“平均用力”变为“难点突破”;最后，需要对练习进行有机整合和梯度呈现，帮助学生消化知识和建构模型，从“举三反一”到“举一反三”。这样处理有助于教师“有生长”地教，帮助学生“有过程”地学。
二、第二次执教：指向生长需要
1.目标定位
基于以上实践和反思，通过研读教材、前测调查和持续学习，我们弄清楚了学生的学习起点是二年级的用“四面八方”模糊确定位置，而现在要精准定位两个物体之间的位置，即需要重新“改造”方位的描述，也就是适时引入角度（这是教学的重难点），需要确认两点之间的距离，借助比例尺加以计算，最后还需要比较不同确定位置模型的相同点和不同点，感悟知识的独特地位和价值魅力。也就是说，教学源自实际生活的需要、知识生长的需要和思维发展的需要。为此，教学的目标定位在情境要真实“可亲近”、过程要经历“再创造”，而比较则要紧扣“问题情境和数学本质”。
2.教学实践
首先，出示灯塔的图片，让学生调用生活经验猜猜“它是谁”，再播放一段介绍灯塔的视频，拉近学生与灯塔的距离，使学生了解灯塔具有的确定位置的功能。紧接着创设情境：“一艘轮船向正北方向行驶，天气突然变得恶劣，视线变得模糊，安全航行急需要确定位置，好在前方出现了——灯塔。”然后顺势抛出问题：“如果你是船长，以轮船作为观测点，你能确定灯塔1在轮船的什么位置吗？”并将物体抽象成数学的点，用点的位置表示物体的位置，设置一个完整的探究活动。
其次，锁定出现频率最多的“东北方向”和"30千米”。先引导学生反思“你是怎样确定距离30千米的？”，回顾运用比例尺和图上距离求解实际距离的方法;再引导学生思考“只说在东北方向，你觉得具体吗？”，激发学生对具体问题表征的探究，引出角度的表达;然后同时给出30°和60°，让学生尝试描述“北偏东30°”和“东偏北60°”，引发方向描述起点的讨论，促使学生调用生活经验和已有知识理解以“正北和正南”作基准的科学性、合理性和现实性，能够将“东北方向”换个角度重新描述成“北偏东”，并此类推到其他方位的重新约定;最后将关键信息“北偏东30°”和“30千米”一起出示，让学生组合信息，并追问组合的内在依据。 最后，完成“练一练”，明确只要确定轮船与两个灯塔的相对位置，就可以順利返航，创设完整情境;将“练习九”的第1题改成抢答题，激发学生的参与性和互动性;与数对的比较，不同点触及表达的方式和模式适用的情境，即数对是“用一对特殊的数表示整体中的一个点的位置”，而本课研究的是“用方向和距离确定点与点的位置”，相同点是都存在观测点，位置都能通过一定方式被确定，需引导学生体会“外在方法不同，内在目的一致”;出示地图设置开放式活动，要求以如皋市为观测点，确定周边城市的位置，让学生能够马上活学活用。
3.再次反思
纵观全课，情境的设置趋于立体，环境异常恶劣渲染了位置确定的迫切性，学生的角色被定位成船长，催生了学生确定位置的主动性，尤其是灯塔2的位置被确定后，轮船就能够安全返航，更情理交融地演绎了故事的完整性;关键信息的合情合理，承载知识“再创造”的生长过程，而对表示灯塔1位置的比较，则是位置模型建构的终点优化;加上模型的对比触及本质，对比的层次感、梯度和深度有所改变，等等。看得出来，知识从解构到重构初步取得成效。
“教无定法，贵在得法。”随着研讨的持续深入，笔者又有了一些新的设想。设想一：新授环节的问题链实质性内容明确，但是外显的板块比较含糊，还需要处理好内容与形式的关系，驱动问题链“结构化”变成“可视化”;设想二：角度的出现和方位表述的基准是难点，简单追问和浅层讨论不足以引发有效的思考，教学需要处理好主体和主导的关系，驱动思考“混沌无序”走向“层次分明”;巩固环节以知识的正向迁移为主，缺少变式题组的参与，教学需要处理好解决问题和思维训练的关系，驱动思维“正向迁移”携手“反向审视”。这样处理，有助于教师“为智慧”而教，能帮助学生“为未来”而学。
