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【摘 要】数学是一门逻辑性很强的学科，抽象、严谨是这门学科的特点，直观、形象是儿童的思维特性，两者之间的矛盾常常影响学生数学学习。儿童是天生的画家，“数学画”可以解决这一矛盾，抽象的数学以直观的图形呈现，助力学生理解数学概念、解决数学问题，从而发展数学思维，提升核心素养。
【关键词】数学画 数学思维 深度学习
一、缘起：孩子的方法真简单
笔者的孩子进入小学阶段学习后，平时喜欢研究数学问题。在一次检查孩子自主研究的数学问题时，有一道题孩子的做法给笔者留下了深刻印象。这道题是这样的：10个男生围成一圈，每两个男生之间排1个女生，一共可以排几个女生？这是一道典型的间隔排列问题，通常情况下学生会在三年级接触这类知识。笔者看见孩子的答案是“10”，心里想：是不是蒙的呢？于是就问孩子：“你怎么知道是10个女生呢？”“妈妈，我是画图知道的呀！”孩子把自己画的图找出来说道：“你看，10个男生围成一圈，我用圆圈代替男生，然后每两个男生中间画一个三角形表示女生，数一数发现就是10个女生。”笔者忍不住鼓掌称赞道：“真是了不起！用画画解决了这么难的数学题！这么巧妙的方法妈妈都没有想到呢！”
通过这次交流，接下来笔者就留心观察自己班级学生的思考方式，发现有些动手能力强的学生，只要一遇到有点难度的问题，就会用画画来理清自己的思路，找到解决问题的方法。心里不禁感叹：儿童是天生的画家，画画是他们表达思想最重要的方式。学生在画图的过程中，能够将抽象的文字转化成图形，通过观察图形，再找到解决问题的思路，独立思考能力得到发展，知识得到内化。正如苏霍姆林斯基说的那样：“儿童的智慧在他的手指尖上。”
二、解读：理解 “数学画”
“数学画”就是引导学生把题目中的条件、问题、意思等抽象的内容用直观的图形表现出来，立足点是儿童的身心特点、认知发展和数学本质，能够帮助还处在直观思维的小学生理顺解题思路，快速建立解题模型。无论是从生活实例的启发来看，还是从小学生学习需求来说，“数学画”是学生进行深度学习、发展数学思维的有效工具和媒介，是联系儿童和数学最完美的存在。
三、实践：指尖上的数学智慧
小学阶段数学教材编写本身就很重视数形结合思想方法的渗透，低年级学生通过图形来理解数、抽象数、探索规律，中年级学生第一次正式接触画图的策略，高年级教材更是借助图形来帮助学生理解数学概念、算理等。每一次的教学与图形相遇，教师在教学过程中都要巧妙渗透“数学画”，将教学内容化静为动，让学生在各类形式的图形分析和解决问题的过程中，不断感受和体会“数学画”的好处，慢慢掌握“数学画”的技巧，学会数学思考，发展数学核心素养。
1.在探索规律中，感受“数学画”的简单
新课改后，低年级数学教材无论是从形式还是内容上，都十分注重学生能力的培养，倡导让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力。因此，探索规律成为学生非常重要的学习内容之一。数学规律的探索离不开图形，遇到此类问题时，教师就可以有意识地引导学生感受“数学画”对于探索规律简单、清晰的作用，从低年级开始就可以借助直观图形，发展学生抽象思维能力，使其逐步建构规律的数学模型。
例如，苏教版数学二年级上册“平行四边形的初步认识”一课，学生经常会遇到这样的问题：摆一个平行四边形需要4根同样长的小棒，你能用7根小棒摆出2个大小相同的平行四边形吗？像这样摆下去，求摆3个、4个、5个平行四边形小棒的根数？（见图1、表1）
通常情况下会有两种教学方式：一是直接法，教师先出示小棒摆的情况，然后学生观察、讨论，发现规律后填写表格。二是操作法，教师让学生先摆一摆，然后再填写表格。显然，第一种教学方法，学生的感受不是很深刻，思维不够灵活的学生，往往发现不了规律。第二种方法，学生经过动手操作后有了直观的感受，就能发现其中的规律，但是对于数学抽象思维的培养还缺少一个支架。
在教学这类问题时，我们不妨引入“数学画”，第1个和第2个平行四边形画给学生看，接下来第3个、第4个、第5个让学生自己画。在动手画的过程中动态呈现规律，學生从而发现每多一个平行四边形，就多3根小棒，这样就自然发现平行四边形个数和小棒根数之间的关系，总结出规律，学生的数学思维也就水到渠成，自然生成了。
