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【摘 要】数学方法是科学方法中重要的一种，它不仅被物理学广泛应用，而且也成为其它众多自然学科的重要方法。高中物理电磁学内容多、难度大，且在高考理综考试中所占比重较大，这些内容涉及到的试题经常要用到一定的数学知识，那么如果能够灵活运用这些数学方法来处理电磁学问题，将能起到事半功倍的效果。本文就这个问题谈谈函数法、不等式法、图象法及几何法等在高中物理电磁学中的应用。
【关键词】数学方法；高中物理；电磁学
1.引言
国家高考物理科考试大纲明确提出考生应具备的第四种能力“应用数学处理物理问题的能力：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”，这里所要考查的就是要有灵活运用数学方法处理物理问题的能力。所谓数学方法，就是在科学技术工作中，把客观事物的状态关系和过程用数学语言表达出来，进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预言的方法。下面就以电磁学为例谈谈几种数学方法在高中物理电磁学中的应用。
2.函数法
在电磁学问题中，经常需要确定两个物理量间的变化所对应关系（包括极值问题），这就需要利用函数思想来完成，同时函数也是进行物理推导判断的重要数学工具。在高中物理电磁学中主要用到的是一次函数、一元二次函数和三角函数。
2.1一次函数的应用
在电磁学问题中用到的一次函数有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函数y=ax描述的是y与x之间呈线性关系，比如在静电场中讨论F与E、U与d、Q与U等两个量间的关系用的就是这种函数。
观察函数y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不难发现，分子分母都有未知量x（自变量），如果x增加（减小），则分子、分母都同时增加（减小），这样无法确定因变量y的变化情况。但是如果把分子、分母都同时除以x，函数就变为y=a/（a+b/x）关系就非常明朗了，y随x的增大而增大，y随x的减小而减小。这种一次函数在讨论闭合电路中路端电压随外电阻变化等类似问题中经常有用到。
例1：设一个闭合电路中，电源电动势为E，内阻为r，外电路为纯电阻电路电阻为R，路端电压为U外，试讨论当R发生变化时，U外如何变化？
分析与解：这类问题既可用闭合电路欧姆定律E=U外+Ir（间接法，较易，本文不做讨论）求解，也可用部分电路欧姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何讨论呢？根据部分电路欧姆定律有U外=IR①，又由闭合电路欧姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），这就转化成了形如一次函数y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可见U外随R的增大而增大，随R的减小而减小。因此当外电路断开即R→∞时，有U外=E，此为直接测量法测电源电动势的依据；当外电路短路时即R→0，故。U外=0。
2.2一元二次函数的应用
在处理外电路为纯电阻电路中电源输出功率随外电路电阻变化规律以及讨论滑动变阻器分压接法电路中■或■示数变化情况等类似问题，可以把电阻这个动态变化物理量转化成二次函数y=ax2+bx+c形式，将这个函数进行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可见当x=-b/2a时，y有最值（4ac-b2）/4a。当a>0时，y有最小值，当a<0时，y有最大值。
例2：如图1所示，电源电动势E=6V，内阻为r=1？萃，滑动变阻器R的总阻值为11？萃，固定电阻R0=3？萃，求当滑动变阻器从a到b过程中，■的读数范围。
分析与解：令■读数I，并设ap部分电阻为x，则pb部分电阻为11-x，根据闭合电路欧姆定律及并联电路的电流分配关系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）
可见当x=0时，Imax=0.5A，x=6？萃时，Imax=0.25A，故■示数范围为从0.25A到0.5A连续变化
3.不等式法
不等式可用在半定量讨论、推断及求解极值问题，如在讨论等量同种电荷中垂线上场强大小变化、某些并联电路中■或■示数变化以及在两大小材料均相同的同种电荷接触后放回原处过程中库仑力大小变化问题中，如果条件满足均可以运用重要不等式a+b≥2■（a、b均为正数）或a+b+c≥33■讨论最值：当和有定值，则积有最大值；反之当积有定值，则和有最小值。
