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摘要:数形结合作为数学研究的主要对象,能够使复杂问题简单化、抽象问题具体化,是优化解题途径的主要方法之一。本文结合多年实践教学经验,主要探讨了数形结合思维在概念教学、计算教学、公式推导和课堂练习中的应用,希望通过多角度的说明,加深学生对该方法的理解。
关键词:数形结合;教学;应用
我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数无形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事非;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!”这句话中华罗庚先生正确地说明了“数”和“形”之间的相互依赖、相互制约,是种辩证关系,对数形结合思想最通俗的、最深刻的剖析。《课标》明确指出:“数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”由此可见数学思想是数学的灵魂和精髓,是数学素养的本质所在。利用“数形结合”的思想方法能使数和形在学习中有机地统一起来,借助于形的直观来理解抽象的数,运用数来细致入微地刻画形的特征,把抽象内容形象化,对于学生理解数学实质有很大的帮助,并且从一定意义上使教学更加快捷与高效。
一、 理论知识夹杂数形结合
概念是小学数学知识重要组成部分且多是理论性语言,因此学生理解起来有一定难度。使用清晰的图形可以让不具体的理论课堂更加明了,学生们很容易就懂得一节课的重点,轻松理解概念。
四年级一书《生活中的负数》这一节中,用正负数表示生活中具有相反意义的量是本节课的教学重点,体会负数的意义及0的内涵是难点。如果直接把这个概念灌输给学生,再做大量的习题来巩固和提高学生的运用能力,效果可想而知是不好的。
在教学过程中,从学生熟悉的温度引入,通过观察温度计进行教学,利用数形结合帮助学生建立一个形象的数学模型,从而加深了学生对负数的理解。
二、 计算教学中渗透数形结合
学生算数学题目时要结合数形结合,老师要教学生们正确理解学生题目,计算题目的方法就是算理,在课堂上老师上课时,老师要用正确的方式教导学生理解题目,学生在理解题目的基础上对算法有一定的了解,就相当于这句俗语“知其然,知其所以然。”例如数形结合。
像分数这一节课中:把一张纸的4/7平均分成3份,每份是多少?学生很难理解算理,算出式子4/7÷3以后,可以让学生用图形来表示出4/7÷3这个算式。
每份中47的13,就是这张纸的421。
47÷3=47×13=421
先把这张纸平均分成7份,取其中4份,再把4份平均分成3份,取其中1份。
47÷3=421
然后,对学生进行分组,让学生跟自己的组员交流,分别拿出自己的图形,看看优缺点,修改自己的图形,让学生更好理解图形的意思。
最后,可以全班一起进行交流,全面理解数形结合,不管是看到式子还是图形都可以想到另外一方,学生自觉的建立数形结合的这个概念,也会更加清楚的利用。
三、 公式推导中渗透数形结合
进行公式推导的过程也是学生学习数形结合的重要环节,公式推导会让学生产生死记硬背的想法,达不到让学生自己思考进行解题的思路,数形结合的方法可以让学生避免死记硬背,产生自己的思路、条理,解题也会有很多种不同方法。帮助学生建构数学思想方法,从而能很好提高学生联系实际,灵活解决数学问题的能力。
解题过程中,解题的步骤通常是:老师在讲台利用ppt的形式逐一演示面积公式的推导过程,其中夹杂一两个案例,随后让学生在课堂上利用公式解决不同类型的数学题目。可是学生经常把圆柱侧面积和体积这两个公式弄混了,为什么呢?因为很多学生的解题活动完全建立在简单记忆和机械模仿上,没有真正理解为什么是2πrh和πr2h,
如果让学生动手剪一剪圆柱体,把侧面展开,再结合示意图,学生才能真正理解沿高剪开后圆柱的侧面展开是一个长方形,长方形的长就相当于圆柱底面周长,宽相当于圆柱的高,所以圆柱的侧面积是长×宽也就是底面周长×高。
长方形面积=长×宽
=底面周长×高
=2πr×h
=2πrh
四、 课堂练习中渗透数形结合
在学生们解决一些困难的题目时,并且数字很复杂,就可以利用数形结合的方式对题目进行简单的分析,让很复杂的关系变得很清晰。
例如:食品支出占家庭总支出的55%,其他支出占家庭总支出的45%,食品支出比其他支出多620元,家庭总支出是多少元?