三、第三次执教：演绎智慧路径
基于以上实践和思考，笔者深刻体会到“教材无非就是个例子”，现实的教学不但要关注教材提供的例题，还要能跳出具体的特例，抽象出数学知识的一般特征和数学学习的智慧路径，以驱动学生重启思维之旅、重构知识体系和重塑精神世界。
【教学片段1】反思创造，建构模型
（1）不具体，怎么办？
师：通过刚才的活动，我们已经知道了灯塔1在轮船的东北方向，并且距离轮船刚好30千米。
师（出示课件）：仔细观察，你发现了什么？
生1：图中的点距离轮船都是30千米，都在轮船的东北方向。
生2：我发现灯塔1在东北这块区域内（用手势比画），它的位置并不具体。
师：是啊，不具体，怎么办？
生3：我觉得灯塔1在1点钟方向，其他的点分别在不同的几点钟方向。
生4：可以用量角器测量度数，这样每一个点都有自己的角度。
师：几点钟方向和量角器测量都与角度有关，用角度来区分的想法与数学家不谋而合。
（2）不统一，怎么办？
师（出示课件）：现在给你角度，你会记录灯塔1的方向吗？
生1：灯塔1在轮船的北偏东30°。
生2：灯塔1在轮船的东偏北60°。
师：都能记录灯塔的位置，但是不统一，怎么办？是选择“南北”作为起点，还是“东西”呢？说说选择的理由。
生3：我觉得是南北，因为30°要小于60°，轮船偏北的角度小一点。
师：角度小，表达方便，有生活感觉。
生4：我也觉得是南北，因为指南针一般都是指向南方，南北一条线。
师：用指南针来说服我们，挺好！
生5：我也选择南北，因为在古代的晚上，航行是借助北极星来指引方向的。
师（出示课件）：是的，还有草原上的花朵朝南向阳，建造房屋注意南北通风，等等，到处都隐藏着“南北”作基准的影子。
师：有了标准，东北方向现在可以怎样描述？
生6：东北方向还可以记录为北偏东。
师：从四面到八方，再到今天这样记录。你觉得对于确定位置，这样的改变有必要吗？
生7：有必要，因为结果能从模糊变得具体。
（3）不合理，怎么办？
师（出示课件）：接下来，怎样组合“灯塔1在轮船的北偏东30°方向”和“灯塔1距离轮船30千米”这两个关键信息？先说哪个才合理？
生1：我觉得先说方向，再说距离。
生2：我来补充，如果先确定距离，再考虑方向，那样的话就要走很多路。因为距离轮船30千米的点正好组成一个圆。
师：绕一大圈后，再考虑方向，你愿意这样吗？
生（笑）：不愿意。
师：其实，做任何事情，都要先确定方向，再通过努力，缩短与成功的距离。像确定位置，先方向后距离，数学上称之为用方向和距离确定位置。
【思考：问题链一般具有真、善、美的特质。首先，问题链中“不具体”、“不统一”和“不合理”的问题点，是学生学习中遇到困难的真实感受，只有简洁易懂的表达方式，才能唤醒学生的主体意识，驱动学生“愿学”;其次，问题链要善于搭建思维的“脚手架”，如角度引入中出现的“对比的点”、方位基准中出现的“东偏北60°”等，要善待学生的朴素表达，以激发学生的主观能动性，驱动学生“能学”;最后，问题链要完美地解决问题，如在信息组合的辨析环节，引导学生将确定物体的位置与确定人生的位置联结，以贯通知识学习与人文积淀，驱动学生“乐学”。】
【教学片段2】题组变式，理解模型
师（出示课件）：灯塔2在轮船的什么位置？
生1：灯塔2在轮船的北偏西55°方向40千米处。
师：这样，两个灯塔的具体位置都已确认，在它们的指引下，轮船安全航行变得有保障。你能说出复活岛在轮船的什么位置吗？ 生2：复活岛在轮船的南偏西20°方向60千米处。
生3：我来纠错，应该是南偏西70°。
师：你能说服他吗？
生3：西偏南20°就是南偏西70°，要用90°-20°=70°。
师：心中有标准，做事有分寸。