例3.如图3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑动变阻器的最大值R3=5？萃，则当滑动片P从a滑到b过程中，电流表示数的最小值为多少？
分析与解：由闭合电路欧姆定律可知电流表示数有最小值时，外电路电阻有最大值，设ap部分电阻为x，则bp部分为5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化简可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故当且仅当a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃时ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示数最小值Imin.=2A。
4.几何法
在处理静电场中某带电体受到库仑力、重力、拉力等三个共点力的动态平衡问题时，如果直接运用平衡条件结合力的分解（正交分解）处理该类问题，过程非常繁琐，这里可充分运用带电体（质点）所受力的矢量三角形与对应另一个由长度组成的纯标量三角形相似，这就是应用了平衡条件中相似三角形法，然后根据题目条件可在短时间内快速准确解决要讨论的问题。
例5：一根绝缘细线下拴一带电小球A，细线上的上端固定在天花板上，在悬点正下方某适当位置，固定另一带同种电荷小球B，A静止时，悬线与竖直方向成θ角，如图6所示。现缓慢增加B的带电量使θ角逐渐增大，则有关A球所受力的变化，下列说法正确的是（ ）
A.悬线的拉力大小不变 B.悬线拉力逐渐增大
C.库仑力逐渐增大 D.库仑力大小可能不变
分析与解：设悬线长为L，如图7所示，挂在细线下端的小球在重力、细线拉力和电荷之间的库仑斥力这三个力的作用下处于平衡状态。由平衡条件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可见细线的拉力T=G不变，而库仑力随着AB的增大而增大。故本题正确答案为AC。
6.结论
数学方法在高中物理电磁学中应用广泛而且巧妙，本文主要描述了函数法、不等式法、图象法及几何法，但有时在解决某些复杂电磁学问题时可能要用到上述这些方法中的两种或两种以上，甚至还可能用到其它方法如极限法。因此，在解题时可通过联想、数理结合、数形结合来灵活地选择合适的数学方法来解决电磁学问题，这将对提高解决电磁学问题的能力大有裨益。
【参考文献】
[1]郑表岳.《中学物理解题方法》.上海科技教育出版社，1992年9月
[2]薛金星.《中学教材全解—高二物理（上）》.陕西人民教育出版社，2003年5月第4版
[3]陈松，张安等.《名校学案—物理选修3-1》.福建教育出版社，2010年8月第4版
[4]廖伯琴等.《普通高中课程标准实验教科书—物理选修3-2》.山东科技出版社，2007年7月第3版
【关键词】数学方法；高中物理；电磁学
1.引言
国家高考物理科考试大纲明确提出考生应具备的第四种能力“应用数学处理物理问题的能力：能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，能运用几何图形、函数图像进行表达、分析”，这里所要考查的就是要有灵活运用数学方法处理物理问题的能力。所谓数学方法，就是在科学技术工作中，把客观事物的状态关系和过程用数学语言表达出来，进行推导、演算和分析，以形成对问题的判断、解释和预言的方法。下面就以电磁学为例谈谈几种数学方法在高中物理电磁学中的应用。
2.函数法
在电磁学问题中，经常需要确定两个物理量间的变化所对应关系（包括极值问题），这就需要利用函数思想来完成，同时函数也是进行物理推导判断的重要数学工具。在高中物理电磁学中主要用到的是一次函数、一元二次函数和三角函数。
2.1一次函数的应用
在电磁学问题中用到的一次函数有形如y=ax或y=ax/（ax+b）a≠0，b≠0形式。一次函数y=ax描述的是y与x之间呈线性关系，比如在静电场中讨论F与E、U与d、Q与U等两个量间的关系用的就是这种函数。
观察函数y=ax/（ax+b（a≠0，b≠0））不难发现，分子分母都有未知量x（自变量），如果x增加（减小），则分子、分母都同时增加（减小），这样无法确定因变量y的变化情况。但是如果把分子、分母都同时除以x，函数就变为y=a/（a+b/x）关系就非常明朗了，y随x的增大而增大，y随x的减小而减小。这种一次函数在讨论闭合电路中路端电压随外电阻变化等类似问题中经常有用到。
例1：设一个闭合电路中，电源电动势为E，内阻为r，外电路为纯电阻电路电阻为R，路端电压为U外，试讨论当R发生变化时，U外如何变化？