2.在解决问题中，感知“数学画”的直观
为了让学生深刻体会“数学画”的重要性，苏教版数学四年级下册安排了“解决问题的策略——画图”这一单元，通过画示意图、线段图来理解题意，从而找到解决问题的方法。在教学中，教师要利用具有代表性又容易理解的例题，引导学生充分感受“数学画”在条件和问题呈现上的直观，并形成这一类问题解决方法的迁移，在今后的学习中能自己通过“数学画”找到解决问题的方法。
例如，教学“解决问题的策略——画图”的第一课时，一般先有四个环节：学生想到画图、画好图、用好图和感受画图的好处。接下来，为了能让学生进一步深刻感受“数学画”的好处，掌握解决这一类问题的方法，笔者增加了一个环节：引导学生借助“数学画”把长方形长和宽的所有变化情况都画出来，再通过电脑动画验证所有动态变化过程。全班不可能每个学生都有很好的抽象思维能力，尤其是一些学困生，他们的这一能力更是薄弱。在例题教学完长增加、宽增加的图形后，依然要让学生画一画长、宽不同变化等所有可能出现的情况，并适时进行直观演示，给学生解决这一类问题的支点，感知“数学画”的直观（见图2）。
3.在理解算理中，感悟“数学画”的清晰
计算是小学数学教学重要的组成部分，学生掌握较好的是算法，通常对于算理一知半解，特别是对小学高年级分数除法的算理更是不知其所以然。为了帮助学生理解分数乘法、分数除法的算理，教材中充分借助了图形，让学生在理解算理的基础上掌握算法。
分数乘法借助“数学画”以后，学生能清晰地理解算理，但是分数除法这一知识，学生往往只掌握了分数除法的计算方法，即除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数，而对算理理解不够深刻。为了遵循教材的编写意图，把算法的学习建立在理解算理的基础上，在整个教学过程中，笔者始终把“数学画”引入教学中，以动态图形形象地呈现例题。
四、展望：在“数学画”中提升素养
“数学画”的内容和形式是一个发展的过程，低年级学生开始跟着教师画一一对应的图，用图把各种数量关系表示出来;中年级学生开始接触线段图、示意图，感受画图的好处;高年级学生遇到问题时，可以自己尝试画示意图，提升探究能力和思维分析能力。“数学画”是把一个个难懂的数学难题用儿童喜闻乐见的方式予以呈现，更是为了让他们理解数学，直至爱上数学，从而提升数学核心素养。
【关键词】数学画 数学思维 深度学习
一、缘起：孩子的方法真简单
笔者的孩子进入小学阶段学习后，平时喜欢研究数学问题。在一次检查孩子自主研究的数学问题时，有一道题孩子的做法给笔者留下了深刻印象。这道题是这样的：10个男生围成一圈，每两个男生之间排1个女生，一共可以排几个女生？这是一道典型的间隔排列问题，通常情况下学生会在三年级接触这类知识。笔者看见孩子的答案是“10”，心里想：是不是蒙的呢？于是就问孩子：“你怎么知道是10个女生呢？”“妈妈，我是画图知道的呀！”孩子把自己画的图找出来说道：“你看，10个男生围成一圈，我用圆圈代替男生，然后每两个男生中间画一个三角形表示女生，数一数发现就是10个女生。”笔者忍不住鼓掌称赞道：“真是了不起！用画画解决了这么难的数学题！这么巧妙的方法妈妈都没有想到呢！”
通过这次交流，接下来笔者就留心观察自己班级学生的思考方式，发现有些动手能力强的学生，只要一遇到有点难度的问题，就会用画画来理清自己的思路，找到解决问题的方法。心里不禁感叹：儿童是天生的画家，画画是他们表达思想最重要的方式。学生在画图的过程中，能够将抽象的文字转化成图形，通过观察图形，再找到解决问题的思路，独立思考能力得到发展，知识得到内化。正如苏霍姆林斯基说的那样：“儿童的智慧在他的手指尖上。”
二、解读：理解 “数学画”
“数学画”就是引导学生把题目中的条件、问题、意思等抽象的内容用直观的图形表现出来，立足点是儿童的身心特点、认知发展和数学本质，能够帮助还处在直观思维的小学生理顺解题思路，快速建立解题模型。无论是从生活实例的启发来看，还是从小学生学习需求来说，“数学画”是学生进行深度学习、发展数学思维的有效工具和媒介，是联系儿童和数学最完美的存在。
三、实践：指尖上的数学智慧