【思考：问题链一般包含正向迁移和反向审视两种类型。教学中，灯塔2的位置确定是知识的正向迁移，而对复活岛的20°方向的辨析属于方法的反向审视。一般而言，反向审视练习主要针对关键环节和关键方法，因为其特殊的地位和意义，所以需要反复、多角度和立体化的锤炼。就教育的目的性而言，两者互为补充、共同作用，服务于“南北作基准”的方法建构。】
【教学片段3】对比概括，内化模型
（1）猜中概括确定位置的路径
师（出示“南偏东”）：这里是要猜神秘岛的位置，请看好提示。现在你能确定什么？
生1：能确定南偏东这一个区域。
师（出示“80°”）：现在你又能确定什么？
生1（边说边指）：能确定一条线，神秘岛应该在这条线上。
师：还有什么就能确定神秘岛的具体位置？
生1：距离。
师：给出距离“50千米”，你能确定吗？
生1：这里1厘米表示10千米，所以我比画了5次，神秘岛大约在这个点。（图略）
师：恭喜你！面一线一点，范围不断缩小，直到最后确定。
（2）调中感知位置关系的相对
师：轮船在灯塔1的什么位置？
生2：轮船在灯塔1南偏西30°方向30千米处。
师：改变观测点，通过观测灯塔1在轮船什么位置，你发现了什么？
生3：方向相反，但角度和距离都相等。
师：你能介绍一下小组长相对于你的位置吗？
生4：小组长在我前面大约2米的地方。
生5：某某同学在我后面大约2米的地方。
师：比较这两位同学的说法，你有什么发现？
生（齐）：方向相反，距离相同。
（3）比中突出不同方法的关联
师（出示课件）：这两个点都被确定位置了，两种确定位置的方法有什么相同点和不同点？
生6：左边用的是行和列，右边用的是方向和距离。
生7：左边确定的是教室里某个人的位置，而右边确定的是两个物体之间的位置。
师：如果顺着这个思路，左边凸显的是整体中的点的位置，而右边凸显的是点与点之间的位置，适用的环境不一样。你还能举一些例子吗？
生8：围棋中的棋子、汽车中的座位……这些与数对确定位置差不多。
生9：像如皋和海门，两个地方之间的位置确定更适合方向和距离。
师：真棒！其实，梳理不同点，也就间接回答了今天学习的重要性。接下来，说说相同点。
生10：都要考虑两个因素。
生11：还要约定先后顺序。
师：是的，以前需要锁定关键信息和约定表达方式，今天也是，将来还是。
【思考：問题链想要“链”出精彩，就必须借助对比，驱动学生的学习深入浅出。首先，一步一景式的猜测和概括，助推学生玩中不断思考，尤其是抽象出两点之间确定位置的路径时，使得学习从“特殊”走向“一般”;接着，对比因调整观测点带来的位置描述的变化，初步得到“方向相反，角度和距离不变”的结论，当进一步互动唤醒学生原有认知时，位置相对性的特征呼之欲出，使得一般结论贯通“已知”和“未知”;最后，横向比较两种典型的“确定位置”，在不同点中感知确定方法和适用情境的差异性，在相同点中触摸确定方法和内在本质的一致性，使得数学与生活的联系以及数学自身的发展从“模糊”走向“清晰”。】
【总评】至此，我们找到了学术形态转化成教育形态的数学化路径，即将零散的、模糊的和机械的问题点有机整合成相对系统的、清晰的和灵动的问题链，通过点的有效突破、层层递进和建构完善，驱动学生经历知识生长的全过程，这是从设计的层面为知识的重构做好了铺垫。对于转化过程遵循的原则，笔者认为不但要做到情境的完整性、结构的逻辑性和衔接的关联性，还要做到情境设置服务学习内容、结构编排遵循认知规律和衔接紧扣生长节奏，这些是从策略层面为知识的重构保驾护航。转化的效果又该如何评估呢？从学的角度看，主要观察学生是否经历心动想学、生动表征和灵动内化的过程。从教的角度看，主要考量教师所处的教学境界，第一种是简单地将教材中的知识搬运给学生，教出于传授的本能;第二种是针对知识本身，引入媒体手段、方法技巧和资料补充等，教展现解惑的本领;第三种是基于知识的本质理解，教学演绎知识解构到重构的关键环节和智慧路径，并最终超越具体知识，驱动学生内化关键能力和丰盈理性精神。