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凹凸性是函数的重要性质，定义为：若函数f(x)在开区间I有定义，且对任意的x ，x ∈I，t∈(0，1)均有f［tx +(1-t)x ］≥（≤）tf(x )+(1-t)f(x )成立，则称f(x)在区间I上是凹(凸)函数。函数凹凸性的判定常用如下定理：设f(x)在I内二阶可导，则f(x)是I上的凹(凸)函数的充要条件是f″（x)≤（≥）0，(x∈I)。若f(x)在I上是凸函数，则-f(x)在I上为凹函数，所以讨论凸函数可以转化为讨论凹函数。
本文给出一则凹函数的性质及推论，并举例说明它在数学竞赛中的一些最值问题上的应用。
性质：定义在I上的二阶可导函数f(x)是严格凹函数，若x ，x ∈［a，b］(［a，b］?哿I)，且x +x 为定值，则当|x -x |的值增大时，f(x )+f(x )的值减小。
证明：设|x ′-x ′|＞|x -x |且x ′+x ′=x +x 为定值，不妨设x ′＞x ≥x ＞x ′，则x ′-x =x -x ′＞0。
由微分中值定理，存在ξ ∈（x ′，x )，ξ ∈（x ，x ′)，使得f(x )-f(x ′）=f′(ξ )(x -x ′)，f(x
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
本文给出一则凹函数的性质及推论，并举例说明它在数学竞赛中的一些最值问题上的应用。
性质：定义在I上的二阶可导函数f(x)是严格凹函数，若x ，x ∈［a，b］(［a，b］?哿I)，且x +x 为定值，则当|x -x |的值增大时，f(x )+f(x )的值减小。
证明：设|x ′-x ′|＞|x -x |且x ′+x ′=x +x 为定值，不妨设x ′＞x ≥x ＞x ′，则x ′-x =x -x ′＞0。
由微分中值定理，存在ξ ∈（x ′，x )，ξ ∈（x ，x ′)，使得f(x )-f(x ′）=f′(ξ )(x -x ′)，f(x
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”