小学阶段数学教材编写本身就很重视数形结合思想方法的渗透，低年级学生通过图形来理解数、抽象数、探索规律，中年级学生第一次正式接触画图的策略，高年级教材更是借助图形来帮助学生理解数学概念、算理等。每一次的教学与图形相遇，教师在教学过程中都要巧妙渗透“数学画”，将教学内容化静为动，让学生在各类形式的图形分析和解决问题的过程中，不断感受和体会“数学画”的好处，慢慢掌握“数学画”的技巧，学会数学思考，发展数学核心素养。
1.在探索规律中，感受“数学画”的简单
新课改后，低年级数学教材无论是从形式还是内容上，都十分注重学生能力的培养，倡导让学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力。因此，探索规律成为学生非常重要的学习内容之一。数学规律的探索离不开图形，遇到此类问题时，教师就可以有意识地引导学生感受“数学画”对于探索规律简单、清晰的作用，从低年级开始就可以借助直观图形，发展学生抽象思维能力，使其逐步建构规律的数学模型。
例如，苏教版数学二年级上册“平行四边形的初步认识”一课，学生经常会遇到这样的问题：摆一个平行四边形需要4根同样长的小棒，你能用7根小棒摆出2个大小相同的平行四边形吗？像这样摆下去，求摆3个、4个、5个平行四边形小棒的根数？（见图1、表1）
通常情况下会有两种教学方式：一是直接法，教师先出示小棒摆的情况，然后学生观察、讨论，发现规律后填写表格。二是操作法，教师让学生先摆一摆，然后再填写表格。显然，第一种教学方法，学生的感受不是很深刻，思维不够灵活的学生，往往发现不了规律。第二种方法，学生经过动手操作后有了直观的感受，就能发现其中的规律，但是对于数学抽象思维的培养还缺少一个支架。
在教学这类问题时，我们不妨引入“数学画”，第1个和第2个平行四边形画给学生看，接下来第3个、第4个、第5个让学生自己画。在动手画的过程中动态呈现规律，學生从而发现每多一个平行四边形，就多3根小棒，这样就自然发现平行四边形个数和小棒根数之间的关系，总结出规律，学生的数学思维也就水到渠成，自然生成了。
2.在解决问题中，感知“数学画”的直观
为了让学生深刻体会“数学画”的重要性，苏教版数学四年级下册安排了“解决问题的策略——画图”这一单元，通过画示意图、线段图来理解题意，从而找到解决问题的方法。在教学中，教师要利用具有代表性又容易理解的例题，引导学生充分感受“数学画”在条件和问题呈现上的直观，并形成这一类问题解决方法的迁移，在今后的学习中能自己通过“数学画”找到解决问题的方法。
例如，教学“解决问题的策略——画图”的第一课时，一般先有四个环节：学生想到画图、画好图、用好图和感受画图的好处。接下来，为了能让学生进一步深刻感受“数学画”的好处，掌握解决这一类问题的方法，笔者增加了一个环节：引导学生借助“数学画”把长方形长和宽的所有变化情况都画出来，再通过电脑动画验证所有动态变化过程。全班不可能每个学生都有很好的抽象思维能力，尤其是一些学困生，他们的这一能力更是薄弱。在例题教学完长增加、宽增加的图形后，依然要让学生画一画长、宽不同变化等所有可能出现的情况，并适时进行直观演示，给学生解决这一类问题的支点，感知“数学画”的直观（见图2）。
3.在理解算理中，感悟“数学画”的清晰
计算是小学数学教学重要的组成部分，学生掌握较好的是算法，通常对于算理一知半解，特别是对小学高年级分数除法的算理更是不知其所以然。为了帮助学生理解分数乘法、分数除法的算理，教材中充分借助了图形，让学生在理解算理的基础上掌握算法。
分数乘法借助“数学画”以后，学生能清晰地理解算理，但是分数除法这一知识，学生往往只掌握了分数除法的计算方法，即除以一个数（0 除外）等于乘这个数的倒数，而对算理理解不够深刻。为了遵循教材的编写意图，把算法的学习建立在理解算理的基础上，在整个教学过程中，笔者始终把“数学画”引入教学中，以动态图形形象地呈现例题。
四、展望：在“数学画”中提升素养
“数学画”的内容和形式是一个发展的过程，低年级学生开始跟着教师画一一对应的图，用图把各种数量关系表示出来;中年级学生开始接触线段图、示意图，感受画图的好处;高年级学生遇到问题时，可以自己尝试画示意图，提升探究能力和思维分析能力。“数学画”是把一个个难懂的数学难题用儿童喜闻乐见的方式予以呈现，更是为了让他们理解数学，直至爱上数学，从而提升数学核心素养。