先把题中的数量关系译成图形,再从图形的观察分析可译成:在本题中,关键是要把总支出看作单位“1”,从而推知多出的620元,所对应的百分率是10%。
解:设总支出为x元,那么食品支出是55%x元,其他支出是45%x元。
55%x-45%x=620
620÷(55%-45%)=620÷10%=620÷0.1=6200(元)
这样不管是算术解还是方程解,学生都容易理解。
从这道题目中可以很清晰地看出:“数”和“形”不仅是让学生们利用简单的方式解决困難的题目,它还可以让学生们的思维更加开阔,解题方法也会文思泉涌,解题过程中,随着题目答案的解出,学生的思维也在增长,数和形是相互支持,共同发展的,二者结合让解题更加简单。
综上,形是数的直观呈现,数是形的逻辑表达,数与形是辩证统一的。数形结合,能把学生的形象思维与逻辑思维有机地结合起来,做到数中有形,形中有数,培养学生的良好的数学素养。
关键词:数形结合;教学;应用
我国著名数学家华罗庚先生曾说:“数与形,本是相倚依,焉能分作两边飞。数无形时少直觉,形少数时难入微。数形结合百般好,隔离分家万事非;切莫忘,几何代数统一体,永远联系,切莫分离!”这句话中华罗庚先生正确地说明了“数”和“形”之间的相互依赖、相互制约,是种辩证关系,对数形结合思想最通俗的、最深刻的剖析。《课标》明确指出:“数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”由此可见数学思想是数学的灵魂和精髓,是数学素养的本质所在。利用“数形结合”的思想方法能使数和形在学习中有机地统一起来,借助于形的直观来理解抽象的数,运用数来细致入微地刻画形的特征,把抽象内容形象化,对于学生理解数学实质有很大的帮助,并且从一定意义上使教学更加快捷与高效。
一、 理论知识夹杂数形结合
概念是小学数学知识重要组成部分且多是理论性语言,因此学生理解起来有一定难度。使用清晰的图形可以让不具体的理论课堂更加明了,学生们很容易就懂得一节课的重点,轻松理解概念。
四年级一书《生活中的负数》这一节中,用正负数表示生活中具有相反意义的量是本节课的教学重点,体会负数的意义及0的内涵是难点。如果直接把这个概念灌输给学生,再做大量的习题来巩固和提高学生的运用能力,效果可想而知是不好的。
在教学过程中,从学生熟悉的温度引入,通过观察温度计进行教学,利用数形结合帮助学生建立一个形象的数学模型,从而加深了学生对负数的理解。
二、 计算教学中渗透数形结合
学生算数学题目时要结合数形结合,老师要教学生们正确理解学生题目,计算题目的方法就是算理,在课堂上老师上课时,老师要用正确的方式教导学生理解题目,学生在理解题目的基础上对算法有一定的了解,就相当于这句俗语“知其然,知其所以然。”例如数形结合。
像分数这一节课中:把一张纸的4/7平均分成3份,每份是多少?学生很难理解算理,算出式子4/7÷3以后,可以让学生用图形来表示出4/7÷3这个算式。
每份中47的13,就是这张纸的421。
47÷3=47×13=421
先把这张纸平均分成7份,取其中4份,再把4份平均分成3份,取其中1份。
47÷3=421
然后,对学生进行分组,让学生跟自己的组员交流,分别拿出自己的图形,看看优缺点,修改自己的图形,让学生更好理解图形的意思。
最后,可以全班一起进行交流,全面理解数形结合,不管是看到式子还是图形都可以想到另外一方,学生自觉的建立数形结合的这个概念,也会更加清楚的利用。
三、 公式推导中渗透数形结合
进行公式推导的过程也是学生学习数形结合的重要环节,公式推导会让学生产生死记硬背的想法,达不到让学生自己思考进行解题的思路,数形结合的方法可以让学生避免死记硬背,产生自己的思路、条理,解题也会有很多种不同方法。帮助学生建构数学思想方法,从而能很好提高学生联系实际,灵活解决数学问题的能力。
解题过程中,解题的步骤通常是:老师在讲台利用ppt的形式逐一演示面积公式的推导过程,其中夹杂一两个案例,随后让学生在课堂上利用公式解决不同类型的数学题目。可是学生经常把圆柱侧面积和体积这两个公式弄混了,为什么呢?因为很多学生的解题活动完全建立在简单记忆和机械模仿上,没有真正理解为什么是2πrh和πr2h,
如果让学生动手剪一剪圆柱体,把侧面展开,再结合示意图,学生才能真正理解沿高剪开后圆柱的侧面展开是一个长方形,长方形的长就相当于圆柱底面周长,宽相当于圆柱的高,所以圆柱的侧面积是长×宽也就是底面周长×高。
长方形面积=长×宽
=底面周长×高
=2πr×h
=2πrh
四、 课堂练习中渗透数形结合
在学生们解决一些困难的题目时,并且数字很复杂,就可以利用数形结合的方式对题目进行简单的分析,让很复杂的关系变得很清晰。
例如:食品支出占家庭总支出的55%,其他支出占家庭总支出的45%,食品支出比其他支出多620元,家庭总支出是多少元?
先把题中的数量关系译成图形,再从图形的观察分析可译成:在本题中,关键是要把总支出看作单位“1”,从而推知多出的620元,所对应的百分率是10%。
解:设总支出为x元,那么食品支出是55%x元,其他支出是45%x元。
55%x-45%x=620
620÷(55%-45%)=620÷10%=620÷0.1=6200(元)
这样不管是算术解还是方程解,学生都容易理解。
从这道题目中可以很清晰地看出:“数”和“形”不仅是让学生们利用简单的方式解决困難的题目,它还可以让学生们的思维更加开阔,解题方法也会文思泉涌,解题过程中,随着题目答案的解出,学生的思维也在增长,数和形是相互支持,共同发展的,二者结合让解题更加简单。
综上,形是数的直观呈现,数是形的逻辑表达,数与形是辩证统一的。数形结合,能把学生的形象思维与逻辑思维有机地结合起来,做到数中有形,形中有数,培养学生的良好的数学素养。