分析与解：这类问题既可用闭合电路欧姆定律E=U外+Ir（间接法，较易，本文不做讨论）求解，也可用部分电路欧姆定律（直接法）求解。如果用直接法如何讨论呢？根据部分电路欧姆定律有U外=IR①，又由闭合电路欧姆定律有I=E/（R+r）②，把②代入①有U外=ER/（R+r），这就转化成了形如一次函数y=ax/（ax+b），故U外=ER/（r+R）=E/（1+r/R）可见U外随R的增大而增大，随R的减小而减小。因此当外电路断开即R→∞时，有U外=E，此为直接测量法测电源电动势的依据；当外电路短路时即R→0，故。U外=0。
2.2一元二次函数的应用
在处理外电路为纯电阻电路中电源输出功率随外电路电阻变化规律以及讨论滑动变阻器分压接法电路中■或■示数变化情况等类似问题，可以把电阻这个动态变化物理量转化成二次函数y=ax2+bx+c形式，将这个函数进行配方整理有：y=a（x+b/2a）2-（4ac-b2）/4a，可见当x=-b/2a时，y有最值（4ac-b2）/4a。当a>0时，y有最小值，当a<0时，y有最大值。
例2：如图1所示，电源电动势E=6V，内阻为r=1？萃，滑动变阻器R的总阻值为11？萃，固定电阻R0=3？萃，求当滑动变阻器从a到b过程中，■的读数范围。
分析与解：令■读数I，并设ap部分电阻为x，则pb部分电阻为11-x，根据闭合电路欧姆定律及并联电路的电流分配关系：I=6/（R并+11-x+r）×3/（x+3）=18/（-（x-6）2+72）
可见当x=0时，Imax=0.5A，x=6？萃时，Imax=0.25A，故■示数范围为从0.25A到0.5A连续变化
3.不等式法
不等式可用在半定量讨论、推断及求解极值问题，如在讨论等量同种电荷中垂线上场强大小变化、某些并联电路中■或■示数变化以及在两大小材料均相同的同种电荷接触后放回原处过程中库仑力大小变化问题中，如果条件满足均可以运用重要不等式a+b≥2■（a、b均为正数）或a+b+c≥33■讨论最值：当和有定值，则积有最大值；反之当积有定值，则和有最小值。
例3.如图3所示，已知R1=2？萃，R2=3？萃，滑动变阻器的最大值R3=5？萃，则当滑动片P从a滑到b过程中，电流表示数的最小值为多少？
分析与解：由闭合电路欧姆定律可知电流表示数有最小值时，外电路电阻有最大值，设ap部分电阻为x，则bp部分为5-x，1/R并=1/（2+x）+1/（3+（5-x）），化简可得R并=（2+x）（8-x）10，令a=2+x，b=8-x，而a+b=10，故当且仅当a=b即2+x=8-x亦即x=3？萃时ab≤（a+b）/4，故有（2+x）（8-x）≤（102/4）？萃=25？萃，所以■示数最小值Imin.=2A。
4.几何法
在处理静电场中某带电体受到库仑力、重力、拉力等三个共点力的动态平衡问题时，如果直接运用平衡条件结合力的分解（正交分解）处理该类问题，过程非常繁琐，这里可充分运用带电体（质点）所受力的矢量三角形与对应另一个由长度组成的纯标量三角形相似，这就是应用了平衡条件中相似三角形法，然后根据题目条件可在短时间内快速准确解决要讨论的问题。
例5：一根绝缘细线下拴一带电小球A，细线上的上端固定在天花板上，在悬点正下方某适当位置，固定另一带同种电荷小球B，A静止时，悬线与竖直方向成θ角，如图6所示。现缓慢增加B的带电量使θ角逐渐增大，则有关A球所受力的变化，下列说法正确的是（ ）
A.悬线的拉力大小不变 B.悬线拉力逐渐增大
C.库仑力逐渐增大 D.库仑力大小可能不变
分析与解：设悬线长为L，如图7所示，挂在细线下端的小球在重力、细线拉力和电荷之间的库仑斥力这三个力的作用下处于平衡状态。由平衡条件的相似三角形可知：△OAB～△ACD，即L/G=L/F=AB/F，可见细线的拉力T=G不变，而库仑力随着AB的增大而增大。故本题正确答案为AC。
6.结论
数学方法在高中物理电磁学中应用广泛而且巧妙，本文主要描述了函数法、不等式法、图象法及几何法，但有时在解决某些复杂电磁学问题时可能要用到上述这些方法中的两种或两种以上，甚至还可能用到其它方法如极限法。因此，在解题时可通过联想、数理结合、数形结合来灵活地选择合适的数学方法来解决电磁学问题，这将对提高解决电磁学问题的能力大有裨益。
【参考文献】
[1]郑表岳.《中学物理解题方法》.上海科技教育出版社，1992年9月
[2]薛金星.《中学教材全解—高二物理（上）》.陕西人民教育出版社，2003年5月第4版
[3]陈松，张安等.《名校学案—物理选修3-1》.福建教育出版社，2010年8月第4版
[4]廖伯琴等.《普通高中课程标准实验教科书—物理选修3-2》.山东科技出版社，2007年7月第3版